3.2
Bifurcation imparfaite à petit angle d’incidence
Cette section est consacrée à la comparaison des résultats obtenus à petits angles d’incidences α avec le cas à incidence nulle qui est traité en première partie de ce chapitre, dans l’article publié dans Physical Review E [66].
3.2.1
Modification de la configuration d’étude
La même configuration est utilisée pour l’aile que dans l’article en première partie de ce chapitre. L’aile est de corde c et son bord d’attaque est un demi-cylindre de diamètre D. La partie centrale de l’aile a une forme triangulaire fermée au bord de fuite par un demi- cylindre de diamètre d. Le ratio des diamètres est fixé à D/d = 20 et le rapport d’aspect de l’aile est fixé à c/D = 4. L’aile se trouve dans un fluide de viscosité ν dans un écoulement
U0. Le problème est rendu non dimensionnel en utilisant les grandeurs D et U0 comme
longueur et vitesse de référence. Le nombre de Reynolds est fixé à ReD = U0D/ν = 255.
La cinématique de l’aile est gouvernée par une rotation de la forme
θ(t) = θmsin(2πf t) (3.1)
où f est la fréquence de tangage non dimensionnelle et θm est l’angle de rotation maximal.
De celle manière, l’amplitude de battement pic-à-pic est fixée à A = 2(c − D/2)sin(θm) =
1.07. Le seul changement dans la configuration (représentée dans la figure (3.1)) vient de l’introduction de l’angle d’incidence α entre la direction de l’écoulement amont et l’axe de l’aile à l’instant où θ(t) = 0. Pour résoudre numériquement ce problème, le même système
Figure 3.1 – Schéma de l’aile battante avec un angle d’incidence α non nul. d’équations, écrit dans un référentiel non inertiel (0, eX, eY) qui tourne avec l’aile, est
utilisé. La prise en compte du nouveau paramètre α modifie la vitesse convective des équations de Navier-Stokes qui devient
w(X, θ(t), α) = − (cos(θ(t) − α)eX − sin(θ(t) − α)eY) +
dθ
dtez× X (3.2) D’autre part, la vitesse du fluide à la paroi est toujours égale à la vitesse convective. La condition limite imposée à la surface de l’aile est donc modifiée en conséquence pour tenir compte de la valeur de α.
u(Xs) = w(Xs, θ(t), α) (3.3)
3.2.2
Influence de l’angle d’incidence sur la bifurcation du sillage
Cette section contient les résultats de simulations numériques à petits angles d’inci- dences α. Plusieurs angles d’incidences entre α = −5◦ et α = +5◦ ont été simulé. Seuls
des résultats à α = 1◦ sont présentés ici. Ces résultats permettent d’illustrer le passage de la bifurcation super-critique observée à α = 0◦ à une bifurcation imparfaite.
Dans le cas où l’angle d’incidence est nul, on rappelle que l’on observe une bifurcation supercritique de la solution périodique à fc∼ 0.385. A cette fréquence, la symétrie spatio-
temporelle est brisée et le sillage de l’aile se met à dévier de l’axe médian de l’aile. Dans un premier temps, on compare dans la figure (3.2) les efforts moyens du fluide sur l’aile, dans les cas α = 0◦ (cercles noirs) et α = 1◦ (cercles rouges). La traînée et la portance sont respectivement tracées dans les figures (3.2a) et (3.2b), dont un zoom dans la zone où se produit la bifurcation à α = 0◦ est présenté dans la figure (3.2c).
(a) (b) (c)
Figure 3.2 – Comparaison de (a) la traînée et (b) la portance moyennes entre une aile battante à α = 0◦ (•) et à α = 1◦ (•). (c) Zoom de (b) au niveau de la bifurcation.
Par rapport au cas à incidence nulle, la traînée moyenne est légèrement inférieure quand α = 1◦, en tout cas dans la gamme de fréquence qui correspond au régimes I et II, qui correspondent respectivement au régime avant la bifurcation et après la bifurcation lorsque le sillage est faiblement dévié. La traînée moyenne est quasiment identique pour
f > 0.43, qui est la gamme de fréquence du régime III, soit le régime où le sillage est
fortement dévié. On s’intéresse maintenant à l’évolution de la portance moyenne. A partir de f = 0.37, deux solutions coexistent pour chaque valeur de la fréquence. La première, située sur la branche haute de la figure (3.2b) a le sillage dévié vers le haut, tandis que la seconde, située sur la branche basse de cette même figure a le sillage dévié vers le bas. Pourtant dans les deux cas, la portance moyenne est systématiquement positive pour
f 6 0.43. Pour de plus grandes fréquences f, les deux branches suivent sensiblement la
même évolution que lorsque l’incidence de l’aile est nulle, à savoir une forte augmentation (resp. diminution) de la portance moyenne pour la branche haute (resp. basse).
A ce stade, il convient de préciser que les deux branches n’ont pas été obtenue de la même manière, plus précisément avec des conditions initiales différentes. La branche haute a été obtenue par deux moyens : en initialisant la simulation à partir d’une condition initiale de vitesse uniforme, ou par continuation (par valeur croissante ou décroissante) du paramètre de contrôle, à savoir la fréquence de battement f . Pour obtenir la branche basse, une symétrie spatiale verticale (symétrie par rapport à l’axe (0, x)) a été appliquée à une solution instantanée de la branche haute à f = 0.45. Cette solution instantanée a ensuite servi de solution initiale à la résolution du même problème, en utilisant pour loi cinématique de l’aile θ(t) = −θmsin(2πf t). C’est-à-dire que l’aile commence à battre vers
le bas à partir d’un angle θ nul. L’ensemble des points de la branche basse ont ensuite été obtenus par continuation à valeur décroissante de la fréquence de battement.
Les tentatives pour obtenir la branche basse en considérant directement le battement de l’aile vers le bas à partir d’un champ de vitesse initial uniforme, se sont révélées infruc- tueuses. Les résultats de ces tentatives conduisaient pour chaque fréquence et de manière
3.2. BIFURCATION IMPARFAITE À PETIT ANGLE D’INCIDENCE 89
(a) (c)
(b) (d)
Figure 3.3 – Vorticité instantannée à (a,b) α = 0◦ et (c,d) α = 1◦ quand le sillage est dévié vers (a,c) le haut et (b,d) le bas à f = 0.41.
erratique, tantôt à des solutions de la branche haute, tantôt à des solutions de la branche basse, sans lien apparent avec la fréquence de battement. Ces constatations tendent à suggérer que la branche haute est beaucoup plus attractive lorsque l’angle d’incidence est positif. Inversement, nos observations montrent que la branche basse est plus attrac- tive que la branche haute lorsque l’angle d’incidence est négatif. De tels résultats sont contraires à ceux à angle d’incidence nulle où plusieurs études [50, 106, 107] ont indiqué que la sélection de la direction de la déviation est décidée par les conditions initiales de battement lorsque l’on considère un champ initial uniforme.
Pour revenir aux efforts moyens, un zoom de la portance moyenne dans la gamme 0.37 < f < 0.43 est représenté dans la figure (3.2c). Pour α = 1◦, les deux branches sont déplacées vers le haut, c’est-à-dire que la portance moyenne est systématiquement plus élevée, par rapport au cas à incidence nulle. D’autre part, la fréquence critique à partir de laquelle deux solutions différentes stables co-existent à diminué à f = 0.37, alors que la bifurcation pour α = 0◦ se situe à f ≈ 0.385. Pour identifier les caractéristiques de chaque branche, la fréquence est fixée f = 0.41, pour laquelle quatre solutions stables sont possibles (deux à α = 0◦ et deux à α = 1◦). Ces solutions sont représentées dans la figure (3.3). Pour chaque valeur de α, deux branches coexistent : la "branche haute" présente un sillage dévié vers le haut, tandis que la "branche basse" présente un sillage dévié vers le bas. Si dans le cas α = 0◦, les deux branches sont associées à une portance moyenne de valeur opposée, ce n’est plus le cas quand α = 1◦ où les deux branches ont une portance moyenne positive, même quand le sillage est dévié vers le bas. Dans ce cas pourtant, le sens de la déviation serait plutôt indicateur d’une portance moyenne négative. Cette observation montre que le sens de la déviation du sillage n’est pas directement associé au signe de la portance moyenne lorsque l’angle d’incidence est non nul. Et lorsque le sillage est faiblement dévié comme c’est le cas ici, le signe de la portance moyenne semble être majoritairement dicté par la portance "statique" résultant de l’angle d’incidence de l’aile avec l’écoulement amont et non pas de la déviation du sillage. Enfin, la comparaison entre les deux sillages déviés vers le bas à deux angles d’incidences distincts prouve la distinction à faire entre la structure du sillage et les efforts aérodynamiques. En effet, deux sillages déviés vers le bas sont représentés dans la figure (3.3b,d) à α = 0◦ et α = 1◦. Ces deux sillages sont semblables. Pour autant, les portances moyennes qui s’exercent sur l’aile sont alors de signe opposées (< Fy >= −0.139 pour α = 0◦ et < Fy >= 0.302 pour
α = 1◦).
(a) (b)
Figure 3.4 – Schéma (a) de la bifurcation à α = 0◦ et (b) de la bifurcation imparfaite à α = 1◦.
La figure (3.4) regroupe des schémas de diagrammes de bifurcation à α = 0◦ (a) et à α = 1◦ (b). Quand l’incidence est nulle, la bifurcation est supercritique avec deux
branches stables correspondant aux sillages déviés vers le haut (branche haute) ou le bas (branche basse), ainsi qu’une branche instable qui correspond à la solution avec un sillage non dévié. Cette dernière correspond donc aux solutions qui respectent la symétrie spatio-temporelle haut/bas. Lorsque l’incidence n’est plus nulle en revanche, les branches hautes et basses sont dissociées. La branche haute est obtenue par continuation croissante du paramètre de contrôle (ici la fréquence de battement), mais pas la branche basse. En revanche, une fois que la branche basse est obtenue, on peut par continuation décroissante du paramètre de contrôle, "sauter" sur la branche centrale avant la bifurcation. La branche centrale instable (après la bifurcation) est indiquée ici avec un point d’interrogation. En effet, s’il est facile de définir un critère analytique pour décrire la branche instable lorsque l’angle d’incidence est nul, il n’existe pas de tel critère lorsque l’angle d’incidence est non nul. Cette branche instable ne respecte pas de symétrie particulière, n’est pas à portance moyenne nulle, etc. En conséquence, on peut arguer que cette branche est censée exister, pour autant, nous ne savons pas à l’heure actuelle comment la déterminer. Ce deuxième diagramme (3.4b) correspond à une bifurcation supercritique imparfaite. Dans le cas d’une valeur négative de l’angle d’incidence, ce diagramme serait probablement inversé, avec un passage continue entre la branche avant la bifurcation et la branche basse. Ces résultats sont conformes à l’étude numérique de Citro et al. [108]. Dans leur étude, une sphère est mise en rotation dans la direction transverse à un écoulement incompressible. Sans rotation de la sphère, l’écoulement est soumis à une bifurcation "de fourche" stationnaire, associée à une brisure d’une symétrie planaire de l’écoulement et une portance non nulle. Avec une petite rotation de la sphère (ce qui revient à ajouter un angle d’incidence le cas présent), cette bifurcation devient une bifurcation imparfaite.
Les résultats présentés ici sont concentrés sur l’angle α = 1◦. la bifurcation imparfaite évolue continuement en fonction de α pour de petites valeurs. Lorsque α devient trop grand (approximativement à partir de 5◦), on ne peut plus parler de bifurcation imparfaite tant la dynamique de l’écoulement est éloignée de ce qui se passe à α = 0◦, que ce soit avant ou après la bifurcation. La dynamique de l’écoulement à grand angle d’incidence est quant à elle étudiée séparément dans le chapitre (4).