Application du critère Q à un sillage de tourbillons

Maintenant que le critère Q est correctement défini, on peut l’appliquer à un cas réel de sillage de tourbillons. Cette phase d’application sert particulièrement à montrer l’utilisation que l’on va faire de ce critère à travers l’ensemble de l’étude.

Numériquement, utiliser comme seuil de la présence de tourbillons la valeur théorique

Qc = 0 peut poser des problèmes. En effet, la discrétisation spatiale du problème à

résoudre peut mener à l’existence de zones sans tourbillons, avec une valeur calculée de Q qui est positive et quasi nulle. Ce phénomène est illustré dans la figure (1.11). La figure (1.11a) représente un instantané de vorticité d’un sillage produit par une aile battante. La figure (1.11b) représente le champ Q associé. Les zones où Q < 0 sont en noir, les zones où 0 < Q < 10−2 sont en gris et les zones où Q > 10−2 sont en blanc. Les zones grises ne sont pas des lieux de présence de tourbillons mais des artefacts numériques et leur taille est généralement de l’ordre de grandeur d’un élément du maillage. Ces artefacts numériques sont d’ailleurs fréquents dans les zones lointaines de l’écoulement, où les mailles sont grandes. Pour éviter de définir les zones grises comme des lieux de présence de tourbillons, la valeur seuil Qc= 10−2 est utilisée dans toute la suite de l’étude pour définir la présence

de tourbillons. Avec la répartition spatiale de Q, les tourbillons peuvent être identifiés.

(a) (b)

1.3. MÉTH. D’ANALYSE DE SILLAGES PÉRIODIQUES EN TEMPS 43

Il faut alors être capable de déterminer leur caractéristiques, à savoir la position de leur centre, leur forme et taille et enfin leur circulation.

Pour identifier le centre d’un tourbillon réel, de nombreuses définitions existent. Lorsque le tourbillon est isolé, ces définitions sont en général équivalentes. Elles peuvent cependant avoir une influence non négligeable sur le résultat lorsqu’on se confronte à un tourbillon réel. Le centre d’un tourbillon peut en effet être défini comme un maximum local de vorticité, le barycentre de vorticité ou un minimal local du champ de vitesse. L’utilisation du maximum de vorticité est susceptible de fortes erreurs s’il y a une erreur locale. Au contraire de l’utilisation du barycentre de vorticité comme critère, qui est théoriquement censé gommer d’éventuelles erreurs locales. Par contre, utiliser le barycentre de vorticité incorpore tous les défauts de forme des tourbillons, dès que ceux-ci ne sont pas circulaires. On compare dans la figure (1.12a) les positions de centres de quelques tourbillons, obtenus en utilisant le maximum de vorticité (rouge) et le barycentre (bleu). Les positions obtenues sont pratiquement identiques à l’exception du premier tourbillon (le plus à gauche). Sur ce tourbillon en cours de formation, l’enroulement est incorporé dans le critère du barycentre et décale la position du centre. C’est le seul cas de figure où ces deux critères se sont révélés notablement différents. L’utilisation du minimum local du champ de vitesse comme critère a quant à lui posé de nombreux problèmes dès lors que les tourbillons étaient advectés et n’a donc pas été retenu. Finalement, notre choix s’est porté sur l’utilisation du maximum de vorticité pour repérer la position des centres des tourbillons.

(a) (b)

Figure 1.12 – (a) Position des centres des tourbillons en utilisant le maximum de vorticité (rouge) et le barycentre de vorticité (bleu). (b) Taille du tourbillon en utilisant le rayon du cercle circonscrit à la zone Q > Qc (rouge) et le maximum de vitesse tangentielle (bleu).

Dans la grande majorité des cas, on considère qu’un tourbillon isolé possède une forme circulaire. Nos observations ont montré que l’hypothèse de circularité des tourbillons est valable dans la majorité de nos simulations, à l’exception de la phase de formation des tourbillons. Pour cette raison, nous avons choisi de conserver une modélisation circulaire des tourbillons. Leur identification passe donc par le calcul de leur rayon. Pour définir le rayon d’un tourbillon, il existe là aussi plusieurs définitions, équivalentes si le tourbillon est parfait. En particulier, les modèles de Rankine et de Lamb-Oseen permettent de définir le rayon d’un tourbillon en utilisant le maximum de vitesse azimuthale. D’autre part, la section précédente nous a permis de montrer que théoriquement, ce critère est équivalent à l’utilisation du seuil Qc, quel que soit le modèle. Les deux options ont donc été testées

et sont comparées dans la figure (1.12b). Le cercle rouge est circonscrit à la zone Q > Qc

tandis que le cercle bleu possède un rayon défini par le maximum de vitesse azimuthale, calculé dans les quatre directions cardinales. En dehors du tourbillon en cours de forma- tion où les deux critères semblent respectivement surévaluer et sous-évaluer la taille du tourbillon, ils mènent pratiquement au même résultat quand les tourbillons sont formés. Cela semble confirmer l’équivalence des deux critères. Finalement, c’est la délimitation de la zone Q > Qc qui a été utilisée, pour sa simplicité d’implémentation.

Dans leur étude de la déviation du sillage d’une aile battante, Godoy-Diana et al. [47] calculent la circulation des tourbillons en intégrant la vorticité dans une boite rectangu-

laire centrée autour de leurs tourbillons. Dans notre étude, on utilise l’identification des tourbillons que l’on vient de présenter pour calculer leur circulation

Γ =

Z

Σ

ωz(x)dx (1.67)

où Σ traduit la surface du disque-tourbillon. Son centre se situe au maximum de vorticité et il est circonscrit à la zone Q > Qc.

Figure 1.13 – Sillage d’une aile battante. Les cercles rouges représentent les tourbillons identifiés dans le sillage.

La figure (1.13) représente le même écoulement instantané que la figure (1.11a) sur lequel ont été superposés la position et la taille des tourbillons identifiés. Le tourbillon en cours d’émission au bord de fuite de l’aile n’est pas identifié. C’est une conséquence des critères numériques utilisés pour identifier et séparer les zones à Q > Qc en plusieurs

tourbillons. Pour cette raison, un tourbillon ne peut être identifié qu’une fois complètement détaché. On note également que le premier tourbillon identifié possède un rayon plus important que son rayon réel, dû à la présence de vorticité qui s’enroule autour de lui. C’est un des inconvénients de la méthode d’identification. Cet effet disparaît heureusement lorsque les tourbillons sont advectés dans le sillage.

1.3.2.2 Caractérisation de la perturbation de tourbillons

Dans cette étude, on traite à la fois d’écoulements tourbillonaires qu’il faut caractériser mais également de problèmes de stabilité. Les écoulements tourbillonaires sont considérés comme des champs de base qui sont soumis à des perturbations linéaires infinitésimales, ce qui pose la question de caractériser quantitativement l’effet de ces perturbations sur les tourbillons de ce champ de base. Le terme de quantification n’est pas utilisé dans un sens absolu, puisque la plupart des perturbations considérées sont linéaires et infinitésimales. Par contre, l’évolution spatiale et spatio-temporelle de la perturbation peut permettre d’identifier des zones et des instants où la perturbation est maximale. La quantification de l’influence des perturbations linéaires est donc relative. Dans cette thèse, on considère seulement des perturbations qui génèrent un déplacement de solide rigide δ du tourbillon

Ti tel que δ = 1 Γ Z Σ ω_z0(x)xdx (1.68)

où ω_z0 est la vorticité locale du mode de Floquet et x est la position locale intégrée sur toute la surface Σ du tourbillon de circulation Γ du champ de base. Ce choix est fait en accord avec les perturbations observées. De manière exhaustive, il existe tout une gamme de perturbations que l’on peut qualifier de perturbations de déformation, dont l’effet est de modifier une ou plusieurs des caractéristiques géométriques du tourbillon. On peut

1.3. MÉTH. D’ANALYSE DE SILLAGES PÉRIODIQUES EN TEMPS 45

considérer une déformation d’aplatissement : le tourbillon voit sa taille caractéristique augmenter ou diminuer sans modification de sa forme circulaire ou de sa circulation. On peut également parler d’une déformation de pincement : le tourbillon perd sa forme circulaire et prend une forme elliptique. La figure (1.14a) représente une image instantanée

(a) (b)

Figure 1.14 – (a) Superposition de la vorticité instantanée d’une perturbation linéaire avec les cercles représentant la position des tourbillons du champ de base. (b) Déplacement généré par la perturbation sur le tourbillon.

d’une perturbation linéaire. Plusieurs cercles rouges sont tracés en superposition pour représenter la taille et la position des tourbillons du champ de base qui ont été identifiées à l’aide des outils définis dans la section (1.3.2.1). La figure (1.14b) représente un zoom de la figure (1.14a) sur un des tourbillons. On y a rajouté le déplacement de solide rigide généré par la perturbation sur le tourbillon, calculé en utilisant l’équation (1.68). On précise que la norme du déplacement représenté est arbitraire, et que sa direction tient compte du fait que le tourbillon est positif.

Chapitre 2

Méthodes pour la stabilisation

d’écoulements stationnaires et

périodiques

2.1

Introduction