Extr´ emit´ es libres des g´ eod´ esiques maximales

L’objet de cette section est de chercher les configurations que peuvent prendre les points les plus ´eloign´es d’un point donn´e. Soit donc x fix´e une fois pour toutes. Nous cherchons les pointsy tels que d^φ_X(x, y) soit maximal. De fa¸con ´equivalente, nous cherchons l’extr´emit´e y des g´eod´esiques de longueur maximale de x `ay.

Notations :

x : un point deX fix´e.

y : un point deX tel que :

∀z∈X, d^φ_X(x, y)≥d^φ_X(x, z) λ: la distance d^φ_X(x, y)

Γxy : la g´eod´esique au sens de la distance g´eod´esique euclidiennesur X.

B : la boule g´eod´esique de centrex et de rayond^φ_X(x, y).

Y : un ensemble de points tel que la fonction de propagation surX puisse s’´ecrire : TX(z) = sup

y∈Y

d^φ_X(z, y)

Nous construirons progressivement Y. Notons que nous ne chercherons pas `a trouver Y minimal.

V : un voisinage circulaire ferm´e de centrey tel que sur V, le graphe G₀ et la fronti`ere de B soient des rayons uniquement. En particulier siz∈]y, y₁] rayon deV moins son centre, on a les propri´et´es ´evidentes suivantes :

Les paragraphes qui vont suivre ´etudieront de nombreuses configurations pour y. Ces diff´erents cas ne pourront ˆetre d´ecrits de fa¸con synth´etique que si l’on fait des hypoth`eses sur les polygonesXet K. Ces r´esultats g´en´eraux sont cependant utiles lorsque l’on cherche `a employer diverses m´etriques K, de plus en plus proches de la m´etrique euclidienne. La particularisation se fera facilement sans d´emonstration suppl´ementaire. Nous les ferons `a la section suivante.

Nous n’´etudierons que le cas o`u y ∈ ∂X. En effet, d’apr`es le principe de prolongement des g´eod´esiques, toute g´eod´esique se terminant en un point int´erieur `aX peut se prolonger en ligne droite, i.e. on peut trouver dansX un point strictement plus loin dex quey.

Dans un premier temps ´eliminons les cas pathologiques o`u y est un point singulier de la fronti`ere ou bien un point terminal :

D´efinition 6.40

yest un point singulier si et seulement si sur un voisinage circulaire de y,X^ca deux composantes connexes au moins (voir figure 6.14).

X^c

X^c X

Figure 6.14 : Voisinage d’un point singulier.

Proposition 6.41

Si y est un point singulier, y6∈Y.

D´emonstration : soit y point singulier et V le voisinage d´efini dans les notations. Comme V ∩X^c se compose de deux secteurs au moins, V ∩ X aussi. Soit S1 celui qui contient la g´eod´esique Γxy et C₂ une autre. Choisissons arbitrairement un rayon deC₂ que nous noterons r. Alors Γ_xy∪r est une g´eod´esique. En effet, Γ_xy est une g´eod´esique. Notonss= Γ_xy∩V. s∪r est une g´eod´esique, puisque :

• si r est dans le prolongement de s, c’est clair.

• sinon tout segment joignant un point der `a un point des coupeX^c, en vertu des propo-sitions 6.27 et 6.28.

Donc y6∈Y

D´efinition 6.42

y est un point terminal si et seulement si X ∩V est un rayon seulement (voir fi-gure 6.15).

Nous mettrons tous les points terminaux dansY.

Pla¸cons-nous dans le cas d’un point y fronti`ere, non terminal et non singulier. Dans ces conditions, V ∩X est un secteur (connexe) de V ferm´e, non r´eduit `a un rayon, et V ∩X^c un secteur ouvert (connexe).

Proposition 6.43

y ne peut pas ˆetre un sommet concave de X.

X^c

Figure 6.15 : Point terminal.

D´emonstration : nous avons vu que sur V, la boule g´eod´esique B est un secteur convexe.

Donc B ne peut couvrir X∩V en entier, puisque c’est un secteur strictement plus grand que l’angle plat (voir les deux configurations locales des boules g´eod´esiques)

Proposition 6.44

Si y n’est pas un sommet de X, alors :

1. tous les points de l’arˆete r contenant y sont `a mˆeme distance dex.

2. les deux extr´emit´es de r sont des sommets convexes non singuliers Cette proposition est illustr´ee sur la figure 6.16.

y a

b

X Γxy

d^φ_X(x,·) =λ ∂X

Figure 6.16 : Voisinage d’un point `a distance maximale n’´etant pas un sommet de X.

D´emonstration : V se d´ecompose en deux demi-cercles : V ∩X est un demi-cercle ferm´e et V ∩X^c son compl´ementaire, un demi-cercle ouvert. Comme la bouleB recouvreX, d’apr`es les configurations locales des boules g´eod´esiques, V ∩∂X est `a la distance λdex.

Consid´erons le cˆot´e [a, b] de X contenant y. Supposons que tous ces points ne soient pas `a distance λ de x. [a, b]∩ {z, d<sup>φ</sup><sub>X</sub>(x, z) = λ} est un compact. Soit [a<sup>0</sup>, b<sup>0</sup>] une de ses composantes connexes. Par hypoth`ese, a⁰ 6= aou b⁰ 6= b. Supposons a⁰ 6= a. Comme d^φ_X(x, a⁰) = λ, on peut reprendre la d´emonstration locale en rempla¸canty para⁰. Il existe alors un voisinage dea⁰ dans [a, b] ´etant `a la distanceλdex. Ceci contredit la supposition [a<sup>0</sup>, b<sup>0</sup>] est une composante connexe de [a, b]∩ {z, d<sup>φ</sup><sub>X</sub>(x, z) =λ}. Donc tout point de [a, b] est `a distance λde x.

En particulier les sommets a et b r´ealisent le maximum de la distance `a x. Ils ne peuvent donc pas ˆetre concaves, ni singuliers

On peut encore ˆetre un peu plus pr´ecis sur la structure locale de l’arˆete [a, b]. En effet, l’arˆete [a, b] ayant tous ses points `a distance λ de x doit avoir la direction d’un des cˆot´es de K. Supposons que ce soit si = [ki−1, ki]. Nous supposerons que X est `a gauche de −→ab, ce qui est possible en intervertissant les rˆoles de a et b. Nous supposerons enfin que K est aussi `a gauche de −−−→ki−1ki, ce qui est possible puisque K est sym´etrique par rapport `a l’origine et que l’on peut choisir le cˆot´esj sym´etrique desi si ce dernier ne convient pas. La g´eod´esique Γxaest une ligne polygonale (a_i)^p_i=0 avec a₀ = a et a_p = x. Notons ~s_a = −−→a₀a₁. Nous d´efinirons ~s_b de mani`ere analogue. Toujours en vertu de la structure locale des boules g´eod´esiques, ~sa et~sb ont leur angle compris entre αi et αi−1. Soit u le point le plus ´eloign´e de x simultan´ement sur les deux g´eod´esiques Γ_xaet Γ_xb. Le triangle g´eod´esique (u, a, b) n’est pas d´eg´en´er´e. On en d´eduit la proposition :

Proposition 6.45

Le triangle euclidien limit´e par la droite(a, b), la droite passant parade directionαi

et celle passant par bde direction α_i−1 est inclus dans le triangle g´eod´esique(u, a, b) qui est lui-mˆeme inclus dansX (voir figure 6.17).

~si

Figure 6.17 : Voisinage d’un point `a distance maximale n’´etant pas un sommet de Xet son triangle euclidien associ´e.

Il nous reste maintenant `a ´etudier le dernier cas o`u y est un sommet convexe deX.

Lemme 6.46

S’il existe z ∈ V ∩X (z 6= y) `a distance λ de x, on peut trouver un point sur une arˆete de X, n’´etant pas un sommet `a distance λde x.

En d’autres termes, ce cas a d´ej`a ´et´e pris en compte.

D´emonstration : commez 6=y, tout le rayon de V contenant y est `a distance λde x. Or si la boule g´eod´esique B recouvre X, d’apr`es la structure locale des boules g´eod´esiques, ce rayon ne peut ˆetre que sur la fronti`ere deX. Donc le pointz est sur∂X et v´erifie donc le lemme

Proposition 6.47

Il suffit de ne garder dansY que les sommets convexes de X tels qu’il existe une di-rection parall`ele `a l’un des cˆot´es deK et telle que le diam`etre deV de cette direction, priv´e dey, soit inclus dans X^c.

La droite port´ee par le diam`etre sera appel´ee une droite d’appui stricte(voir figure 6.18).

Droite d’appui stricte

X

Figure 6.18 :D´efinition d’une droite d’appui.

D´emonstration : soitαla direction du dernier segment de la g´eod´esique Γxy en y. Soit alors i tel queα_i ≤α < α_i+1. Le demi-disque limit´e par la direction de s_i et contenant Γ_xy contient tous les points `a distance≤λ, donc en particulierV∩X. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, il ne peut exister de point `a distanceλde x dansV ∩X. Donc les rayons de direction si et si+π ne sont pas dans le secteur correspondant `a X (puisque la distance de chacun de leurs points `a x est

≥λ) et par suite le diam`etre de directionsi coupe V ∩X en y uniquement En r´esum´e, il suffit queY contienne les points suivants :

1. Les points terminaux

2. Un point des arˆetes ayant `a leurs extr´emit´e deux sommets convexes non singuliers 3. Les sommets poss´edant une droite d’appui stricte de direction l’un des cˆot´es de K.