Algorithmes pour les lignes de d´ efaut

Qu’est-ce qui caract´erise une ligne de d´efaut ? Avant d’en donner une d´efinition math´ema-tique, disons qu’elles passent pr`es des endroits o`u les lames pr´esentent un d´ecalage lat´eral de leur axe. Si nous parvenions `a couper les lames `a ce niveau, c’est-`a-dire transformer la flexion en fracture, nous serions ramen´es au probl`eme classique. Comment d´eterminer les flexures ? Nous dirons que ce sont les endroits o`u la fronti`ere des particules pr´esente une forte courbure. Nous allons donc dans un premier temps d´eterminer ces points.

7.3.1 Recherche des points de forte courbure

D´efinir math´ematiquement la courbure d’une courbe deux fois d´erivable est simple. Mal-heureusement, dans le cas digital o`u toutes les courbes sont polygonales, le probl`eme est d´elicat et n’a d’ailleurs pas encore trouv´e de solution g´en´erale satisfaisante.

7.3.1.1 Les solutions morphologiques

Pla¸cons-nous d’abord dans le plan continu. Parmi les solutions morphologiques, citons l’ouverture par un disque, qui met en ´evidence les “irr´egularit´es plus fines que le diam`etre du disque”. Cependant, la courbure doit ˆetre un crit`ere purement local, alors qu’un point sera conserv´e par ouverture si et seulement si la fronti`ere en ce point pr´esente un rayon de courbure sup´erieur `a celui du disque et sil’´el´ement structurant tangent `a la fronti`ere est totalement inclus dans l’objet. La deuxi`eme partie de cette condition montre que les zones de faible ´epaisseur des objets, bien que pr´esentant une courbure faible seront ´elimin´ees au mˆeme titre que les zones de forte courbure (figure 7.15).

X (X)B X

(X)B

Figure 7.15 :Les deux effets de l’ouverture par un disque.

Dans notre cas, seule une ouverture de tr`es petite taille peut ˆetre envisag´ee, car les lames ont une largeur de 5 `a 7 pixels. Donc au del`a de la taille 2, le caract`ere non local de l’ouverture sera pr´epond´erant. Il en est de mˆeme pour la fermeture, car l’espace entre les lames est de l’ordre de l’´epaisseur des lames. Cependant, nous pouvons effectuer la fermeture composante connexe par composante connexe, car nos lames sont en premi`ere approximation rectilignes. (Attention : la transformation qui `a un ensemble associe l’union des ferm´es de chaque composante connexe

n’est pas une fermeture, car non idempotente. Il est donc possible de l’it´erer et d’agglom´erer progressivement certaines composantes connexes. Combien de fois it´erer la transformation ?) Malheureusement, les r´esultats (figure 7.16) sont loin de ce que l’on attendait, et cela pour deux raisons :

• Malgr´e l’utilisation de cercles digitaux euclidiens, la diff´erence entre le ferm´e et la forme initiale n’a pas une ´epaisseur sup´erieure `a deux pixels.

• Du fait de la digitalisation, certains pixels au bord de l’objet peuvent ˆetre ajout´es et les particules g´en´er´ees sont du mˆeme ordre de taille que les premi`eres.

Il nous semble impossible de distinguer les points correspondant `a une courbure importante des autres. L’´echec est manifeste.

(1) : Image originale (2) : Diff´erence entre le ferm´e et la particule, composante connexe par composante connexe

Figure 7.16 : Fermeture composante connexe par composante connexe.

Nous n’avons pas trouv´e de solution morphologique au probl`eme. C’est pourquoi nous nous sommes tourn´es vers des solutions plus classiques, fond´ees sur des suivis de contours et qui donnent des r´esultats de qualit´e suffisante.

7.3.1.2 Une autre solution

La solution que nous exposons n’est pas neuve. Elle a fait l’objet de publications en 1977 [FD77]. Nous l’avons retenue car elle fait appel au suivi de contour de l’objet que nous avons longuement d´evelopp´e dans la partie consacr´ee aux algorithmes et sa mise en oeuvre est tr`es simple.

En effet, supposons le contour d’un objet donn´e par une suite de pixels (pi)ⁿ_i=0 selon un algorithme de suivi de contour. L’angle entre deux segments successifs de cette ligne polygonale

est un multiple de ^π₃. Il est possible de lisser ces variations en ne consid´erant non plus l’angle entre deux segments construits sur deux points adjacents pi−1pi et pip_i+1, mais l’angle entre deux segments construits sur des points plus espac´es.

D´efinition 7.1

On appelle k-courbure au point pi l’angle entre les deux segments pi−kpi etpip_i+k. En trame hexagonale, sik= 1, la 1-courbure ne peut prendre que 6 valeurs distinctes. Dans le cas g´en´eral, lak-courbure peut prendre 6k valeurs distinctes. Ceci montre que les directions sont

´echantillonn´ees de plus en plus finement quand k augmente. Par contre, les petits d´etails sont liss´es. Cet algorithme travaille donc `a une taille caract´eristique donn´ee au dessous de laquelle les d´etails sont ignor´es. Or dans notre cas cette taille est de l’ordre de la largeur des lames, param`etre dont nous avons d´ej`a discut´e la robustesse. Nous avons pris ici k= 4.

Les contours des lames sont bien ´evidemment bruit´es. Il est donc n´ecessaire de connaˆıtre la plus grande courbure que peut g´en´erer du bruit. Pour cela, pla¸cons-nous dans le mod`ele suivant : la portion de fronti`ere ´etudi´ee est une droite bruit´ee par des pixels se trouvant dans le dilat´e de taille 1 de l’objet. On v´erifie que la 4-courbure maximale est d’environ 0.5 radian, valeur au del`a de laquelle nous estimons avoir trouv´e un point de forte courbure (figure 7.17). Les r´esultats sont pr´esent´es figure 7.18.

4−segment

Figure 7.17 : 4-courbure maximale pour une droite bruit´ee.

Dans quelle mesure la fronti`ere des lames a-t-elle ´et´e liss´ee ? En notation vectorielle : pip_i+k=

i+kX−1 j=i

pjp_j+1

Ceci montre que le vecteur pip_i+k correspond `a un facteur d’´echelle pr`es `a la moyenne mobile

´etendue `a k vecteurs ´el´ementaires de la fronti`ere. On ne pouvait pas imaginer plus simple.

En examinant l’image form´ee par ces points, il semble que le travail soit termin´e. En ef-fet, il est facile de connecter ces points sans quasiment aucune ambigu¨ıt´e (contrairement au trac´e des lignes de d´efaut). Faut-il donc faire intervenir l’image de d´epart pour connecter ces

(1) : Image originale (2) : Points de forte courbure

Figure 7.18 : Points de forte 4-courbure.

points ? Si la r´eponse est n´egative, nous n’aurons jamais fait intervenir le fait que les lames sont des objets parall`eles et que les d´efauts sont orthogonaux aux lames. Il semble bien que nous n´egligeons alors des caract´eristiques importantes des images. Si la r´eponse est positive, nous avons l’impression de mieux “coller” `a l’id´ee d’une image d’eutectiques lamellaires. Mais n’est-ce pas inutile ? Ne r´eduit-on pas de fa¸con trop importante la classe d’images pour lesquelles l’algorithme fonctionne ? Il me semble que les deux opinions se d´efendent : c’est un probl`eme de contexte. Si l’on admet que l’univers peut pr´esenter des images qui ne repr´esentent pas des eutectiques, il est clair qu’il faut faire intervenir les lames pour d´ecouvrir, le cas ´ech´eant, que l’image ne repr´esente pas un eutectique. On peut aussi admettre que de telles situations sont impensables. On peut tr`es bien ne pas introduire de connaissances relatives aux lames dans les algorithmes. Nous rediscuterons ce point dans la derni`ere partie en ´etudiant la minimalit´e des mod`eles utilis´es.

Nous allons, dans un premier temps examiner quelques proc´edures de connexion des points de fortes courbure, puis dans un deuxi`eme temps, nous ´etudierons comment faire intervenir les lames des eutectiques.