Dilatation des lacets

Nous allons d’abord voir comment calculer de mani`ere simple le lacet parall`ele `a un lacet donn´e. Nous quitterons ensuite la structure de lacet pour aborder celle de chaˆıne, plus g´en´erale et plus efficace. Elle nous permettra en particulier d’obtenir des algorithmes pour les transfor-mations g´eod´esiques. Nous montrerons aussi comment effectuer certaines mesures (diam`etre de Ferret. . . ) `a partir de la structure de chaˆıne. La fonction de propagation ne sera abord´ee qu’au chapitre suivant, car il sera n´ecessaire d’´etudier d’abord en d´etail la notion de g´eod´esique dans des m´etriques particuli`eres.

5.1.1 Dilatation d’un lacet par l’hexagone ´el´ementaire

Nous supposerons d’abord que X est repr´esent´e par un unique lacet L = (O, C), d’origine O = (x, y) et de liste de codes C= (ci)ⁿ_i=1. Par commodit´e, nous poseronsc₀=cn.

D´efinition 5.1

Soit D:L → L l’application qui transforme les lacets comme suit : Posons L⁰ = (O⁰, C⁰) =D(L). On dira que D(L) est le lacet dilat´e de L.

1. O⁰=O+~ucn−2

2. C⁰= (c¹₁, . . . , c¹_i1, c²₁, . . . , c²_i2, . . . , cⁿ₁, . . . , cⁿ_in), ou sous forme condens´ee : C⁰ =(c^j_p)ⁱ_p=1^{j n}

j=1

avecc^j₁, . . . , c^j_ij est donn´e par le syst`eme de r`egles R(voir table 5.1) : cj−1, cj −→R c^j₁, . . . , c^j_ij

cj−cj−1 mod 6

Tableau 5.1 : Les r`egles du syst`eme R.

Ces r`egles peuvent ˆetre traduites g´eom´etriquement comme le montre la figure 5.1.

Remarque : La r`egle 4 ne peut pas ˆetre activ´ee dans le cas d’un lacet d´elivr´e par l’algorithme de suivi de contours : en effet la propri´et´eP6n’est pas v´erifi´ee. Cependant, cette r`egle nous servira par la suite pour effectuer des dilatations de taille plus grande.

D´emontrons `a pr´esent quelques propri´et´es du lacet transform´eL⁰ =D(L).

Proposition 5.2

L⁰ est un lacet (ferm´e).

D´emonstration : Posons pour toute la suite de ce paragraphe p0 =O et pi=O+

Xi j=1

~ucj , 1≤i≤n

Par hypoth`ese,Lest un lacet, doncp0=pn. Par construction, O<sup>0</sup> est le point au milieu `a droite de (pn−1, pn), dont le code de direction estcn. Posonsp⁰₀=O⁰ et construisons par r´ecurrence la

cj −cj−1= 0 cj−cj−1 = 1

cj −cj−1= 2 cj−cj−1 = 3

cj −cj−1= 4 cj−cj−1 = 5

Figure 5.1 :Interpr´etation g´eom´etrique des r`egles du syst`eme R.

Proposition 5.3

X⊕H₁\X⊂ {q⁰_i}^qi=1.

Cette proposition exprime le fait que tous les points du dilat´e de taille un deXqui ne sont pas dans Xsont visit´es par le lacet transform´e.

D´emonstration : Soit x∈X⊕H1. La propri´et´eP5 de l’algorithme de suivi de contours assure qu’il existe trois points cons´ecutifspi−1,pietp_i+1 o`uxest examin´e lorsque l’on balaye les voisins de p<sub>i</sub> dans le sens trigonom´etrique en partant de p<sub>i−1</sub> pour aboutir `a p_i+1. Soit (x_j)^s_j=1 la suite des points de X^c rencontr´es. On ax=xk pour 1≤k ≤s. x1 =p⁰_i carx1 est le point au milieu

`a droite de (pi−1, pi) et xs = p<sup>0</sup><sub>i+1</sub> puisque xs est le point au milieu `a droite de (pi, p_i+1). Par construction (voir figure 5.1), tous les points (x_i)^s_i=1 sont visit´es par la sous-chaˆıne du lacet L⁰ allant de p⁰_i `ap⁰_i+1. Doncx=q⁰_t pour 0≤t≤q−1

Proposition 5.4

{q_i⁰}^qi=1⊂X⊕H1.

D´emonstration : Tout pointqi appartient `a une sous-chaˆıne dep<sup>0</sup><sub>j</sub> `ap⁰_j+1. Or tous les points de cette sous-chaˆıne sont voisins de p_j ∈X, d’o`u la proposition

En r´esum´e, si nous supposons que les points deXont pour valeur 1, ceux deX^cla valeur 0 et que l’on affecte la valeur 1 au points (q⁰_i)^q_i=1du lacet L⁰, les points dont la valeur est alors1sont exactement ceux de X⊕H₁. Il faut noter qu’une foisX cod´e sous forme de lacet, nous venons de calculerX⊕H₁ sans utiliser de relations de voisinages. En fait, celles-ci sont contenues dans l’enchaˆınement des directions des segments successifs du lacet. La figure 5.2 illustre l’application D par un exemple. Nous avons dans ce cas :

L = (O,(4,4,5,5,0,0,2,3,2,1,0,1,3,3))

L⁰ = O⁰,(3,4,4,4,5,5,5,0,0,0,1,2,2,3,0,1,1,2,3,3)

5.1.2 Propri´et´es du lacet dilat´e

La figure 5.2 montre bien que le lacet dilat´e ne poss`ede pas les propri´ete´sP1 `a P6. Si l’on cherche `a it´erer la dilatation des lacetsD, nous devons restreindre les propri´et´es demand´ees. En voici trois qui se conserveront par it´eration :

p₀ p₁₃ p1

p₂

p⁰₀ p⁰₁

p⁰₂

Figure 5.2 :Exemple o`u le lacet transform´e n’est pas la fronti`ere du di-lat´e.

D´efinition 5.5

Soit X un ensemble simplement connexe et L un lacet. Notons le lacet L = (p₀,(c₁, . . . , cn)) et pi = p₀ +^Pi_j=1~ucj et X l’ensemble trait´e. Nous dirons que X est repr´esent´e parL ou que L est associ´e `a X si et seulement si L v´erifie les trois propri´et´es :

Propri´et´es des lacets

Propri´et´e L1: (fermeture) p₀ =pn. Propri´et´e L2: ∀i pi ∈X.

Propri´et´e L3 : Soient x₁ ∈X et x₂ ∈X^c, voisins. Il existe i tel que x₁ =pi et x₂ est atteint lorsque l’on balaye les voisins dep_i dans le sens trigonom´etrique de pi−1 `a p_i+1.

Notons que la propri´et´eL3implique queFront (X)⊂ {p_i}ⁿi=1.

L’introduction de ces trois nouvelles propri´et´es est justifi´ee par le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 5.6

Soit un lacet L associ´e `a X et v´erifiant L1 `a L3. Alors le lacet dilat´e D(L) associ´e

`

a X⊕H1 v´erifie aussiL1 `a L3.

D´emonstration : En gardant les notations du paragraphe pr´ec´edent :

• L⁰ =D(L) le lacet transform´e deL.

• C = (pi)ⁿ_i=1 les points deL avec p0 =pn.

• (p⁰_i)ⁿ_i=1 les points au milieu `a droite de (p_i−1, p_i).

• C⁰ = (q⁰_i)^q_i=1 les points du lacet transform´e. On a donc{p⁰_i}ⁿi=1 ⊂ {q⁰_i}^qi=1. Propri´et´eL1: L⁰ la v´erifie (voir la d´emonstration du paragraphe pr´ec´edent).

Propri´et´e L2 : De par la structure du syst`eme R, les points {q<sub>i</sub><sup>0</sup>} du lacet L<sup>0</sup> sont voisins des possibles pour x sont alorsa, bou c selon la figure 5.3. Ces trois points seront rencontr´es en balayant dans le sens trigonom´etrique les voisins de q<sub>j</sub><sup>0</sup> de q<sub>j</sub><sup>0</sup><sub>−1</sub> `a q_j+1⁰ .

Cas 2 : x₁ =p⁰_k. Alorsp⁰_k est au milieu `a droite de (pk−1, pk) (voir figure 5.4). Notons, toujours selon la figure 5.4, les quatre autres voisins de p<sup>0</sup><sub>k</sub>, a, b, c et d. Les points p<sub>k−2</sub> et p<sub>k+1</sub> ne peuvent pas se trouver simultan´ement en d et a respectivement, car tout voisin de x<sub>1</sub> serait dansX⊕H1. Supposonspk−2 6=d. L’application des r`eglesR montre queq_j⁰₋₁=d, puisque toutes les r`egles (sauf R₅ que l’on ne peut pas employer) transformentci, c_i+1 en c_i, . . . , c_i+1.

• Si p_k+1 6= a, alors q_j+1⁰ = a. Dans ces conditions, les deux seules possibilit´es pour x₂, `a savoir b et c seront balay´ees par l’application de la r`egle transformant ((q_j⁰₋₁, q_j⁰),(q_j⁰, q⁰_j+1)).

• Si p_k+1 = a, p_k+2 6= b puisque sinon tout voisin de x₁ est dans X⊕H₁. La r`egle utilis´ee pour transformer ((pk, p_k+1),(p_k+1, p_k+2) ne sera pasR5 et doncq⁰_j+1=b. x2

est alors cet sera bien visit´e `a l’application deR<sub>5</sub> `a ((d, p⁰_k),(p⁰_k, b))

De fa¸con ´evidente, les lacets fournis par le suivi de contours v´erifient les propri´et´esL1`aL3.

Nous en d´eduisons donc :

Proposition 5.7

Soit L un lacet fourni par le suivi de contours. Alors Dⁿ(L) v´erifie L1 `a L3 pour l’ensembleX⊕nH1.

Ainsi donc, supposons que nous disposions d’une image binaire ne contenant qu’un objet simplement connexe dont les pixels sont `a la valeur 1, le fond ayant la valeur 0. Si nous tra¸cons tous les lacets D<sup>i</sup>(L) pour 1 ≤ i ≤ n `a la valeur 1, l’ensemble des pixels `a la valeur 1 sera exactement X⊕nH<sub>1</sub>. Malheureusement, le lacetD<sup>n</sup>(L) contient beaucoup de points n’´etant pas sur la fronti`ere deX⊕nH₁. Apr`es avoir montr´e comment ´etendre ces r´esultats au cas d’une union de lacets d´ecrivant un objet quelconque, nous montrerons comment il est possible d’´eliminer ces portions inutiles.

x₀ ∈X b q_j+1⁰

q_j⁰₋₁

a

c q⁰_j =x₁

Figure 5.3 :Illustration du cas 1.

a p⁰_k=q⁰_j =x1 d b

p_k

c

pk−1

Figure 5.4 :Illustration du cas 2.

5.1.3 Dilatation d’un ensemble de lacets

Il a ´et´e d´emontr´e que tout sous-ensemble X pouvait ˆetre d´ecrit par une suite d’ensembles (Xi), unions disjointes d’ensembles simplement connexes :

X= ((X₀\X₁)∪X₂)\X₃. . .= [∞ i=0

X_2i\X_2i+1

et les lacets d´ecrivant X sont les contours internes des X_2i et les contours externes desX_2i+1. Plus pr´ecisement :

• SoitY une composante (simplement) connexe deX_2i. Le suivi de son contour fournira un lacet poss´edant les propri´et´es L1`aL3 pour la composanteY.

• SoitZ une composante (simplement) connexe deX_2i+1. Nous suivons le contour deZ^cqui fournit un lacet poss´edant les propri´et´es L1`a L3pour Z^c.

Proposition 5.8

Le suivi de contour deX quelconque fournit un ensemble de lacets v´erifiant globale-ment L1 `a L3.

D´emonstration :

Propri´et´eL1: clair car chaque lacet est ferm´e.

Propri´et´eL2: par construction de l’algorithme de suivi de contour, chaque point d’un lacet est dansX.

Propri´et´eL3: soient x1 ∈X et x2∈X^c voisins. Alors x1 ∈X2i et deux cas seulement peuvent se pr´esenter :

• x₂ ∈X_2i−1. Il suffit d’appliquer la propri´et´eL3au lacet contour de la composante de X_2i contenant x₁.

• x₂ ∈X_2i+1. Il suffit d’appliquer la propri´et´eL3au lacet contour du compl´ementaire de la composante de X2i+1 contenantx2.

Proposition 5.9

Soit {Lⁱ}ⁿi=1 l’ensemble des lacets de contour de X. Alors {D(Lⁱ)}ⁿi=1 v´erifie L1 `a L3pour X⊕nH₁.

D´emonstration : la d´emonstration propos´ee dans le cas d’un unique lacet se transpose directe-ment au cas d’une union de lacets.