Coupure des lames

Bien que les r´esultats de la section pr´ec´edente nous semblent ˆetre suffisants pour r´esoudre le probl`eme pos´e, nous allons examiner `a pr´esent ce que peut nous apporter l’introduction de la connaissance relative `a l’organisation g´eom´etrique des lames. L`a encore, deux voies s’offrent

`a nous : couper les lames au niveau des points de forte courbure et se ramener au probl`eme classique, ou chercher d’autres solutions.

7.5.1 Dilatation par des losanges

Les lames ne pr´esentent pas un ´etranglement suffisamment net au niveau des points de forte courbure pour permettre l’emploi de proc´edures classiques telles que la s´eparation par ´erod´es ultimes [Ser82]. Cependant, nous pouvons utiliser le fait que toutes les lames ont quasiment la mˆeme orientation.

Ainsi, une dilatation lin´eaire dans la direction orthogonale permettra de couper les lames.

On peut mesurer cette direction globalement sur l’image avec, par exemple, une pr´ecision de 30 degr´es. Notons qu’une pr´ecision sup´erieure est illusoire, puisque l’on remarque que suivant les diverses zones de l’image, cette direction varie dans ces proportions. Un autre probl`eme de la dilatation lin´eaire est la sursegmentation des lames, que nous avions d´ej`a ´evoqu´ee lors de la pr´esentation des proc´edures de connexion : au niveau d’une flexion, chaque point de forte courbure g´en´erera une coupure, ce qui est inacceptable. Une solution consiste `a ´eliminer les portions de lames pr´esentant une longueur trop faible, par exemple de l’ordre de la largeur des lames. Implicitement, cela suppose qu’il ne peut pas exister deux flexures distinctes et parall`eles

`a une distance inf´erieure `a la largeur des lames. Enfin, pour limiter la dilatation d’un point de forte courbure `a la lame `a laquelle il appartient, il convient d’effectuer la dilatation lin´eaire de mani`ere g´eod´esique en consid´erant les lames comme un masque.

Une alternative `a la dilatation lin´eaire est la dilatation par un losange contenant la direction g´en´erale orthogonale aux lames et d’angle 60 degr´es, l’origine se trouvant en un de ses sommets.

L’int´erˆet d’une telle proc´edure est de pouvoir s’affranchir de l’´elimination des morceaux de lames de longueur trop faible de l’algorithme pr´ec´edent. Le seuil de longueur disparaˆıt, mais nous en introduisons un nouveau : l’angle au sommet du losange, de 60 degr´es ici. Il semble cependant que l’utilisation de losanges permette de mieux prendre en compte la variabilit´e de la direction g´en´erale sur une image.

En termes de transformations, si nous notonsX l’ensemble des lames,P l’ensemble des points de forte courbure etL le losange ´el´ementaire centr´e `a l’un de ses sommets aigus, la coupure est obtenue par :

{(P ⊕L)∩X}^∞∪ {(P ⊕L)ˇ ∩X}^∞ o`u {}<sup>∞</sup> repr´esente l’it´eration jusqu’`a convergence.

La technique de coupure pr´esent´ee n’est cependant pas tr`es satisfaisante. En effet, les di-rections utilis´ees semblent relativement arbitraires. On pourrait s’en affranchir par l’utilisation d’un ´el´ement structurant circulaire. L`a encore deux faits s’y opposent.

1. On ne peut plus dilater g´eod´esiquement les points de forte courbure jusqu’`a convergence, puisque toute la lame `a laquelle un tel point appartient sera reconstruite ! Il faut donc trouver la taille de dilatation ad´equate. Il s’agira encore de la largeur des lames. Nous venons d’´eliminer le param`etre direction pour retrouver la largeur des lames.

2. Mais dans ce cas, deux lignes de d´efaut parall`eles `a une distance de deux fois la largeur ne fourniront qu’une seule coupure : elles seront donc fusionn´ees. Ce seuil entre deux d´efauts parall`eles est trop grand.

(1) : Points de forte courbure (2) : Dilat´e lin´eaire `a 30 degr´es conditionnellement aux lames

(3) : Lames coup´ees par le dilat´e lin´eaire (4) : Ouverture de taille 1 de (3) suivie d’une reconstruction dans (3)

Figure 7.30 : Coupure des lames par dilatation lin´eaire conditionnelle.

(1) : Points de forte courbure (2) : Dilat´e par un losange conditionnellement aux lames

(3) : Lames coup´ees par le dilat´e (2) (4) : Ouverture de taille 1 de (3) suivie d’une reconstruction dans (3)

Figure 7.31 : Coupure des lames par dilatation losangique conditionnelle.

7.5.2 Erod´es ultimes g´eod´esiques

L’algorithme classique de s´eparation par ´erod´es ultimes peut ˆetre adapt´e `a notre cas. Qu’est-ce qu’un ´erod´e ultime ? C’est un maximum r´egional de la fonction distanQu’est-ce `a la fronti`ere. Or les “centres” des r´egions rectilignes des lames pourraient ˆetre d´ecrits par les maxima r´egionaux de la distance aux flexures. Il suffit donc de consid´erer la fonction distance aux points de forte courbure non plus dans toute l’image, mais dans le masque form´e par les lames, et d’appliquer la proc´edure classique de mani`ere g´eod´esique.

D´efinition : coupures des lames

Les coupures sont les lignes de partage des eaux de l’oppos´e de la fonction distance g´eod´esique aux points de forte courbure.

Si nous notonsX l’ensemble des lames,P l’ensemble des points de forte courbure, en notant en indice l’ensemble dans lequel s’effectue la transformation g´eod´esique, l’algorithme associ´e s’´ecrit :

Algorithme 4 : s´eparation par ´erod´es ultimes g´eod´esiques X : ensemble des lames.

P : ensemble des points de forte courbure.

Y : r´esultat.

• D ←Distance_X (P).

• R←Max r´egional (D).

• E = D × R (´erod´es ultimes g´eod´esiques, leur niveau de gris repr´esentant le nombre d’´erosions pour l’obtenir).

• Y ← ∅.

• Pour nde maxD `a 1 faire :

Y ←Epaissi_D≥n(Y ∪(E==n)).

La mesure directe d’une direction a totalement disparu et la proc´edure s’appliquera donc

`a une image dans n’importe quelle position, pouvant mˆeme pr´esenter des fluctuations de di-rection. Notons cependant qu’il nous est toujours n´ecessaire d’´eliminer les portions de lames sursegment´ees, de longueur inf´erieure `a, par exemple, la largeur des lames (par une ouverture circulaire suivie d’une reconstruction). Cette derni`ere technique de coupure de lames est de loin la meilleure, bien que ses r´esultats soient comparables `a ceux des autres techniques pr´esent´ees.

Cependant, l’´etude des crit`eres mis en jeu montre que ce dernier algorithme s’appliquera `a une classe d’images beaucoup plus vaste.

(1) : Points de forte courbure (2) : Lames coup´ees par

´erod´es ultimes g´eod´esiques

Figure 7.32 : Coupure des lames par ´erod´es ultimes g´eod´esiques.