Quelques lemmes sur les g´ eod´ esiques

L’objet de cette section est de rappeler certaines propri´et´es des g´eod´esiques dansXcompact du plan muni de la distance euclidienne usuelle que nous noteronsd. Nous ne donnerons pas les d´emonstrations car elles correspondent `a des travaux non publi´es [ML88].

• ∈ X ◦ ∈ X^c y

y

T riangle⊂X y

1–

2–

3–

Figure 6.5 :Les trois configurations dans l’ensemble Y. 6.2.1 La notion d’arc et de chemin g´eod´esiques

D´efinition 6.3

SoitX une partie non vide de IR²,x et y deux points de X. On appelle chemin dex

`

a y toute application continue f : [α, β]−→X telle que f(α) =x etf(β) =y.

Pour mesurer la longueur de ce chemin, nous allons l’approximer par des lignes polygonales.

D´efinition 6.4

On appelle ligne polygonale croissante sur f toute ligne polygonale P = (f(λi))ⁿ_i=0 avec :

α=λ0< . . . < λi < . . . < λn=β

La longueur de cette ligne polygonale est la somme des longueurs de ses segments :

L(P) = Xn i=1

d(f(λi−1), f(λi))

D´efinition 6.5

Soitf un chemin dex `ay dansX.f est dit rectifiablesi et seulement si l’ensemble : {L(P), P ligne polygonale croissante }

est born´e. Sa borne sup´erieure est lalongueur du cheminf.

La notion de chemin n’est pas suffisante. En effet, sif(t), t∈[0,1] est un chemin def(0) `a f(1), g(u) =f(2u), u∈[0,0.5] aussi. Or ces deux chemins ont mˆeme image. Classiquement on d´efinit alors une relation d’´equivalence sur l’ensemble des chemins. Cependant, pour obtenir des th´eor`emes plus simples, il est pr´ef´erable de raisonner sur la notion d’arc.

D´efinition 6.6

Soit A une partie deX. A est un arcs’il est image d’un chemin de X.

• S’il existe un chemin injectif dont A est l’image, on dira que A est un arc simple.

• S’il existe un chemin rectifiable dont A est l’image, on dira que A est un arc rectifiable.

• Tous les chemins injectifs d’image A ont mˆemes extr´emit´es. Ce seront les extr´emit´es deA.

• Si A est rectifiable, la longueurde A est la borne inf´erieure des longueurs des chemins d’image A.

D´efinition 6.7

On appelle g´eod´esique dans X tout arc simple rectifiable dont la longueur est inf´erieure `a la longueur de tout autre arc simple de X de mˆemes extr´emit´es.

Notons bien qu’une g´eod´esique est n´ecessairement un arcsimple. Si Γ est une g´eod´esique de x `a y, on a par d´efinition :

L(Γ) = d_X(x, y)

Lemme 6.8

SiΓ est un arc simple rectifiable dont nous noterons l’une des extr´emit´es x, il existe un seul cheminγ : [0,L(Γ)]→Xd’imageΓtel queγ(0) =xetL(Γ|[0,t]) =t(abscisse curviligne).

Si Γ est une g´eod´esique reliant x `a y, nous dirons que γ est un chemin g´eod´esique dex `a y.

Remarque : si a et b sont deux points de l’arc simple Γ, on peut d´efinir sans ambigu¨ıt´e le sous-arc de Γ dea`a b: si nous notons γ(u) =aet γ(v) =b, c’est γ([u, v]).

6.2.2 La distance g´eod´esique

Nous allons munirXd’une distance qui n’est pas toujours ´equivalente `a celle induite par la distance euclidienne du plan, mais qui rend bien compte de la distance `a parcourir lorsque l’on veut passer d’un point x`a un point y tout en restant dans l’ensemble X.

D´esignons parCX(x, y) l’ensemble des chemins de X reliantx `ay. Posons : dX(x, y) =

( ∞ si CX(x, y) =∅

inf{L(f), f ∈ CX(x, y)} sinon

d_X n’est pas une distance car elle peut prendre des valeurs infinies, en particulier si x et y appartiennent `a deux composantes connexes distinctes de X. En revanche, dX v´erifie les trois axiomes d’une distance : s´eparation, sym´etrie et in´egalit´e triangulaire.

D´efinition 6.9

On appelle diam`etre g´eod´esique deX le nombre ´eventuellement infini : sup{dX(x, y), x∈X, y ∈X}.

Si le diam`etre g´eod´esique de X est born´e, alors dX est une distance que nous appellerons distance g´eod´esiquesur X.

6.2.3 Existence et unicit´e des g´eod´esiques

Nous venons de d´efinir la distance g´eod´esique. En particulier, si A est une g´eod´esique de x `a y, la longueur de A est la distance g´eod´esique de x `a y. Mais `a quelles conditions sur X existe-t-il une g´eod´esique unique de x `ay ?

Th´eor`eme 6.10

Existence d’une g´eod´esique [Lan82]. Soit X un compact de IR², x et y deux points distincts de X. S’il existe dans X un chemin rectifiable d’extr´emit´es x et y (i.e. dX(x, y)<∞), alors il existe une g´eod´esique entre ces deux points.

Th´eor`eme 6.11

Unicit´e g´eod´esique [Lan82]. Si X est simplement connexe, il existe au plus une g´eod´esique entre deux points quelconques deX.

Il faudrait bien se garder de croire qu’il existe toujours une g´eod´esique entre deux points de X. En effet, leur distance g´eod´esique peut ˆetre infinie. . .

6.2.4 Encore quelques lemmes

Souvent nous ne pourrons montrer qu’un arc est une g´eod´esique seulement au voisinage de chacun de ses points. Dans quelle mesure avons nous affaire `a une g´eod´esique ? Autre fa¸con de formuler le probl`eme : soient deux g´eod´esiques qui se recouvrent partiellement. Leur union est-elle une g´eod´esique ? Pour r´epondre `a ces questions, F. Maisonneuve a introduit la notion de g´eod´esique locale [ML88].

D´efinition 6.12

Soitγ :[t1, t2]→X un chemin deX.γ est une g´eod´esique au voisinage det∈]t1, t2[ si

∃ε_t >0 tel que [t−ε_t, t+ε_t]⊂]t₁, t₂[ etγ|[t−εt,t+εt] g´eod´esique.

γ est une g´eod´esique locale si c’est une g´eod´esique au voisinage de tout t∈]t₁, t₂[.

La structure locale d’une telle courbe est donn´ee par le r´esultat suivant :

Lemme 6.13

SoitΓ⊂Xun arc ferm´e simple tel que la composante born´ee ΩdeIR²\Γest incluse dans X. En tout point fronti`ere de X au voisinage duquel Γ est une g´eod´esique, on a pour toute boule ouverte Bx de centre x et de rayon assez petit :

( B_x∩Ω^c est convexe Bx∩Ω est connexe

Dans le cas o`u X est simplement connexe, ou mˆeme si X<sup>c</sup> n’a pas de composante connexe de diam`etre arbitrairement petit `a distance finie, on a une r´eciproque :

Th´eor`eme 6.14

SoitΓ⊂Xun arc simple. Si tout point de Γ^◦ au voisinage duquelΓn’est pas rectiligne est sur∂X, et pour toute boule ouverteB_x de centrexet de rayon assez petit,B_x∩Γ^c a deux composantes connexes dont l’une est convexe et non incluse dansX, alors Γ est une g´eod´esique locale.

Dans le cas o`uXest simplement connexe, le th´eor`eme suivant justifie pleinement l’introduc-tion de la nol’introduc-tion de g´eod´esique locale :

Th´eor`eme 6.15

SoitX simplement connexe et soient a6=b dans X. S’il existe une g´eod´esique locale γ d’extr´emit´es aet b, elle est injective et l’arc simple Γ =Im(γ) est unique.

Si dX(a, b)<∞, Γ est la g´eod´esique entre a etb que l’on notera Γab.

Ainsi donc la notion de g´eod´esique locale recouvre-t-elle celle de g´eod´esique globale dans le cas qui nous int´eresse :X simplement connexe.

Nous utiliserons souvent ce th´eor`eme sous la forme suivante : soient Γ et Γ⁰ deux g´eod´esiques et γ : [0, α] → X et γ⁰ : [0, α⁰] → X les chemins g´eod´esiques associ´es. Si les deux g´eod´esiques se recouvrent sur une portion non ponctuelle, i.e. il existe β < α tel que pour t∈[β, α] on ait

γ(t) = γ⁰(t−β), le chemin δ obtenu en recollant les deux chemins g´eod´esiques est un chemin g´eod´esique de γ(0) `a γ⁰(α⁰).

δ

( γ(t) 0≤t≤α γ⁰(t−β) β ≤t≤α⁰+β

Enfin, donnons un dernier r´esultat sur les triangles g´eod´esiques. Un tel triangleT_X(a, b, c) est d´efini par la donn´ee de trois pointsa,betcdeXet des g´eod´esiques Γ_ab, Γ_bc et Γ_ca. On dira que ce triangle est non d´eg´en´er´e si deux g´eod´esiques n’ont en commun qu’une de leurs extr´emit´es.

SiT_X(a, b, c) est d´eg´en´er´e, on peut le rendre non d´eg´en´er´e de la fa¸con suivante : supposons que Γab∩Γbcne soit pas r´eduit `a{b}. Soitxle premier point de Γab∩Γbcobtenu en parcourant Γabde aversb. Par unicit´e de la g´eod´esique entre deux points, Γax⊂Γab et Γcx⊂Γcb et Γax∩Γcx=∅. En recommen¸cant l’op´eration pour a et c, on trouve respectivement deux nouveaux points y et z. Le triangle g´eod´esique TX(x, y, z) est maintenant non d´eg´en´er´e et inclus dans TX(a, b, c).

La courbe Γxy∪Γyz∪Γzx est ferm´ee simple. On appellera triangle g´eod´esique l’adh´erence de l’int´erieur de cette courbe.

Th´eor`eme 6.16

Soit TX =TX(a, b, c) le triangle g´eod´esique non d´eg´en´er´e de sommets a, b et c et T le triangle euclidien correspondant limit´e par des segments. Le triangle T admet la d´ecomposition :

T =TX ∪Kab∪Kbc∪Kca

o`u Kxy, l’ensemble limit´e par le segment [x, y] et la g´eod´esique Γxy estconvexe.

 Cette d´ecomposition est illustr´ee sur la figure 6.6.

Notons bien que l’hypoth`ese de non d´eg´en´erescence du triangle T<sub>X</sub> est essentielle pour ce th´eor`eme.