Etude de l’algorithme existant

De fa¸con informelle l’algorithme propos´e par Ch. Lantu´ejoul revient `a dire que les fractures sont des zones proches des extr´emit´es des lames.

7.2.1 La notion d’extr´emit´es Qu’est-ce que des extr´emit´es ?

D´efinition : extr´emit´es Les extr´emit´es sont les points terminaux du squelette.

En d’autres termes, ce sont les centres des cercles osculateurs `a la fronti`ere deX, enti`erement contenus dans X. Or ces cercles osculateurs sont tangents `a la fronti`ere en des maxima de la courbure. Ce crit`ere est donc presque local, dans le sens o`u pour dire si un point est point terminal du squelette, il ne suffit pas de connaˆıtre un voisinage du point arbitrairement petit, mais un voisinage dont la taille est la distance de ce point `a la fronti`ere de la particule. Cependant, quand on observe l’algorithme, on remarque qu’une ´etape d’´ebarbulage est n´ecessaire pour ´eliminer les

“petites extr´emit´es parasites”. Dans toute cette partie, nous appellerons barbule tout arc du squelette consid´er´e comme un graphe (ce qui est possible pour des objets assez r´eguliers) qui aboutit `a un point terminal. Quelle est la taille de ces barbules ? Si nous approximons une lame par un rectangle, et si nous supposons que ce rectangle pr´esente une irr´egularit´e sur un de ses grands cˆot´es, la barbule g´en´er´ee aura comme longueur la moiti´e de la largeur du rectangle.

Cette demi-largeur est un param`etre robuste. En effet, toutes les lames ont `a deux pixels pr`es la mˆeme largeur, qui peut d’ailleurs faire l’objet d’une mesure directe sur l’image au moyen d’une granulom´etrie par exemple (dans le cas o`u toutes les images ne seraient pas `a la mˆeme

´echelle). On ´elimine donc les barbules qui ont une longueur inf´erieure `a la demi-largeur des lames (figure 7.6).

Supposons `a pr´esent que les lames soient bruit´ees au niveau de leurs extr´emit´es. Le squelette pr´esentera de nombreuses barbules `a ce niveau, dont certaines seront ´elimin´ees par le crit`ere de longueur. L’extr´emit´e d´etect´ee sera alors `a l’int´erieur de la particule `a une distance plus grande de la fronti`ere. Les images dont nous disposons sont de tr`es bonnes qualit´es, ce qui assure que les crit`eres mis en jeu sont effectivement v´erifi´es, d’o`u le bon comportement de l’algorithme. Une autre solution consiste `a effectuer une ouverture de taille 1. Il ne subsiste alors aucune barbule, sauf aux endroits des zones de forte flexure, ce qui dans notre cas repr´esente plutˆot un avantage qu’un inconv´enient. (figure 7.7).

Squelette

Barbule

Figure 7.6 :Barbule g´en´er´ee par une irr´egularit´e sur la fronti`ere d’un rectangle.

Il faudrait bien se garder de croire que c’est la seule solution fond´ee sur l’emploi du squelette.

En voici une qui ne fait pas intervenir la longueur des barbules. Comme les lames sont toutes relativement allong´ees, elles ont chacune deux extr´emit´es, qui correspondent aux points les plus

´eloign´es que l’on puisse trouver. En d’autres termes, il suffit de d´eterminer les points terminaux du chemin le plus long inclus dans le squelette, et sans points triples. Voici deux fa¸cons de calculer ces points :

1. Partir d’un point terminal du squelette, chercher le point terminal p₁ le plus ´eloign´e de ce premier, puis le point terminal p₂ le plus ´eloign´e de p₁. p₁ et p₂ sont les deux extr´emit´es souhait´ees (figure 7.8).

2. D´eterminer les maxima absolus de la fonction de propagation associ´ee au squelette (voir la d´efinition donn´ee dans la partie algorithmique).

Cet algorithme ne fait plus intervenir aucun seuil, mais impose que toute particule a exacte-ment deux extr´emit´es, ce qui est acceptable pour la majorit´e des lames, mais inacceptable pour quatre lames pr´esentes sur l’image (figure 7.9).

En conclusion, nous voyons que les deux algorithmes fonctionnent sur des classes d’images non comparables : les extr´emit´es en tant qu’extr´emit´es du squelette (´ebarbul´e) n´ecessitent des lames d’´epaisseur constante et peu bruit´ees, les extr´emit´es en tant qu’extr´emit´es du chemin maximal n´ecessitent des lames relativement allong´ees mais pouvant pr´esenter un bruit plus important.

Maintenant, pourquoi avoir choisi de r´eduire les particules `a leur squelette, op´eration instable (le squelette est une transformation semi-continue inf´erieure de l’ensemble des ouverts relative-ment compacts dans l’ensemble des compacts) ? C’est parce que la notion de point terminal n’a de sens que sur un squelette. Cependant, la fonction de propagation peut nous fournir une alternative. Posons :

(1) : Squelette de l’image originale (2) : Elimination des barbules des (1) de taille≤ 3 pixels

(3) : Squelette de l’image ouverte par H (4) : Elimination des barbules des (3) de taille≤ 3 pixels

Figure 7.7 :Comparaison des barbules g´en´er´ees sur l’image originale et l’image ouverte.

p

p2

p₁

Figure 7.8 :Chemin maximal sur un squelette.

Figure 7.9 : Particules pr´esentant `a l’´evidence plus de deux extr´emit´es.

D´efinition : extr´emit´es

Les extr´emit´es sont les maxima r´egionaux de la fonction de propagation, i.e. les maxima de

T_X(x) = sup

y∈X

d_X(x, y)

o`u d_X est la distance g´eod´esique dans X ensemble des lames (fi-gure 7.10).

(1) : Courbes de niveau de la fonction de propagation (2) : Maxima r´egionaux de (1)

(3) : Lames et leurs extr´emit´es

Figure 7.10 : Extr´emit´es d´efinies par les maxima r´egionaux de la fonction de propagation.

Grˆace `a la notion de maximum r´egional, une particule peut pr´esenter plus de deux extr´emit´es.

Voici quelques propri´et´es ´etranges des extr´emit´es obtenues par cet algorithme :

• Les extr´emit´es ne sont pas n´ecessairement des maxima de courbure: ils peuvent mˆeme se localiser en des minima de courbure, comme le montre la figure 7.11.

• Dans le cas d’un triangle, ce sont uniquement ses angles aigus.

• Dans le cas de polygones `a plus de trois cˆot´es, ce sont des sommets qui peuvent mˆeme ˆetre obtus dans certains cas.

• Dans le cas d’un squelette, ce sont tousles points terminaux.

• La transformation qui `a une particule associe ses extr´emit´es n’est pas semi-continue ! (Ceci provient du fait que la distance de Hausdorff induit une topologie trop grossi`ere : deux objets tr`es proches peuvent avoir des diam`etres g´eod´esiques tr`es diff´erents.)

• Certains objets peuvent ne pr´esenter qu’une seule extr´emit´e qui est toute leur fronti`ere, comme par exemple les ensembles de Reuleaux. De fa¸con g´en´erale, il s’agit de convexes de variation diam´etrale constante.

Les extr´emit´es sont

en un minimum de courbure Les extr´emit´es sont

proches d’un maximum de courbure

Figure 7.11 :Extr´emit´es et maxima de courbure.

Quels sont les crit`eres associ´es `a cette transformation, i.e. quelle classe d’images peut-on lui associer ?

• Les particules doivent ˆetre simplement connexes, sinon, l’algorithme peut pr´esenter des r´esultats contraires `a l’intuition (voir partie algorithmique).

• La transformation est profond´ement globale, car il est impossible de connaˆıtre une extr´emit´e si l’on ne connaˆıt pas toute la particule.

• La robustesse face au bruit s’observe empiriquement, bien qu’aucun caract`ere math´emati-que ne lui soit associ´ee, continuit´e par exemple (figure 7.12).

Ce sont ces deux derniers points qui en font une d´efinition de bonne qualit´e, en g´en´eral pr´ef´erable aux extr´emit´es du squelette.

(1) : Particules aux contours bruit´es (2) : Extr´emit´es obtenues par la fonction de propagation

Figure 7.12 : Robustesse de la d´etection d’extr´emit´es.

7.2.2 Les zones de fracture

Revenons aux lignes de fracture ou plutˆot aux zones de fracture. Le programme classique les d´efinit formellement comme suit :

D´efinition : zones de fracture

Les zones de fracture sont les zones d’influence des extr´emit´es des objets.

Ce sont donc les points du plan qui sont plus proches d’une extr´emit´e que de tout autre point du squelette. Cette d´efinition semble parfaitement convenir, car elle peut s’appliquer `a quasiment toute image, quelle que soit son ´echelle, son orientation, du moment que les extr´emit´es ont ´et´e mises proprement en ´evidence (figure 7.13 o`u les extr´emit´es ont ´et´e obtenues par la fonction de propagation).

Pourtant, les r´esultats obtenus avec les extr´emit´es d´etermin´ees par les points terminaux du squelette sont bien meilleurs que ceux obtenus avec les extr´emit´es en tant que maxima r´egionaux de la fonction de propagation. En particulier les zones sont mieux connect´ees. Pour comprendre

(1) : Lames et leurs extr´emit´es (2) : Skiz de (1)

(3) : Zones d’influence des extr´emit´es (4) : Fermeture de taille 1 de (3)

Figure 7.13 : D´etection des zones de fracture.

ce ph´enom`ene, supposons qu’une lame soit mod´elis´ee par un rectangle auquel on aurait adjoint un demi cercle `a chaque largeur. Le squelette d’une lame sera alors mod´elis´e par un segment.

Les extr´emit´es sont ses deux points terminaux. La zone d’influence d’un point terminal est alors le demi plan limit´e par la droite perpendiculaire au segment, passant par le point terminal et ne contenant pas le segment. Les maxima r´egionaux de la fonction de propagation sont dans notre mod`ele les deux points du cercle dans l’axe du rectangle. La zone d’influence de l’un de ces points est la demi droite issue de ce point et perpendiculaire `a la fronti`ere. Ceci explique pourquoi les extr´emit´es ne se “propagent” pas sur le cˆot´e dans le deuxi`eme cas. Dans le cas d’un polygone, cas plus r´ealiste pour un ensemble digital, la zone d’influence d’un sommet est le cˆone issu de ce point limit´e par les directions orthogonales aux cˆot´es adjacents (voir figure 7.14).

Cette constatation surprenante montre l’´etroite interd´ependance entre les transformations morphologiques successives. Remarquons cependant que l’on peut se ramener au cas des parti-cules r´eduites `a leur squelette de la mani`ere suivante : appelonsX l’ensemble des lames etY les maxima r´egionaux de la fonction de propagation. Il suffit d’amincir X conditionnellement `a Y.

Extr´emit´e

Zone d’influence Zones d’influence

Extr´emit´es

Figure 7.14 : Zones d’influence des extr´emit´es sur quelques formes sim-ples.

7.2.3 Passage des zones de fracture aux lignes de fracture

C’est probablement l`a que r´eside la partie la plus critiquable de l’algorithme. En effet, on cherche `a transformer les zones de fracture en lignes au moyen du squelette. Or ces zones pr´esentent des fronti`eres anguleuses, puisque ce sont des unions de zones d’influence et qu’en un point o`u trois zones d’influence se rencontrent, au moins deux d’entre elles pr´esentent une fronti`ere anguleuse. Le squelette poss´edera donc de nombreuses barbules qui ne rendront pas compte de la direction des fractures. La justification d’une proc´edure d’´ebarbulage peut ˆetre envisag´ee, mais nous pensons qu’il est pr´ef´erable de s’arrˆeter aux zones mises en ´evidence au paragraphe pr´ec´edent.

Cela termine l’´etude de l’algorithme existant. Il faut cependant constater que les lignes de flexure n’ont pas encore ´et´e mises en ´evidence.