Ensembles ferm´ es al´ eatoires
2.3 Application : ´ etude des performances d’algorithmes de bucketisation dans le cas moyen
2.3.1 Le sch´ema bool´een
Introduisons `a pr´esent un type particulier d’ensemble al´eatoire, le sch´ema bool´een, en vue de mod´eliser une r´epartition “au hasard” de motifs ´el´ementaires, comme par exemple des segments, des triangles ou des chaˆınes polygonales. Nous adopterons une pr´esentation quelque peu plus heuristique [Ser82]. Une pr´esentation plus rigoureuse est faite dans [Mat75] reposant sur la notion d’ensemble al´eatoire conditionnel, notion que nous voulons ´eviter ici. Le lien entre les deux points de vue est d´evelopp´e dans [PS87].
D´efinition 2.6
Soient θ ∈ IR+∗ et X0 un RACS. Le sch´ema bool´een d´efini par θ et X0, que nous appellerons grain primaire, est le ferm´e al´eatoire dont les r´ealisations sont donn´ees par :
X = [
x∈P
Xx0
o`u P est une r´ealisation d’un processus de Poisson uniforme d’intensit´e θ dans IRn et Xx0 le translat´e du grain primaire X0 par ~x, les (Xx0)x∈P ´etant tir´es de mani`ere ind´ependante (voir figure 2.1).
Remarques :
1. X0 est un ensemble al´eatoire, donc pourra mod´eliser un motif d´eformable selon certaines probabilit´es.
2. Les effets de bord ne sont pas pris en compte dans ce mod`ele. En effet, le processus de Poisson sous-jacent est suppos´e infini dans IRn.
3. X0ne peut pas ˆetre quelconque. En effet, il faut queX, union des diversX0 soit ferm´e pour que nous puissions parler du RACSX. Ceci est r´ealis´e si et seulement siE[V(X0⊕K)]<∞ pour un compact K∈ K d’int´erieur non vide, o`u V(.) est le volume (cette formule a bien un sens puisque ⊕K : F → F est continue et que V(.) : F → IR+ est mesurable). Par exemple, on ne pourra donc pas prendre pourX0 une droite.
Donnons maintenant deux th´eor`emes concernant les sch´emas bool´eens qui nous serviront dans l’estimation d’algorithme que nous nous proposons d’effectuer.
Grain primaire : X0
X=∪x∈PX0x
Figure 2.1 : Le sch´ema bool´een
Th´eor`eme 2.7
La fonctionnelle caract´eristique du sch´ema bool´een X ≡(θ, X0) est donn´ee par : 1−T(K) =P(K∩X =∅) = exp−θE[V(X0⊕K)]ˇ
o`uKˇ est le sym´etrique deK par rapport `a l’origine etE[·]l’esp´erance math´ematique.
Th´eor`eme 2.8
La variable al´eatoire donnant le nombre de grains primaires rencontr´es parK d´eter-ministe suit une loi de Poisson de param`etre λ=θE(V(X0⊕K))ˇ :
P(N(K) =i) = λi i!e−λ
Nous exploiterons le sch´ema bool´een ainsi : X0 sera une donn´ee et nous en d´eduirons les probabilit´es relatives `a l’intersection d’une forme donn´ee K avec ces diff´erents motifs r´epartis au hasard.
2.3.2 Exemples de calculs
Avec les notations du paragraphe pr´ec´edent, nous allons donner des exemples de calculs pour des cas particuliers deX etB. Pour leur utilisation pratique, voir [BFBM88]. Nous avons vu que si X0 repr´esente l’objet dont nous ´etudions l’intersection avec un bucket B, le nombre d’objets qui coupent B suit une loi de Poisson de param`etre θE[V(X0 ⊕B)]. Dans notre cas le volumeˇ est en fait la surface dans IR2 (resp. le volume dans IR3) etθ peut ˆetre estim´e par n/L2 (resp.
n/L3) o`u n est le nombre de grains primaires qui tombent dans un carr´e de cˆot´e L (resp. un
cube de cˆot´e L). Donc le nombre moyen d’objets qui coupe B est pr´ecisement le param`etre de la loi de Poisson.
Cas o`u X0 est un segment
Prenons pourX0 un segment de longueur moyennel et d’orientation uniforme. Si B est un cercle de rayonρ, le nombre moyen d’intersections nss’´ecrit :
ns=θ2ρl+πρ2
Ainsi donc tous les calculs reviennent `a ´evaluerV(X⊕Bˇ) dans chaque cas particulier et d’en prendre la moyenne.
Cas o`u X0 est un convexe plan
Dans le cas o`uB est un carr´e il est possible de simplifier les calculs. En effet, un carr´e est la somme de Minkowski de ses deux cˆot´es :
B = [O,(λ,0)]⊕[O,(0, λ)] =Sx⊕Sy
Comme la somme de Minkowski est associative, on peut faire l’addition en deux fois : X⊕B = (X ⊕Sx)⊕Sy
Si nous notons A la surface moyenne du convexe al´eatoire X0 et x (resp. y) la longueur moyenne de la projection de X0 sur l’axe des x (resp. sur l’axe des y), le nombre moyen de convexes nt intersectant un bucket carr´e de cˆot´e λest donn´e par (voir figure 2.2) :
nt=θA+λ(x+y) +λ2
Les valeurs deA, x et y se calculent alors en prenant des lois particuli`eres pour le convexe al´eatoireX0comme par exemple un triangle de base fixe, de hauteur de loi donn´ee et d’orientation quelconque. . .
Nous ne d´evelopperons pas plus ce point. Le lecteur int´eress´e pourra consulter l’ouvrage de r´ef´erence sur les probabilit´es g´eom´etriques [San76]. Notons qu’`a taille de bucket donn´ee, lorsque le nombre d’objets tend vers l’infini dans un domaine born´e (i.e. θ → ∞), la complexit´e des algorithmes reste lin´eaire. Cependant, dans la pratique, il est plus raisonnable de consid´erer θ constant. Nous b´en´eficions alors d’une estimation pr´ecise de la constante multiplicative et la taille des buckets sera choisie en cons´equence : ni trop petite, car la constitution pour chaque bucket de la liste des objets l’intersectant sera longue, ni trop grande, car la technique des buckets n’apporterait rien.
S1 S2
X X⊕S1
X ⊕S2
Figure 2.2 :Addition de Minkowski d’un convexe plan et d’un carr´e.
2.4 Conclusion
La morphologie math´ematique fournit donc deux outils souvent peu connus, une topologie et une σ-alg`ebre, dont l’application `a l’analyse d’algorithmes semble prometteuse. De plus, de nombreux r´esultats existent dans la litt´erature, comme les sch´emas bool´eens, et peuvent donc ˆetre exploit´es directement. Ces deux outils fournissent aussi une alternative `a ceux qui sont utilis´es habituellement : distance de Hausdorff et loi spatiale.