Expression finale pour la relation de dispersion :

´

Ecrivons donc finalement la relation de dispersion 7.20 pour les modes propres (n, l, kk)

du syst`eme, elle donne :

0 ≤ λ∗_l,nlΩ∗_e = R lΩ ∗ e ˜ ω + (R 2_{− ˜ω}2₎k 2 k ˜ ω2 − (R 2_{− ˜ω}2₎ω − iν˜ in ˜ ω χ˜e (7.25)

Table 7.2 – Valeur des 3 premi`eres constantes g´eom´etriques al,net des valeurs propres λ∗l,n associ´ees

pour Rp = 10 cm. Cas du plasma confin´e : Ln =4,5cm

Mode radial : n = 0 n = 1 n = 2 l = 1 a1,0 = −0, 1265 a1,1 = −1, 901 a1,2 = −4, 657 λ∗_1,0 = 1, 253 λ∗_1,1 = 4, 819 λ∗_1,2= 10, 31 l = 2 a2,0 = −0, 3195 a2,1 = −2, 537 a2,2 = −5, 769 λ∗_2,0 = 1, 320 λ∗_2,1 = 3, 537 λ∗_2,2= 6, 769 l = 3 a3,0 = −0, 6175 a3,1 = −3, 306 a3,2 = −7, 029 λ∗_3,0 = 1, 412 λ∗_3,1 = 3, 204 λ∗_3,2= 5, 686

Table 7.3 – Cas du plasma d´econfin´e : Ln=7cm

Mode radial : n = 0 n = 1 n = 2 l = 1 a1,0 = −0, 965 a1,1 = −5, 195 a1,2 = −11, 85 λ∗_1,0= 2, 930 λ∗_1,1 = 11, 39 λ∗_1,2 = 24, 69 l = 2 a2,0 = −1, 935 a2,1 = −7, 365 a2,2 = −15, 22 λ∗_2,0= 2, 935 λ∗_2,1 = 8, 365 λ∗_2,2 = 16, 22 l = 3 a3,0 = −3, 225 a3,1 = −9, 875 a3,2 = −18, 94 λ∗_3,0= 3, 150 λ∗_3,1 = 7, 583 λ∗_3,2 = 13, 62 Modes ”flˆutes” : kk = 0

Les ondes v´erifiant kk = 0 sont invariantes selon la direction axiale : les surfaces

iso-densit´e sont dans ce cas des cylindres d’axe z - cf figure 7.2-a) - d’o`u la qualifi- cation de modes flˆutes. Pour ce type d’ondes la susceptibilit´e ´electronique se simplifie consid´erablement pour donner la relation de Boltzmann modifi´ee :

δne ne = lΩ ∗ e ˜ ω − lΩei− iνin δφ (7.26)

L’´equation de dispersion des modes flˆutes donne donc :

0 ≤ λ∗_l,n = R ˜ ω − (R 2_{− ˜} ω2)ω − iν˜ in ˜ ω 1 ˜ ω − lΩei− iνin (7.27) il est int´eressant de noter que la vitesse de d´erive diamagn´etique disparaˆıt de l’´equation : le gradient de densit´e n’intervient que par l’interm´ediaire du facteur g´eom´etrique λ∗_l,n. Comme on l’analysera plus loin le facteur d´eterminant dans l’excitation des ondes in- stables est la valeur de la d´erive ´electrique diff´erentielle Ωei = ΩE − Ωzi. Les modes

bilit´es du type Simon-Hoh (SHI)16.

Exp´erimentalement : Comme nous l’avons diagnostiqu´e section 6.2.2 les modes r´eguliers observ´es durant nos exp´eriences peuvent ˆetre consid´er´ees `a l’incertitude pr`es sur kk (en-

viron 0,2 m−1 soit ≈ 0, 02 en unit´es normalis´ees) comme invariantes dans la direction axiale. Pour rappel ces mesures sont bas´ees sur l’utilisation de sondes de Langmuir pola- ris´ees positivement, qui permettent d’enregistrer les fluctuations de densit´e ´electronique `

a diff´erentes positions axiales. L’instabilit´e observ´ee sur la machine semble donc de type ”flˆute”.

Modes ”h´elice” (screw modes) : kk 6= 0

Dans le cas kk 6= 0 la relation de dispersion compl`ete 7.25 doit ˆetre ´etudi´ee. Ce type

d’onde a la particularit´e de se propager en partie dans la direction axiale, ce qui donne au mode une structure h´elico¨ıdale - visible figure 7.2-b) - auquel il doit son qualificatif de screw mode. Notons que ces ondes instables sont souvent qualifi´ees d’ondes de d´erive (Drift Waves : DW) pour des raisons historiques qu’on discutera plus loin, d’apr`es l’in- stabilit´e d’onde de d´erive collisionnelle (CDW) d´ecouverte et formalis´ee dans les ann´ees 60, qui est pr´ecis´ement celle que nous permet d’´etudier notre mod`ele. Il s’av`ere en ef- fet, comme on le verra, que leurs caract´eristiques sont ´etroitement li´ees `a la valeur de la d´erive diamagn´etique ´electronique. Cependant nous avons soulign´e plus haut que les modes ”flˆutes” du type (ISH) sont eux aussi intrins`equement li´es `a une autre d´erive, la d´erive ´electrique. D’o`u une confusion possible sur l’appellation d’onde de d´erive, qui recouvre s´emantiquement les deux situations. C’est pourquoi nous lui pr´ef´ererons dans la suite le terme de modes ”h´elices” ou modes d’ondes de d´erive collisionnelles (CDW). L’approche ”classique” des ondes de d´erive collisionnelles consiste `a supposer qu’on puisse consid´erer les ´electrons comme quasi-adiabatique, c’est `a dire faire l’hypoth`ese ˜ ω0/Γk << 1 o`u : ˜ ω0 = ˜ω − lΩei+ kkjk− iνin Γk = k 2 kDe

cette hypoth`ese est justifi´ee d`es lors que la condition suivante est respect´ee : k_k2 >> ω˜ 0 L∗2 o`u L ∗ = √vthe ωciνen (7.28)

dans un plasma relativement chaud (Te > 1) les collisions ´electroniques sont suffisam-

ment rares `a faible pression pour que le libre parcours effectif L∗ soit tr`es grand devant

16. pour l’anecdote notons que les instabilit´es de ce type sont ´egalement connues sous le terme d’instabilit´e ”centrifuge” lorsque le freinage ionique est dˆu uniquement aux effets inertiels[Mikhailovskii83][Sosenko04], cependant le m´ecanisme ´etant le mˆeme que celui de Simon-Hoh [Simon63][Hoh63], bas´e quand `a lui sur un freinage collisionnel, dont l’ant´eriorit´e est semble-t’il av´er´ee, nous leur pr´ef´ererons ce deuxi`eme qualificatif, par ailleurs moins ambig¨ue

Figure 7.2 – Surfaces iso-densit´e pour un mode ”flˆute” (a) et un mode ”h´elice” (b).

la longueur de la machine. Pour des ondes `a basse fr´_{equence (ω . ω}ci) la condition 7.28

est donc amplement v´erifi´ee et l’hypoth`ese des ´electrons quasi-adiabatiques justifi´ee si la longueur d’onde parall`ele est de l’ordre ou inf´erieure `a la longueur axiale du plasma. C’est n´ecessairement le cas dans un plasma p´eriodique17 mais pas forc´ement dans un plasma fini, tel que ceux produits par les LMPD lin´eaires tel que notre exp´erience MISTRAL, situation dont nous discuterons plus bas.

Concr`etement l’hypoth`ese quasi-adiabatique revient `a supposer que les ´electrons r´epondent presque instantan´ement `a toute variation de potentiel, ce qui se traduit par les relations suivantes : ˜ χe ' 1 + iδadsoit : δne ne ' (1 + iδad) δφ avec : (7.29) δad = 1 k2_kDe  ˜ ω − lΩ∗_e− lΩei+ kkjk− iνin  (7.30)

o`u le param`etre δadrepr´esente l’´ecart `a l’adiabaticit´e induit par la r´esisitivit´e ´electronique :

la collisionnalit´e a pour effet de limiter la mobilit´e ´electronique parall`ele et donc d’empˆecher le gaz d’´electron d’ob´eir parfaitement aux fluctuations de potentiel. Comme on le verra c’est l’effet de ce l´eger d´ecalage qui est `a l’origine de l’excitation de l’instabilit´e CDW.

Comme l’exprime la condition 7.28 le caract`ere adiabatique des ´electrons est ´etroitement li´e `a la valeur que peut prendre le nombre d’onde parall`ele dans la machine, laquelle d´epend ´etroitement des conditions aux limites axiales dans les machines finies18_{. Ce}

probl`eme crucial ´evoqu´e par Chen [Chen79] en 1979 `a propos des ondes pr´esentant une

17. puisque le nombre d’onde parall`ele doit v´erifier la condition de p´eriodicit´e kk = 2pπ/Lp, p ∈ Z,

avec p 6= 0 pour un mode ”h´elice”

18. et sans doute ´egalement des gradients parall`eles induits par les conditions de gaines, que nous avons dˆu n´egliger malheureusement dans notre mod`ele

longueur d’onde parall`ele dans les machines Q est loin d’ˆetre r´esolu du point de vue th´eorique `a l’heure actuelle et seules les observations exp´erimentales r´ealis´ees dans plu- sieurs LMPD lin´eaires permettent d’apporter un ´el´ement de r´eponse `a cette question. Ainsi les mesures r´ealis´ees sur le dispositif `a cathode chaude MIRABELLE tr`es sem- blable `a MISTRAL - o`u on observe des ondes de d´erive collisionnelles dominantes `a forts champs magn´etiques (B > 500G)[Brochard04] - r´ev`elent des longueurs d’ondes parall`eles proches de la longueur de la machine19. Sur cette base l’hypoth`ese quasi-adiabatique paraˆıt justifi´ee, en tout cas dans les conditions des exp´eriences cit´ees ici, mˆeme si la rai- son qui pr´eside `a la s´election en kk reste `a ´elucider.

A titre indicatif nous traiterons dans la suite le cas g´en´eral o`u le nombre d’onde pa- rall`ele peut prendre n’importe quelle valeur, il faut alors r´esoudre l’´equation de dispersion des ondes de d´erive en utilisant l’expression g´en´erale de la susceptibilit´e ´electronique 7.21. Exp´erimentalement : Pour fixer les id´ees donnons d’abord une estimation du coeffi- cient de diffusion parall`ele ´electronique normalis´e dans MISTRAL : De ' 105 `a 3.10−4

mbar. On constate que l’hypoth`ese quasi-adiabatique ˜ω0/Γk << 1 est justifi´ee - on a

exp´erimentalement ˜ω0 _{. 1 - d`es lors que k}k >> 0, 03m−1 ou encore Lk << 33m dans

nos conditions standards (B = 150G, Te ≈ 3eV ), ce qui est quasiment v´erifi´e pour des

longueurs d’ondes de l’ordre de la dimension axiale Lp = 1, 2m de la machine.

Comme nous l’avons soulign´e pr´ec´edemment les modes r´eguliers observ´es sur MISTRAL dans notre configuration de r´ef´erence sont des modes flˆutes, l’´etude des ondes de d´erive d´evelopp´ee dans la suite concerne donc des situations exp´erimentales o`u en particulier le champ ´electrique radial n’est pas le facteur principal d’instabilit´e. Comme nous l’avons ´

evoqu´e ce type d’ondes a en particulier ´et´e identifi´e dans plusieurs LMPD, en particulier `a fort champ magn´etique20 _{[Gravier04][Brochard04] [Schroder04] et la question de la tran-}

sition entre modes flˆutes et ondes de d´erive reste un sujet ouvert `a l’heure actuel. C’est pourquoi leur ´etude nous semble pertinente dans une perspective tout `a fait g´en´erale.