Distribution statistique, moments de la distribution :

Pour d´ecrire de fa¸con exacte un ensemble de particules interagissant `a travers des forces de Coulomb auto-consistantes et des champs ext´erieurs on a recours `a la mod´elisation cin´etique. Dans ce mod`ele un gaz de particule est repr´esent´e par la fonction de distribu- tion `a 7 dimensions f (~r, ~v, t) qui d´enombre les particules ayant `a l’instant t la position ~r et la vitesse ~v (`a d~r et d~v pr`es respectivement). Cette fonction de distribution est la limite quand N tend vers l’infini de la fonction de r´epartition exacte des particules dans le probl`eme `a N corps. La connaissance directe de la fonction de distribution des esp`eces du plasma est g´en´eralement inaccessible, mˆeme si certains dispositifs de mesure tels que la fluorescence induite par laser des ions (LIF) et les analyseurs d’´energie ´electrostatiques `a champs r´epulsifs (RFA)13permettent d’en obtenir une estimation dans une configuration exp´erimentale favorable. C’est pourquoi on recourt souvent aux moments de la fonction de distribution reli´es aux caract´eristiques physiques fluides g´en´eralement mesurables.

On d´efinit la densit´e de l’esp`ece comme le moment d’ordre 0 de la fonction de distri- bution :

n(~r, t) = Z +∞

−∞

f (~r, ~v, t)d~v (3.9)

Le premier moment permet de d´efinir la vitesse fluide ou vitesse moyenne par : n(~r, t)~V (~r, t) =

Z +∞

−∞

f (~r, ~v, t)~vd~v (3.10)

Le second moment nous donne le tenseur de pression cin´etique : ~ ~ P = m Z +∞ −∞ f (~r, ~v, t)(~v − ~V ) ⊗ (~v − ~V )d~v (3.11)

11. le courant dˆu `a la d´erive ´electrique n’existe que si elle est diff´erente pour les deux esp`eces, quand au courant diamagn´etique il est dˆu uniquement aux ´electrons si Te>> Ti

12. o`u on a introduit le coefficient β, rapport de la pression cin´etique sur la pression magn´etique : β = (nekBTe)/(B02/2µ0).

On peut identifier les termes diagonaux de P aux pressions scalaires dans les 3 direc-~~ tions : Pk = P~~kk. On a dans le cas d’un plasma isotrope Px = Py = Pz = P et pour

un plasma pr´esentant une anisotropie dans une seule direction (celle par exemple du champ magn´etique) Pz = Pk et Px = Py = P⊥. Les vitesses thermiques sont li´ees `a

la pression scalaire par la relation : mnv2_th,k = Pk et la relation entre la vitesse ther-

mique totale et la pression scalaire dans un plasma isotrope donne donc : mnv2

th = nDP ,

avec nD le nombre de dimensions du syst`eme (nD = 3 dans le cas g´en´eral). On re-

trouve la d´efinition de la vitesse thermique comme vitesse quadratique moyenne puisque : nv2

th,k =

R+∞

−∞ f (~r, ~v, t)(~vk− ~Vk)

2_{d~v. Les termes non-diagonaux deP sont li´}~~ _{es `a la viscosit´e}

du gaz de particules qui tend `a niveler les gradients transverses de vitesses dans le cas de flux cisaill´es. Cette viscosit´e peut ˆetre li´ee aux collisions mais ´egalement aux effets de rayon de Larmor fini puisque l’excursion de la trajectoire des ions en particulier tend `a ´

egaliser la vitesse fluide dans la direction transverse `a ~B. Le troisi`eme moment d´efinit enfin le flux de chaleur :

~ qc= 1 2m Z +∞ −∞ f (~r, ~v, t)(~v − ~V )2(~v − ~V )d~v (3.12)

Et ainsi de suite pour les moments d’ordre sup´erieurs. Cette hi´erarchie des moments ne constitue une mod´elisation pratique que si l’on est capable de d´ecrire le syst`eme avec un nombre fini de moments et donc d’obtenir un syst`eme ferm´e d’´equations liant les moments entre eux. Comme on le verra plus loin l’´equation cin´etique de la dynamique permet d’obtenir les relations entre les diff´erents moments mais une ´equation de ferme- ture est n´ecessaire pour interrompre la hi´erarchie infinie (dite BBGKY) des ´equations liant les moments14. Cette relation de fermeture est donn´ee par une ´equation d’ˆetat issue d’une hypoth`ese sur le caract`ere des ph´enom`enes observ´es. Ainsi l’hypoth`ese d’un fluide collisionnel (op´erateur de collision dominant dans l’´equation cin´etique de la dynamique apr`es un certain temps caract´eristique) garantit la relaxation de f vers un ´equilibre ther- modynamique local et donc une forme maxwellienne enti`erement d´ecrite par les moments d’ordre 0 et 1 et par la temp´erature thermodynamique :

f (~r, ~v, t) = n(~r, t) k=3 Y k=1 r m πkBT exp  −m(vk− Vk(~r, t)) 2 kBT (~r, t)  (3.13)

Dans ce cas la temp´erature thermodynamique est d´efinie et l’´equation d’ˆetat du syst`eme est donn´ee par la loi des gaz parfaits : P = nkBT . Celle ci doit ˆetre compl´et´ee par une

hypoth`ese sur le comportement ´energ´etique du gaz : si on suppose les transformations comme isothermes on a tout simplement : T = Cste, si on les suppose adiabatiques (ce qui correspond `a l’hypoth`ese de conductivit´e thermique15 _{nulle) on a : d}

t(P/nγ) = 016.

14. pour une introduction p´edagogique `a ces questions nous ne saurons trop conseiller au novice le cours du Pr. P. Bertrand disponible en ligne : [Bertrand04]

15. quatri`eme moment de la fonction de distribution

16. o`u dt= ∂t+ ~V . ~∇ est la d´eriv´ee totale (aussi appel´ee d´eriv´ee convective et d´eriv´ee lagrangienne)

Ces deux situations se traduisent par la relation suivante entre les gradients de pression et de densit´e :

~

∇P = γpkBT ~∇n (3.14)

o`u γp est le coefficient polytropique de la transformation γp = 1 pour une transformation

isotherme et γp = γ = 1 + 2/nD = 5/3 pour une transformation adiabatique en 3D.

℗ Gaz parfaits

Un gaz parfait est par d´efinition thermodynamique un gaz qui v´erifie les relations de Laplace dans le cas d’une transformation isentropique, c’est-`a-dire d’une transformation adiabatique r´eversible, et en particulier l’´equation dite adiabatique : P Vγ _{= Cste avec}

γ le coefficient adiabatique qui d´epend uniquement du nombre de degr´es de libert´e du syst`eme : γ = 1 + 2/nD. Du point de vue de la th´eorie cin´etique des gaz un gaz parfait est

un ensemble de particules qui n’interagissent pas entre elles en-dehors de chocs ponctuels et dont la taille est n´egligeable par rapport `a la distance inter-particulaire moyenne. L’´energie totale du gaz parfait est alors uniquement la somme de l’´energie cin´etique de toutes les particules. Pour un gaz de particules monoatomiques ou d’´electrons cela se traduit par E = nV (1/2)mv<sub>th</sub>2 : lors d’une transformation isentropique - ´egalement appel´ee compression adiabatique - la variation locale de l’´energie doit ˆetre ´egale au travail des forces de pression (le syst`eme est isol´e) et on aboutit `a l’´equation adiabatique. Le coefficient γ est dans ce cas uniquement d´etermin´e par le nombre de dimensions spatiales du probl`eme : γ = (nD+ 2)/nD. Une deuxi`eme propri´et´e importante des gaz parfaits est la loi qui porte leur

nom : P = nkBT , elle d´ecoule formellement du principe d’´equipartition de l’´energie pour

un gaz `a l’´equilibre thermodynamique, c’est `a dire sur l’id´ee d’une d´ecorr´elation totale des particules apr`es un temps tET ∼ 1/νcoll correspondant au temps d’´etablissement de

l’´equilibre thermodynamique.

Lorsqu’un gaz parfait subit une transformation dite polytropique, dans laquelle un ´echange thermique partiel r´eversible a lieu avec l’environnement, la relation de Laplace est remplac´ee par la relation polytropique : P Vγp_{= Cste, avec γ}

p le coefficient polytropique

de la transformation. Les valeurs remarquables de γpsont : γp= 0 pour une transformation

isobare, γp = 1 pour une isotherme, γp = γ pour une adiabatique et γp → ∞ pour une

isochore.