D´ erives en champ ´ electrique non-uniforme : effets de rayon de Lar-

Int´eressons-nous maintenant au cas d’un champ ´electrique variable, d’une part `a cause de sa grande importance dans la physique des plasmas - o`u toute perturbation peut sou- vent se r´esumer au d´eveloppement d’un tel champ - et d’autre part parce-qu’on peut g´en´eraliser ce cas `a celui d’une force quelconque en recourant `a l’analogie ~F ≡ q ~E. En pr´esence d’un gradient de champ ´electrique transverse les particules sont suppos´ees ob´e¨ır `

a la variation de ~E par l’interm´ediaire de la d´erive ´electrique de l’´equation 2.9. Mais du fait de leur rayon de Larmor non nul - c’est particuli`erement vrai pour les ions dont la grande trajectoire cyclotronique peut traverser des zones o`u le champ ´electrique varie notablement - cette d´erive ´electrique est sensible `a l’effet de rayon de Larmor fini (RLF) illustr´e sur la figure 2.3 qui montre les trajectoires ioniques en champs ~E et ~B crois´es quand E varie sensiblement `a l’´echelle du rayon de Larmor. Les simulations montrent que sans surprise les particules `a faible RL subissent une d´erive ~vE(~r) qui d´epend direc-

tement de la valeur de ~E `a la position du CG. Par contre on observe que les particules `a grand rayon de Larmor ressentent plutˆot le champ ´electrique comme une moyenne : il est liss´e en quelque sorte par le mouvement cyclotron. Globalement il apparaˆıt que la d´erive ´

electrique est ressentie de fa¸con tr`es diff´erente par les particules selon que leur rayon de Larmor est faible ou comparable `a la longueur de gradient du champ ´electrique.

Dans l’approximation de d´erive cet effet peut ˆetre approch´e analytiquement en d´eveloppant l’´equation du mouvement sans force suppl´ementaire selon le petit param`etre

Figure 2.3 – Champ ´electrique variant dans l’espace : les particules avec un rayon de Larmor faible d´erivent plus vite dans les r´egions `a fort champ ´electrique (en bas) et moins vite dans les r´egions `a faible champ ´electrique (en haut). Les ions `a grand rayon de Larmor traversent des r´egions o`u la force du champ varie et sont ainsi ralentis ou acc´el´er´es en moyenne selon la position de leur centre guide.

rL/L∇E9 pour obtenir :

~vE = (1 + 1 4r 2 L∇~ 2₎E~⊥× ~B B2 (2.17)

La correction apport´ee par l’effet RLF faible10 _{est donc proportionnelle `a r}2

L qui est

tr`es diff´erent pour les ions et les ´electrons du simple fait du rapport de leurs masses : rLi/rLe = mi/me ∼ 104 pour des particules `a la mˆeme vitesse11. Cet effet induit donc

une diff´erence de d´erive ~E × ~B entre ions et ´electrons quand le champ ´electrique varie spatialement `a l’´echelle du rayon de Larmor ionique qui est susceptible de provoquer encore une fois une s´eparation des charges.

Examinons enfin le cas d’un champ ´electrique variable dans le temps : l’inertie des particules joue alors un rˆole d´eterminant dans leur capacit´e `a r´eagir `a des variations rapides du champ ~E. Ce ph´enom`ene est encore une fois particuli`erement marqu´e pour les ions du fait de leur masse. La figure 2.4 a) illustre cet effet d’inertie en montrant le d´eplacement net subi par une particule lors d’un ´echelon de champ ´electrique : celle-ci acquiert en effet de la vitesse dans la direction de ~E pendant le premier quart de tour cyclotron, ce qui se traduit par un d´ecalage de la position du centre-guide selon ~E. Pour

9. o`u L∇E est cette fois la longueur de gradient de l’inhomog´en´eit´e de ~E : L∇E= E/∇E

10. on parlera d’effet faible lorsque rL/L∇E << 1 : dans ce cas le RL et la fr´equence cyclotron sont

quasi inchang´es. Dans le cas contraire l’effet RLF se traduit par une modification de ces deux grandeurs. 11. pour des particules de mˆeme ´energie on aurait rLi/rLe=pmi/me, ce qui est le cas par exemple

des plasmas tr`es confin´es. Dans des plasmas limit´es par contre l’´equilibre thermique n’a pas le temps de se r´ealiser et on a r´eguli`erement Ti<< Te d’o`u vthi<< vthe

Figure 2.4 – Champ ´electrique variant dans le temps : a) ´echelon de champ ´electrique `a t = Tci : les

particules initialement au repos vont d’abord ˆetre acc´el´er´ees dans la direction du champ avant d’entamer leur mouvement de d´erive perpendiculaire. On observe qu’ils subissent ainsi un d´eplacement net initial dans la direction du champ ´electrique. b) trajectoires dans un champ ´electrique sinuso¨ıdal : le CG subit `a la fois la d´erive ´electrique ~vE(t) selon ~E × ~B

mais ´egalement la d´erive de polarisation selon ~E. c) vitesse particulaire selon ~E × ~B et d) selon ~E : on observe la modulation due au mouvement cyclotron et le mouvement moyen du CG. L’existence d’une composante lentement variable selon ~E est due `a la d´erive de polarisation : celle-ci est d´ephas´ee de π/2 par rapport `a ~E(t) et devient n´egligeable lorsque la masse devient faible.

une mˆeme valeur de E l’amplitude de ce d´eplacement est proportionnel au temps de giration et donc `a la masse m de la particule, il est donc n´egligeable pour les ´electrons comparativement aux ions. A noter que si les variations du champ ´electrique sont nulles

en moyenne - la figure 2.4 b) montre le cas d’un champ sinuso¨ıdal - le d´eplacement net des particules est nul ´egalement mais leur inertie se traduira par l’apparition d’une d´erive variable selon ~E. Les figures 2.4 c) et d) montrent les variations au cours du temps des deux composantes transverses de la vitesse : en plus de la d´erive ´electrique classique ~vE(t) il apparaˆıt une autre d´erive variable dans la direction de ~E dont l’amplitude devient

n´egligeable `a masse d´ecroissante. Elle a la particularit´e d’ˆetre en retard de π/2 sur les variations du champ ´electrique, ce qui traduit bien l’effet retard induit par l’inertie. Cette d´erive est qualifi´ee de d´erive de polarisation pour la raison qu’elle induit une s´eparation de charge dynamique dans un plasma `a cause de la grande diff´erence entre l’inertie des esp`eces. Elle joue `a ce titre un rˆole fondamental dans la probl´ematique des instabilit´es de plasma et nous la retrouverons souvent dans la suite de cet ouvrage.

On peut quantifier l’effet d’inertie par un d´eveloppement en ω/Ωc de l’´equation 2.6

sans force suppl´ementaire pour aboutir `a l’expression de la d´erive de polarisation :

~ vpol = q |q| 1 |Ωc|B d ~E dt = m |q|B2 d ~E dt (2.18)

Cette expression confirme que cette d´erive est directement proportionnelle `a la masse mais ´egalement `a la vitesse de d´erive ´electrique vE = E/B et on retrouve le d´ephasage

observ´e pour un champ sinuso¨ıdal puisqu’alors vpol = i(ω/|Ωc|)vE.

L’importance de ces diff´erentes d´erives est fondamentale pour ´etudier la stabilit´e des plasmas magn´etis´es. Elles apportent en effet un ´eclairage physique important sur les probl`emes de confinement et la question de la croissance d’instabilit´es, mˆeme si un traitement fluide ou cin´etique est toujours n´ecessaire puisqu’il est impossible d’extrapoler le comportement individuel des particules pour d´eduire les effets collectifs dominant dans la plupart des plasmas magn´etis´es. Ainsi l’existence de d´erives produisant des s´eparations de charges entre les ions et les ´electrons permet de pr´edire qualitativement l’apparition d’instabilit´es r´esultant de la pr´esence de champs ´electriques de rappel d`es lors que les esp`eces ne sont pas libres d’annuler la charge d’espace qui apparaˆıt. Si ces champs auto- g´en´er´es tendent `a amplifier l’effet initial on peut facilement identifier la source d’une instabilit´e.

A noter que dans le cas le plus complexe qui est celui o`u les champs ´electriques et magn´etiques sont inhomog`enes il faut ajouter aux d´erives pr´ec´edentes un terme crois´e dans la dynamique parall`ele du centre-guide, qui s’´ecrit alors :

mdvk

dt = eEk− µ∇kB + mvk~vE. ~ ∇B

B (2.19)