Dynamique non-collisionnelle ` a l’´ equilibre :

Dans un premier temps nous allons n´egliger les collisions, l’´etat stationnaire (dyna- mique d’ordre 0) nous donne alors les relations suivantes :

dans la direction parall`ele : m~Vk,0. ~∇kV~k,0 = qEk−

∇kP

n (3.51)

dans la direction transverse : ~V⊥,0 = V~E+ ~V∗ (3.52)

on d´efinit la vitesse de d´erive ´electrique : ~VE =

~ E⊥× ~B

B2 (3.53)

et la vitesse de d´erive diamagn´etique : ~V∗ = − ~

∇⊥P × ~B

qnB2 (3.54)

46. on le rappelle ΩE= Er/rB est la vitesse angulaire de d´erive ´electrique et ωc= eB/m la fr´equence

L’´equation 3.51 montre que le fluide charg´e est acc´el´er´e selon la direction de ~B sous l’effet combin´e de la force ´electrostatique et du gradient de pression. Il est int´eressant de noter que le fluide d’´electrons de masse n´egligeable nous donne l’´equation de Boltz- mann 3.36 ´etablie plus haut qui traduit comme on l’a vu par le fait que les ´electrons se r´epartissent naturellement dans la direction parall`ele de fa¸con `a empˆecher l’apparition d’une DDP locale. Le fluide d’´electrons est alors qualifi´e d’adiabatique47 _{puisqu’il r´epond}

instantan´ement aux variations de potentiel dans le plasma, de fa¸con `a les annuler. C’est une caract´eristique fondamentale des plasmas non-collisionnels qui empˆeche l’apparition de variations axiales de potentiel et impose donc la sym´etrie axiale des ph´enom`enes sta- tiques et dynamiques, et en particulier que les oscillations susceptibles d’apparaˆıtre soient du type ”flˆute” c’est `a dire v´erifient kk = 0.

Il faut noter cependant que si la mobilit´e parall`ele des ´electrons est limit´ee d’une quel- conque fa¸con (en particulier lorsque les collisions interviennent) la r´eponse des ´electrons peut s’´ecarter de la relation de Boltzmann, ce qui a des cons´equences importantes sur la neutralisation dynamique des densit´es de charges dans le plasma : des instabilit´es avec kk 6= 0 peuvent devenir instable quand les ´electrons ne peuvent pas neutraliser instan-

tan´ement les fluctuations de potentiel, c’est le cas par exemple pour les ondes de d´erive collisionnelles (CDW) [Horton99, Gravier99]. Cependant, dans le cadre de ce m´emoire, on consid´erera que la relation de Boltzmann est quasiment v´erifi´ee (un ´ecart faible `a l’adiabaticit´e sera trait´e du point de vue ondulatoire dans la section 7.3 pour ´etudier les ondes CDW) et donc que les ph´enom`enes dynamiques du plasma pr´esentent une relative sym´etrie axiale. Pour finir enfin sur la relation de Boltzmann, rappelons qu’elle suppose qu’on puisse n´egliger les termes d’inertie devant les termes de gradient dans l’´equation de la dynamique, ce qui est justifi´e d’apr`es les ordres de grandeur dans la limite Vk << vth,e.

D´erives fluides :

Revenons sur les d´erives transverses mises en ´evidence par l’´equation 3.52, d’importance fondamentale pour l’´etude du plasma. En effet la d´erive ´electrique, comme on l’a not´e dans la section 2.1, domine g´en´eralement le mouvement microscopique des charges et parfois mˆeme leur mouvement moyen quand un champ statique s’´etablit au sein du plasma : un champ radial va causer en particulier une rotation azimutale ~E0 × ~B du plasma. Il est

important de se rappeler que cette d´erive est ind´ependante de la masse et de la charge et qu’elle s’exerce donc de fa¸con identique sur les ions et les ´electrons en l’absence de ph´enom`enes parasites (effets inertiels, collisions ou variations locales du champ ´electrique `

a l’´echelle du rayon de Larmor).

La d´erive diamagn´etique mise en ´evidence par les ´equations fluides est d’une nature tout `a fait diff´erente : en effet on ne peut pas la d´eduire du mouvement particulaire dans un champ magn´etique parce-qu’elle traduit l’asym´etrie du mouvement cyclotronique des charges dans un plasma inhomog`ene comme illustr´e sur la figure 3.4. Si le courant net dˆu `a la d´erive ´electrique est nul puisqu’elle s’exerce de fa¸con identique sur les ions et les ´

electrons le courant diamagn´etique ne l’est pas puisque la d´erive d´epend ici de la charge

Figure 3.4 – R´ef´erence : [Goldston95] Origine de la d´erive diamagn´etique : dans la r´egion ombr´ee mˆeme si les centres guides des trajectoires cyclotroniques sont stationnaires il y a plus de particules tournant vers la gauche que de particules tournant vers la droite puisque ceux-ci sont en nombre moindre dans la zone de faible densit´e. Cela donne naissance `a un flux moyen de nature fluide qui g´en`ere un courant net appel´e courant diamagn´etique

´

electrique. On peut ais´ement le calculer : ~ V∗ = −γpkBT ~ ∇⊥n × ~B qnB2 (3.55) ~j∗ = (kBTe+ γkBTi) ~ B × ∇ne nB2 (3.56)

S’il n’est pas associ´e `a un mouvement r´eel des centre-guides, il reste n´eanmoins que le courant diamagn´etique est un courant r´eel puisqu’associ´e `a des vitesses fluides r´eelles. Une des propri´et´es fondamentales du flux diamagn´etique est qu’il est incompressible en champ magn´etique uniforme, en effet :

~

∇.(n~V∗) = −γpkBT

qB ∇.( ~~ ∇n × ~b) = −γpkBT

qB (~b. ~∇ × ~∇n − ~∇n. ~∇ × ~b) = 0

Cette propri´et´e a pour corolaire important que la d´erive diamagn´etique n’occasionne au- cune advection sur les propri´et´es du fluide (densit´e, vitesse, flux de chaleur...)[Garcia05], on appelle ce principe annulation diamagn´etique. On note que la vitesse diamagn´etique est proportionnelle `a la temp´erature des esp`eces consid´er´ees et qu’elle peut donc ˆetre n´eglig´ee pour des ions froids.

On peut v´erifier que le terme de d´eriv´ee totale des vitesses transverses ∂t+ ~V⊥,0. ~∇⊥V~0

est bien d’ordre 1. Ce terme s’´ecrit (en consid´erant ∂z = 0) :

Par un calcul complexe on peut d´emontrer qu’`a l’ordre 1 la prise en compte des termes non-diagonaux du tenseur de pression cin´etique du plasma ( tenseur des contraintes gyro- visqueux de Braginskii [Braginskii65]) compense exactement la d´eriv´ee temporelle totale de la vitesse de d´erive diamagn´etique [Hinton71]. En outre l’annulation diamagn´etique entraˆıne la disparition du terme ~V∗. ~∇⊥. Ne subsite alors que la d´eriv´ee totale de la d´erive

´

electrique qui s’´ecrit :

(∂t+ ~VE. ~∇⊥)~VE = " ∂t+ ~E⊥× ~ B B2. ~∇⊥ # ~ E⊥× ~ B B2 ! (3.57)

Cette contribution se traduit par l’existence d’une d´erive suppl´ementaire dite de po- larisation, semblable par la forme `a la d´erive des particules dans un champ ´electrique variable : ~ Vp = q |q| 1 ωcB (∂t+ ~VE. ~∇⊥) ~E (3.58)

La d´erive ´electrique ´etant perpendiculaire au gradient de potentiel d’´equilibre, ce terme n’apporte qu’une correction d’ordre 1 tant que Vp/VE << 1. L’ordre de grandeur de ce

rapport ´etant ω/Ωcion peut donc n´egliger `a l’ordre 0 la d´erive de polarisation si ω << Ωci,

cette hypoth`ese est appel´ee approximation d’onde de d´erive. Remarquons que la d´erive de polarisation est toujours n´egligeable pour les ´electrons de masse faible mais peut jouer un rˆole important pour la dynamique des ions `a cause de la divergence non-nulle du cou- rant associ´e qui peut provoquer l’apparition de densit´es de charges. Dans notre ´etude en perturbation de l’´equilibre (chapitre 6) nous verrons qu’elle contribue significativement `a la r´eponse ionique face `a une fluctuation de potentiel, influen¸cant par l`a la relation de dis- persion des ondes instables dans le milieu. Par ailleurs des ´etudes num´eriques[Naulin08] montrent qu’elle fixe en particulier l’´evolution temporelle de la vorticit´e (∇ × ~V ) du champ de vitesse dans un profil cisaill´e.