3.2 Th´ eorie cin´ etique des plasmas :
3.2.3 Equation cin´ etique de la dynamique :
Du principe de conservation des particules dans l’espace des phases (´equation de Liouville) :
Df /Dt = (∂f /∂t)c (3.16)
(o`u (∂f /∂t)c est le taux de diffusion de f dans l’espace des phases dˆu aux collisions et
D/Dt = ∂t+ dt~r.∂~r+ dt~v.∂~v est la d´eriv´ee totale) d´ecoule l’´equation fondamentale qui
r´egit la dynamique d’un gaz de particules dite ´equation de Boltzmann : ∂f ∂t + ~v. ~∇f + ~ F m ∂f ∂~v = (∂f /∂t)c (3.17)
o`u on a utilis´e les ´equations canoniques de Hamilton : dt~r = ~v et mdt~v = ~F , ~F ´etant la
somme des forces qui s’exercent sur les particules. Dans un plasma les forces qui dominent sont les forces de Lorentz : ~F = q( ~E +~v × ~B) g´en´er´ees par les champs ´electromagn´etiques ext´erieurs mais aussi par les champs ”moyens” cr´e´es par les diff´erents gaz de particules charg´ees. En l’absence de collisions l’´equation 3.17 d´ecrivant les plasmas dits chauds (ou non-collisionnels) prend la forme bien connue de l’´equation de Vlasov [Vlasov45] :
∂f ∂t + ~v. ~∇f + q m( ~E + ~v × ~B) ∂f ∂~v = 0 (3.18)
Dans un plasma faiblement ionis´e comme celui de MISTRAL o`u les collisions se font presque exclusivement avec les atomes neutres l’op´erateur de collision ´elastiques peut ˆ
etre approxim´e par un terme de collision de Krook : (∂f /∂t)c,el =
fn− f
τn
(3.19) o`u fn est la fonction de distribution du gaz neutre et τn le temps moyen entre 2 collisions
(qui d´epend de la vitesse des particules consid´er´ees et tend vers l’infini quand v → ∞ et quand v → 0). L’op´erateur de collision de Krook est l’´equivalent cin´etique du terme de collision ~Fcoll = −mnνcoll,n(~V − ~Vn) des ´equations fluides. A noter que la quantit´e de
mouvement moyenne transf´er´ee au gaz neutre peut ˆetre n´eglig´ee dans la limite nn>> nα
et donc sa vitesse fluide consid´er´ee comme nulle : ~Vn = ~0 . A ces collisions ´elastiques il
convient d’ajouter l’op´erateur de collisions in´elastiques, dans notre cas il se divise en un terme source et un terme de pertes23. D’autres collisions in´elastiques peuvent intervenir
sans modifier le nombre de particules (excitations, ionisation, transferts de charge) mais ces termes sont n´egligeables devant le terme de collision ´elastique avec les neutres aux ´
energies qui nous int´eressent (voir section 3.4.2). L’op´erateur de collision total s’´ecrit donc :
(∂f /∂t)c = (∂f /∂t)c,el+ (∂f /∂t)c,s+ (∂f /∂t)c,p (3.20)
Dans tout cet ouvrage on se place dans l’approximation basse fr´equence qui consiste `
a n´egliger les effets magn´etiques caus´es par la dynamique des charges ( ~B = ~B0 =
−−→ Cste) : le champ magn´etique est uniquement le champ ext´erieur appliqu´e. Le champ ´electrique auto-coh´erent est alors ´electrostatique et ob´e¨ıt `a l’´equation de Poisson donn´ee par 3.22 :
~ E = − ~∇φ (3.21) ~ ∇. ~E = −∇2φ = ρt 0 = 1 0 X α qα Z +∞ −∞ fαd~v (3.22)
l’indice α d´esigne les diff´erentes esp`eces charg´ees, on prendra dans la suite α = i, e et ep respectivement pour les ions (une seule esp`ece), les ´electrons et les ´electrons primaires.
Le jeu d’´equation d´ecrivant un plasma tel que celui de MISTRAL ayant les propri´et´es suivantes : une seule esp`ece d’ion une fois ionis´ee, champ magn´etique ext´erieur ~B0 unique-
ment, champ ´electrique ~E ´electrostatique, collisions avec les neutres dominantes donne alors le syst`eme Boltzmann-Poisson :
∂fα ∂t + ~v. ~∇fα+ qα mα ( ~E + ~v × ~B0) ∂fα ∂~v = (∂f /∂t)c (3.23) ~ ∇. ~E = −∇2φ = 1 0 X α qα Z +∞ −∞ fαd~v (3.24)
23. pour les ions et les ´electrons secondaires le terme source est li´e `a l’ionisation du gaz neutre par les ´electrons primaires et le terme perte `a la recombinaison radiative ou `a trois corps, pour les ´electrons primaires il n’y a pas de terme source et le terme de pertes par recombinaison est n´egligeable
A partir de l`a on serait tent´e de croire que le probl`eme est r´egl´e : si on se donne une condition initiale et des conditions aux limites il semble qu’il n’y ait plus l`a qu’une simple affaire de calcul. En r´ealit´e la situation est tr`es loin d’ˆetre simple : d’une part on est face `a un probl`eme de tr`es grande dimensionnalit´e, et d’autre part l’´equation de Vlasov contient une tr`es forte non-lin´earit´e qui se manifeste `a la fois dans le terme d’advection par les vitesses et dans le couplage avec les ´equations de Maxwell. La r´esolution de l’´equation de Vlasov dans le cas g´en´eral est en fait un probl`eme insoluble, sauf pour des situations o`u des approximations fortes peuvent ˆetre faˆıtes quand `a la nature des ph´enom`enes observ´es. Si on s’int´eresse par exemple `a la solution statique de l’´equation de Vlasov on s’aper¸coit que toute fonction des invariants du syst`eme (citons par exemple : l’´energie pour un plasma adiabatique, la vitesse parall`ele dans un champ magn´etique homog`ene et infini, l’invariant adiabatique dans le cas d’un champ magn´etique variable en l’absence de champ ´electrique transverse ...) est solution stationnaire de cette ´equation. De ce point de vue l’´equation de Boltzmann - qui est en fait une g´en´eralisation de l’´equation de Vlasov permettant d’´etudier la relaxation collisionnelle aux temps longs - est parfois plus riche d’enseignement puisqu’elle nous permet d’aboutir `a la solution exacte lorsque l’´equilibre thermo-dynamique local est atteint.
Un des moyens de r´eduire la dimensionnalit´e du probl`eme est de recourir `a l’´etude des moments de l’´equation cin´etique de la dynamique. Le moment d’ordre 0 donne ainsi :
Z +∞ −∞ ∂fα ∂t d~v + Z +∞ −∞ ~ v. ~∇fαd~v + qα mα Z +∞ −∞ ( ~E + ~v × ~B0) ∂fα ∂~v d~v = Z +∞ −∞ (∂f /∂t)cd~v
On peut d´emontrer que le troisi`eme terme disparaˆıt : il aboutit `a des sommes du type [fαFk]
vx,vy,vz→+∞
vx,vy,vz→−∞ o`u les Fk sont les composantes des forces de Lorentz, et fα → 0 plus vite
que n’importe quelle puissance de ~v sinon l’´energie du gaz serait infinie. Le quatri`eme terme donne l’int´egrale de collision in´elastique S − P o`u S correspond aux processus de cr´eation et P `a ceux de disparition de l’esp`ece concern´ee. L’int´egrale des collisions ´
elastiques disparaˆıt puisque celles-ci ne changent pas le nombre total de particules24. On
aboutit donc `a l’´equation de conservation :
∂tnα+ ~∇(nαV~α) = S − P (3.25)
Les termes sources et pertes d´ependent de la densit´e des esp`eces entrant en jeu dans le processus et de la fr´equence de collision pour ce processus. Dans notre cas o`u les ions et ´electrons secondaires sont cr´e´es par l’ionisation d’un gaz neutre par un faisceau d’´electrons primaires et d´etruites par recombinaison nous avons25 :
Sion = nepνion
Prec = nανr3c+ nανrrad
24. il en va ´evidemment de mˆeme pour les termes de collisions inelastiques qui n’impliquent pas de cr´eation/disparition.
25. l’ionisation (ion) correspond au processus : ep+ N → ep+ N++ es, la recombinaison `a 3 corps
(r3c) `a : 2e + N+ → N + e et la recombinaison radiative (rrad) `a : e + N+ → N + hν. e
p d´esigne un
´
electron primaire, es un ´electron secondaire, e un ´electron quelconque, N un atome neutre et N+ l’ion
Nous verrons dans la section 3.4.2 que les fr´equences de collision des processus de re- combinaison sont syst`ematiquement n´egligeables devant celles d’ionisation26. On peut
donc ignorer le terme P dans l’´equation de conservation des esp`eces : c’est l’´equilibre flux d’entr´ee/sortie - ionisation qui fixe la densit´e dans le plasma.
Le moment d’ordre 1 donne quand `a lui, en multipliant l’´equation 3.24 par ~v et en int´egrant sur les vitesses :
mαnα(∂t+ ~Vα. ~∇) ~Vα = qαnα( ~E + ~Vα× ~B0) − ~∇.P − m~~ αnανα,nV~ (3.26)
en utilisant la d´efinition du tenseur de pressions cin´etiques P , l’´~~ equation de conservation 3.25 et en rempla¸cant l’int´egrale de l’op´erateur de collisions par le terme de frottement collisionnel ´elastique moyen avec un gaz neutre statique : ~Fcoll,α,n = −mαnανα,nV . Dans~
un plasma faiblement ionis´e le frottement collisionnel ´elastique avec le gaz neutre domine largement dans la dynamique les autres effets collisionnels comme on le verra plus loin en ´etudiant les fr´equences de collisions pour les diff´erents processus, c’est pourquoi on n´eglige la diffusion de quantit´e de mouvement induite par tous les processus in´elastiques. A noter que dans toute la suite on n´egligera les effets visqueux associ´es aux termes non- diagonaux de P pour ne conserver que le gradient de pression scalaire mais qu’il est~~ parfois judicieux de faire intervenir des termes de viscosit´e pour traduire nottamment les effets de rayon de Larmor finis27. On remplacera donc dans 3.26 ~∇.P par ~~~ ∇P qui peut
s’´ecrire plus simplement ~∇P = kBTe∇n dans l’hypoth`ese du plasma isotherme.~
Dans ces ´equations les fr´equences de collisions sont syst`ematiquement li´ees `a la section efficace de collision pour le processus en question. Celle-ci s’´ecrit pour des collisions `a 2 corps entre l’esp`ece α et le gaz neutre :
να/n = nn< σα/n(v)v >= nn Z +∞ −∞ fα(v) nα σα/n(v)vdv
Pour les collisions ´elastiques avec les neutres nous avons donc : να/n = nn < σel,α/n(v)v >
et pour l’ionisation : νion = nn < σion,ep/n(v)v >.
Le moment suivant nous donne l’´equation du flux de chaleur qui, comme on l’a ´evoqu´e pr´ec´edemment, se r´eduit `a l’´equation adiabatique si on n´eglige la conductivit´e ther- mique,ce qui suppose qu’on ignore compl`etement en particulier les processus d’´echange d’´energie entre ondes et particules, on a alors le jeu d’´equation complet du mod`ele fluide classique o`u les fonctions de distributions peuvent ˆetre consid´er´ees comme des maxwel- liennes locales `a l’´echelle temporelle des ph´enom`enes ´etudi´es.
26. les processus radiatifs et `a 3 corps sont en effet tr`es peu probables sauf `a des densit´es et ´energies tr`es ´elev´ees.
27. leur prise en compte est d’ailleurs indispensable pour calculer pr´ecis´ement l’advection par la vitesse de d´erive diamagn´etique dont nous discuterons plus loin