Exemples, cas particuliers

Je veux maintenant montrer les ´etonnantes propri´et´es de C. Apr`es quelques br`eves remarques, j’appliquerai le r´esultat trouv´e `a un senseur de front d’onde 4 quadrants, puis `a un Hartmann. Je discute avant tout les propri´et´es mises en ´evidence.

L’´equation (2.44) montre qu’il y a ind´ependance entre le nombre de variables `a re-

construire dans ⃗φ et le nombre de mesures. Il n’y a jamais de probl`eme d’inversion.

Il pourrait ˆetre l´egitime de vouloir reconstruire 300 polynˆomes de Zernike avec un

Shack-Hartmann `a 2 × 2 sous-pupilles. Ce miracle n’est que tout `a fait relatif,

puisqu’il est clair que les corr´elations entre le 300ieme _{Zernike et les mesures du Hart-}

mann seront infiniment petites, d’o`u des bord´ees de z´eros dans la matrice C. Ainsi,

cette matrice ne reconstruit uniquement que la partie de la phase que le senseur est

capable d’appr´ecier correctement. Donc, en se pla¸cant pour ⃗φ dans le plus grand

espace possible, C donne aussi la r´eponse `a la question “quel est le meilleur sous- espace de modes que peut appr´ecier le senseur ?”, ou bien “combien de polynˆomes de Zernike est capable de reconstruire un Hartmann 7 × 7, et lesquels ?”. Le prix `a payer pour obtenir ces r´eponses est, malgr´e une expression (2.44) simple, une masse assez imposante de calculs.

Compensation optimale de la phase avec un 4 quadrants

Afin de profiter au maximum des possibilit´es de C, donnons-nous pour espace de mesure l’espace le plus petit qui soit, `a savoir une mesure du centro¨ıde de l’image sur

la pupille (4 quadrants). En revanche donnons-nous pour ⃗φ le plus grand espace pos-

sible, `a savoir tous les polynˆomes de Zernike qui ont une influence sur le d´eplacement du centre de gravit´e de l’image, propri´et´e que le tilt n’est pas seul `a poss´eder. En effet tous les polynˆomes en cos(θ) ou sin(θ) d´eplacent le centre de gravit´e de l’image.

Consid´erons les polynˆomes en Zn(r, θ) = Pn(r) cos(θ) et la pente en x. La matrice

⟨⃗st_.⃗s⟩−1 _{est r´eduite `a une constante: l’inverse de la variance des fluctuations d’angle}

d’arriv´ee. La relation entre le coefficient d’un polynˆome et le d´eplacement du centre de gravit´e est α =

√

2(n+1)λ

πD an et la variance des an est donn´ee par Noll (1976) dans

le cas d’une turbulence Kolmogorov. Le calcul de C est donc imm´ediat.

Regardons le produit matriciel φ = C⃗s de plus pr`es. La matrice C ne contient qu’une colonne, dont chaque coefficient est multipli´e par la valeur de la mesure, puis appliqu´e sur chacun des polynˆomes correspondants. En somme le vecteur colonne d´ecrit par C est un mode particulier et le front d’onde r´esultat n’est que le produit de la mesure par ce mode, qui est le mode de correction optimal de la phase pour la correction avec un d´etecteur quatre quadrants. Ce mode ressemble `a un tilt tr`es l´eg`erement “ondul´e”.

Compensation optimale de la phase avec un Shack-Hartmann

On se donne comme point de d´epart le senseur, un Shack-Hartmann. Pour simpli- fier l’approche, prenons pour espace des fronts d’onde l’espace entier des fonctions continues sur la pupille avec comme base non pas les polynˆomes de Zernike mais simplement la donn´ee de la valeur de la phase en tout point de la pupille. Cette ap- proche est math´ematiquement incorrecte, mais on peut imaginer que grˆace `a l’´echelle interne de la turbulence le spectre spatial des fluctuations est born´e, ce qui permet de d´efinir un pas d’´echantillonnage `a partir duquel on ´echantillonne correctement

le front d’onde perturb´e sans perte d’information. Ainsi on d´ecrit la phase par la donn´ee d’un nombre suffisant de points sur la pupille.

Le calcul conduit `a une matrice C contenant autant de colonnes que l’analyseur

fournit de mesures. Chacune de ces colonnes repr´esente un mode, la iieme _contenant

φi(x, y). Et la signification physique du produit matriciel φ = C⃗s est la suivante

φ(x, y) =

n

)

i=1

siφi(x, y) (2.45)

c’est-`a-dire que les mesures servent directement de coefficients de pond´eration aux

fonctions φi(x, y) pour aboutir au front d’onde optimal. Id´ealement, si l’on poss´edait

un miroir dont les d´eform´ees des actuateurs fussent les φi(x, y), il suffirait de “cˆabler”

directement chaque actuateur sur les mesures correspondantes du Hartmann, “fil `a fil”, le contrˆole ´etant dans ce cas diagonal.

Il semble que l’on ait fait un pas en arri`ere puisque la d´emonstration pr´ec´edente tend `a premi`ere vue `a prouver que le meilleur contrˆole est `a caract`ere zonal ! Il n’en est rien et l’on se doit de noter deux choses. D’une part la famille des fonctions

φi(x, y) d´epend totalement de la turbulence, du bruit, de l’angle anisoplan´etique et

des (´eventuels) effets temporels et dans chaque mode est inclus un coefficient de gain qui n’a rien d’arbitraire. D’autre part la d´emarche ne tient que pour un syst`eme en boucle ouverte. N´eanmoins, le sous-espace ainsi g´en´er´e correspond bien `a la base optimale de reconstruction pour l’analyseur choisi.

A quoi ressemblent les fonctions φi(x, y) ? Le calcul montre que ce sont des fonctions

tr`es continues, tr`es “lisses”, strictement monotones, assez similaires les unes aux

autres, ressemblant `a des tilts. Chaque φi(x, y), bien que d´efini sur la pupille enti`ere,

est associ´e `a une sous-pupille particuli`ere. Sur la sous-pupille en question φi(x, y)

est tr`es proche d’un tilt, l´eg`erement “ondul´e” et courb´e. Cette courbure se prononce plus nettement en allant hors de la sous-pupille et se transforme asymptotiquement

en r5/6 _{sur la pupille. Il est int´eressant de noter que φ}

i(x, y) ne tend pas vers z´ero

lorsque l’on s’´eloigne du centre de la sous-pupille `a laquelle il est associ´e, quelle que soit la taille de la pupille, et qu’il peut au contraire prendre des valeurs ´elev´ees. De ce fait il est demand´e une grande pr´ecision dans le calcul de ces fonctions puisque leur combinaison lin´eaire lors d’une reconstruction de front d’onde fait intervenir un subtil jeu de soustraction et d’annihilation mutuelles de ces grandes valeurs pour ne jouer principalement que sur les faibles amplitudes des plus hautes fr´equences spatiales.

Un fait marquant est la valeur moyenne non nulle de ces fonctions sur la pupille. Chacune de ces fonctions contient du piston et par voie de cons´equence le front d’onde reconstruit en contient ´egalement. Si ce piston n’´etait pas n´ecessaire, il ne serait pas l`a. En effet, le fait mˆeme de supposer une turbulence de type Kolmogorov implique une corr´elation non nulle entre le piston et tout autre mode de sym´etrie de r´evolution, quelle que soit la valeur de l’´echelle externe. Ainsi, la matrice optimis´ee

utilise l’information contenue dans les modes centro-sym´etriques que le senseur sait bien d´etecter (d´efocalisation en particulier) pour estimer le mode piston qui reste parfaitement invisible. Bien entendu, seule une fraction infime du piston est corrig´ee; mais du fait de son importance initiale la quantit´e absolue corrig´ee est comparable `a celle des autres premiers modes. Etant un mode gˆenant en optique adaptative, il convient de supprimer ce mode piston d’autant plus qu’il risque de faire apparaˆıtre des probl`emes num´eriques dans les calculs. Pour le supprimer, le front d’onde qu’il convient d’estimer n’est pas le front d’onde pertub´e, mais le front d’onde perturb´e

centr´esur la pupille. Cette op´eration pourtant simple modifie radicalement les pro-

pri´et´es statistiques de la phase sur la pupille et l’´ecriture de C s’en trouve modifi´ee. Les paragraphes suivants sont destin´es aux d´etails des calculs dans diff´erents cas de figure.