Quelques compl´ements

Ce paragraphe compl`ete l’article pr´ec´edent sur certains points particuliers. Je mon- tre l’influence de la correction optimis´ee sur les modes du miroir, en les comparant au cas de la commande zonale (j’entends par base zonale la base propre des actu- ateurs du syst`eme). Je discuterai ensuite l’influence de la base des modes choisie pour la commande: je veux montrer que le point crucial est d’abord la qualit´e de l’optimisation, avant d’ˆetre le choix de la base des modes.

Pour comparer le contrˆole modal au contrˆole zonal, j’ai choisi de comparer le “modal optimis´e” au “zonal optimis´e”, ce dernier terme signifiant que la bande passante globale du syst`eme est optimis´ee, `a l’aide d’une proc´edure identique `a celle qui optimise la commande modale, mais sur la base des actuateurs du miroir. Car si l’on compare le “modal optimis´e” au “zonal non optimis´e”, pour lequel la bande passante est maximale (voir section 2.5), les chiffres sont ´eloquents: le “zonal non optimis´e” apparaˆıt absurde.

La figure 3.40 a ´et´e obtenue uniquement `a partir d’une file circulaire non asservie,

les conditions de turbulence et d’observation ´etant les suivantes: r0: 10.6 cm, temps

de corr´elation: 220 ms, bruit sur les mesures: 0.148 pix2 _{soit 70 rd}2_{, fr´equence d’´e-}

chantillonnage: 100 Hz, analyseur: Ebccd , flux: 14 photo´electrons/ssp/trame. Cette figure donne la variance r´esiduelle de phase de chaque mode du miroir dans trois cas de figure: non asservi, asservi en correction modale optimis´ee, et asservi en zonal optimis´e (gain de 0.3 sur tous les modes). Les deux derni`eres quantit´es ont ´et´e d´etermin´ees par l’algorithme de l’optimisation modale `a partir de la file non

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Gains optimaux polynome

Figure 3.41: Gains correspondant `a l’exemple de correction modale optimale d´ecrite dans la figure pr´ec´edente.

asservie. Pour comprendre pourquoi j’ai choisi un gain de 0.3, la figure 3.41 montre les gains optimaux sur les modes du miroir: le gain optimal moyen correspondant aux premiers modes est en effet voisin de 0.3, et le tableau suivant, qui montre les variances r´esiduelles de phase, prouve aussi que c’est le gain pour lequel la correction zonale optimis´ee est la plus efficace.

Pr´edit par l’optimisation Mesur´e

Non asservi – 112 rd2

Commande modale optimis´ee 32 rd2 _{33 rd}2

Commande zonale non optimis´ee 90 rd2 _–

Commande zonale g = 0.4 42 rd2 _–

Commande zonale g = 0.3 36 rd2 _{35 rd}2

Commande zonale g = 0.2 36 rd2 _{35.5 rd}2

Commande zonale g = 0.1 44 rd2 _{42 rd}2

On note donc sur la figure 3.40 que pour les 15 premiers modes la correction aurait tr`es bien pu s’accommoder d’un gain de 0.3 sans que cela nuise `a l’erreur r´esiduelle de phase. C’est une cons´equence de ce que j’ai d´ej`a dit dans l’article qui pr´ec`ede: l’erreur de phase en fonction du gain varie tr`es faiblement autour du gain optimal, et sa d´etermination n’est pas tr`es pointue. En revanche pour les modes d’ordre plus ´elev´e, on note une diff´erence. Mais si on compare l’erreur totale dans les deux cas, on constate qu’elle est, `a 10% pr`es, quasiment identique.

Le choix judicieux d’une base particuli`ere permet en effet de r´eduire l’erreur r´esi- duelle de phase `a une valeur minimale. Mais de ce point de vue la majeure partie du gain est apport´ee par l’optimisation des modes d’ordre bas. Cela signifie-t-il que l’optimisation de la correction des modes d’ordres ´elev´es est inutile ? Non, car non optimis´es ils participent `a la perte de corr´elation spatiale de la phase sur la pupille, laquelle entraˆıne la baisse du rapport de Strehl (voir le paragraphe sur le rapport

de Strehl dans la section 1.1.4). Cependant, l’ensemble des modes d’ordres ´elev´es (modes 25 `a 50 dans l’exemple de la figure 3.41) sont g´en´eralement peu diff´erenci´es au niveau de la bande passante de correction par l’algorithme de l’optimisation; ils constituent un espace de commande dans lequel il est difficile d’exhiber des vecteurs poss´edant des caract´eristiques bien sp´eciales. Ainsi, il serait par exemple envisage- able de construire une commande zonale optimis´ee pour un cas de figure tel que celui d´ecrit ci-dessus: l’id´ee n’est pas trop irrationnelle, puisque la diff´erenciation entre modes d’ordres bas et modes d’ordres ´elev´es n’est pas si critique. Elle devient en revanche de plus en plus critique avec la baisse du flux. Lorsque le flux de photons n’autorise pas la commande de plus d’une dizaine de modes, il est alors n´ecessaire de les choisir correctement, et on prendra naturellement les modes qui tendent vers les Karhunen-Loeve de l’espace du miroir. Cette constatation a ´egalement ´et´e faite par Ellerbroek et al. (1994), qui remarque qu’une commande comprenant seulement deux bandes passantes de correction diff´erentes permet d´ej`a d’atteindre une tr`es bonne optimisation. N´eanmoins, on ne perd rien, au contraire, `a commander avec des gains diff´erenci´es sur une base de commande plus complexe: cela assure d’ˆetre le plus souvent possible proche de l’optimum optimorum sans nuire `a la complexit´e de la proc´edure de mise en œuvre. Le choix d’une base modale bien adapt´ee se justifie en premier lieu par l’argument de la s´ecurit´e dans tous les cas de figure, plutˆot que par la n´ecessit´e.