Choix de la fr´equence d’´echantillonnage

Un point dont l’article sur l’optimisation modale ne parle pas est la strat´egie `a choisir concernant la fr´equence d’´echantillonnage `a utiliser dans tel ou tel cas de figure. Je vais tout d’abord pr´esenter le cˆot´e id´eal des choses, avant de faire la pr´esentation r´eelle du cas exp´erimental.

Le cas id´eal est le cas o`u on est limit´e par le bruit quantique. Evidemment, on

devine que le cas pratique sera plutˆot limit´e par le bruit de lecture, ou autre. Quoi qu’il en soit, la densit´e spectrale de puissance des fluctuations reste inchang´ee quelle

que soit la fr´equence d’´echantillonnage Fe; seul le niveau de bruit qui baigne ce

spectre va ´evoluer. Cette constatation simple est le point de d´epart de la r´eflexion qui suit.

Limitation par le bruit de photons

En r´egime limit´e par le bruit de photons, la variance du bruit varie proportionnelle- ment `a la fr´equence d’´echantillonnage. Comme la variance est l’int´egrale de la densit´e spectrale de puissance, et que l’on int`egre jusqu’`a la fr´equence de Shannon, propor-

tionnelle `a Fe, il s’en suit que le niveau du bruit est une donn´ee constante. Les choses

sont donc d’une rare simplicit´e, puisque augmenter la fr´equence d’´echantillonnage ´equivaut `a ne rien faire spectralement, `a peu de choses pr`es. Tout juste ´etendre fr´equentiellement le domaine du bruit. La bande passante optimale de correction, elle, ne change pas. Puisque les choses sont claires cˆot´e mesure, regardons ce qui advient cˆot´e syst`eme. Plus la fr´equence d’´echantillonnage est ´elev´ee et plus la fonc- tion de transfert de correction peut pr´esenter une bande passante ´elev´ee. Ou encore, pour une bande passante `a 0 dB de la fonction de correction fix´ee, l’att´enuation `a basse fr´equence est d’autant meilleure et la surtension d’autant moins forte que

Fe est grande. Il en est de mˆeme pour la fonction de transfert en boucle ferm´ee,

est claire, la limitation par le bruit de photons impose d’utiliser la plus grande fr´equence d’´echantillonnage possible.

Limitation par le bruit de lecture

Le probl`eme devient `a peu pr`es aussi complexe qu’il ´etait simple dans le cas pr´e- c´edent. Etant inversement proportionnel au nombre de photons au carr´e, le niveau spectral du bruit se comporte alors lin´eairement avec la fr´equence d’´echantillonnage

Fe. Fait amusant, on a besoin d’une bande passante de correction d’autant plus

faible que la fr´equence d’´echantillonnage est grande: mais dans ce cas la correction se d´egrade `a grands pas. Inversement, elle s’am´eliore donc si l’on r´eduit la fr´equence d’´echantillonnage mais il est alors demand´e une bande passante plus grande. Elle s’am´eliore, jusqu’`a ce que l’erreur de sous-mod´elisation temporelle prenne le re- lais et la fasse `a nouveau croˆıtre. Le probl`eme est complexe car il d´epend totale- ment de la forme de la fonction de transfert du syst`eme en fonction de la fr´equence d’´echantillonnage. On ne peut pas le simuler simplement car il y aurait en fait

une fr´equence d’´echantillonnage par mode: le choix de la bonne fr´equence doit se

faire en fonction de l’erreur r´esiduelle totale. Celle-ci impose de faire des hypoth`eses compl`etes quant `a la structure spatiale et temporelle de la turbulence, et d´epend plus que jamais des conditions pr´ecises d’observation: flux, bruit de lecture, seeing et temps de corr´elation.

Il y donc deux fa¸cons de proc´eder dans la pratique:

1. enregistrer des s´equences de turbulence non asservies pour diff´erentes fr´equen- ces d’´echantillonnage, appliquer l’optimisation sur chacune et comparer les r´esultats

2. enregistrer une s´equence de turbulence non asservie avec une fr´equence d’´e- chantillonnage assez basse et simuler les files `a fr´equence plus ´elev´ee, simple- ment en ´elevant le niveau du bruit sur le spectre et en le “compl´etant” `a plus haute fr´equence. Il est dans ce cas n´ecessaire d’avoir une bonne connaissance de la loi de variation du bruit en fonction de la fr´equence.

Ces m´ethodes n’ont jamais ´et´e test´ees sur ComeOnPlus , car l’analyseur cens´e ˆetre limit´e par le bruit de lecture (analyseur fort flux Reticon) n’a qu’une unique fr´equence d’´echantillonnage disponible, alors que l’Ebccd qui est limit´e par le bruit de photon poss`ede une gamme de fr´equences d’´echantillonnage. N´eanmoins, `a l’a- venir il sera absolument n´ecessaire de pratiquer une telle politique d’optimisation, car on se rend compte de plus en plus que l’Ebccd n’a des performances d’analyse effectivement conformes aux pr´edictions th´eoriques de la limitation par le bruit de

photons que dans des cas bien cibl´es o`u le fond du ciel est n´egligeable et o`u le seuil

s(t) Bruit Turbulence (entrée) Commande du système Miroir déformable Tout le système + Hartmann

Image corrigée (sortie)

e(t)

c(t)

Figure 2.5: Description sch´ematique d’un syst`eme d’optique adaptative.