G´en´eralit´es

Chacun des effets cit´es dans le titre correspond certainement `a un fait pr´ecis, encore faut-il que les diff´erents auteurs emploie le mˆeme pour chaque chose, et que le passage de l’anglais au fran¸cais s’effectue sans distorsion (ou avec les mˆemes `a l’aller qu’au retour). Bref, ce n’est malheureusement pas toujours le cas et il r`egne parfois sur le sujet un certain flou, lorsque ce n’est pas une incompr´ehension totale.

En anglais, on trouvera les termes suivants: spatial or temporal undersampling, spa- tial or temporal aliasing, cross-coupling, discretization error, fitting error, undermod- eling error, estimation error. On s’accordera `a les traduire respectivement en fran¸cais par sous-´echantillonnage spatial ou temporel, repliement spatial ou temporel, cou- plage, erreur de discr´etisation, erreur d’ajustement, erreur de sous-mod´elisation, erreur d’estimation.

En 1979, Ronald Cubalchini publie dans JOSA “Modal wavefront estimation from phase derivative measurements”. En 1981, Hermann publie dans JOSA “Cross- coupling and aliasing in modal wavefront estimation”, et Southwell en 1982 pub- lie dans un colloque SPIE “What’s wrong with cross-coupling in modal wave-front estimation ?”.

Voici en r´esum´e ce que dit Cubalchini: lorsque l’on accroˆıt le nombre de polynˆomes de Zernike dans la matrice d’interaction, l’erreur propag´ee sur un mode particulier change. Reconstruire ou non la coma modifie radicalement l’erreur propag´ee sur

le tilt et cela parce que les mesures ne sont pas orthogonales entre elles, d’o`u le

terme de cross-coupling employ´e. Cubalchini appelle “mesure” la valeur exacte de la d´eriv´ee exacte de la phase au centre de la sous-pupille. Il est conscient du fait que dans un Shack-Hartmann on ne mesure pas la d´eriv´ee en un point mais au contraire on la moyenne sur une zone donn´ee. Il approche le probl`eme en disant que la valeur donn´ee par le Shack-Hartmann est certes la valeur de la d´eriv´ee de la phase en un point pr´ecis du front d’onde, mais situ´e quelque part al´eatoirement `a l’int´erieur de

la sous-pupille alors qu’il est attendu au centre. D’o`u le nom d’instrumental error.

s polynˆomes de Zernike et dont les colonnes sont remplies par la valeur exacte de la d´eriv´ee des polynˆomes de Zernike en diff´erents points de la pupille. Il inverse

cette matrice (inverse g´en´eralis´ee (Dt_D)−1_Dt _{classique) et s’aper¸coit `a juste titre}

que s’il tente de reconstruire le front d’onde cr´e´e par des mesures provenant d’un polynˆome d’ordre sup´erieur `a s, la solution trouv´ee par ladite matrice est une com- binaison des s premiers polynˆomes. Il appelle cet effet cross-coupling, en pr´ecisant n´eanmoins qu’il entend ce terme dans un sens tout `a fait diff´erent de celui que lui a donn´e Cubalchini en 1979 dans JOSA. Puis il fait la remarque suivante: un front d’onde combinaison lin´eaire de plusieurs modes peut g´en´erer un vecteur de mesures rigoureusement nul. C’est parce que les vecteurs de mesure associ´es `a chacun de ces modes sont lin´eairement d´ependants. Cette d´ependance lin´eaire, Hermann la nomme aliasing.

Enfin en 1982 Southwell remet les choses `a leur place. Il annonce en introduction qu’il lui semble assez clair qu’une matrice cr´ee `a partir d’un jeu limit´e de modes semble d´eficiente lorsqu’il s’agit de reconstruire des donn´ees g´en´er´ees `a partir d’un espace de fonctions totalement diff´erent: “cross coupling is a consequence of fitting an incomplete set of functions to the data and is not caused by nonorthogonality”. Et il montre que lorsque le nombre de modes est d´ecent par rapport au nombre de mesures (pour ´eviter d’avoir `a faire avec une matrice singuli`ere -l’aliasing de Hermann- ce qui fausse tout le probl`eme) il n’y a aucun cross-coupling parmi les modes recon- struits par la matrice. Puis il d´efinit la notion d’undermodeling, qui supplante les

notions pr´ec´edentes de cross-coupling. Enfin, il mentionne l’undersampling, cas o`u

certains modes inconnus de la matrice de commande (car g´en´eralement porteurs de fr´equences spatiales ´elev´ees par rapport aux possibilit´es du syst`eme) interf`erent dans la reconstruction et sont interpr´et´es comme ´etant des modes d’ordre bas. Il appelle ce ph´enom`ene aliasing, cons´equence de l’undersampling, par analogie avec la th´eorie de l’information.

Les trois exemples pr´ec´edents sont une expression v´eh´emente de la discordance qui r`egne parfois entre l’appellation des diff´erents ph´enom`enes.

N´eanmoins l’approche de Southwell, qui semble parfaitement saine et `a laquelle je souscris sans r´eserve, est en parfait accord avec l’approche modale.

On pourra r´esumer ainsi:

• le sous-´echantillonnage spatial ou temporel: Rien de tr`es sp´ecial, le ph´enom`ene est porteur d’information qui est d´eterior´ee par l’´echantillonnage. La seule mise en garde est que le terme d’´echantillonnage n’est pas pris au sens math´ematique, car il peut s’agir d’un ´echantillonnage par un ccd (donc ´echantillonneur-bloqueur, puisqu’il y a une int´egration), ou par une sous- pupille (´echantillonnage par int´egration sur une petite surface).

• l’erreur de discr´etisation: Erreur commise lors de la substitution d’un ´echantillon provenant d’une grandeur int´egr´ee, par une valeur de la grandeur

en un point. Je commets une erreur de discr´etisation si je d´ecr`ete par exemple que la valeur du signal dans une sous-pupille est la valeur de la d´eriv´ee du front d’onde au centre de la sous-pupille. Il peut y avoir erreur de discr´etisation sans pour autant y avoir sous-´echantillonnage.

• le couplage: Je prends un exemple. Supposons que l’on reconstruise la phase sur la base des polynˆomes de Zernike, puis on la projette sur la base des modes du miroir. Cette approche fait effectivement apparaˆıtre le cross-coupling. Phy- siquement, cela signifie que si l’on pr´esente `a l’analyseur un mode particulier du syst`eme, il va d’abord ˆetre reconstruit sur la base des polynˆomes de Zernike; ce n’est donc qu’une approximation. Puis cette approximation va se trouver projet´ee sur les modes du miroir, et des commandes vont ˆetre g´en´er´ees pour s’adapter aux erreurs d’ajustement qui ont ´et´e commises entre le mode initial et sa reconstruction sur la base des polynˆomes de Zernike. On retrouvera donc, dans le front d’onde r´esultant, d’autres modes en plus du mode initial, g´en´er´es par couplage. On appelle donc couplage le ph´enom`ene d’interf´erence entre deux ou plusieurs modes du syst`eme. La m´ethode pr´ec´edemment d´ecrite pour le calcul d’une matrice de commande est evidemment parfaitement d´econseill´ee: le passage par un espace interm´ediaire pour revenir dans l’espace de d´epart

est un des moyens les plus sˆurs de perdre de l’information. Il existe n´eanmoins

des m´ethodes perfectionn´ees et astucieuses de construction de matrices de commande qui conduisent `a des matrices `a couplage: par exemple toute matrice bas´ee sur la maximisation de vraisemblance est `a ranger dans cette cat´egorie. En effet ces matrices utilisent les couplages entre modes pr´ecis´ement dans le

mˆeme sens que la turbulence corr`ele les coefficients desdits modes, d’o`u leur

efficacit´e.

Pour finir, la d´efinition la plus pr´ecise du couplage est ´evidemment la d´efinition math´ematique. Soit C la matrice de commande. Soit D la matrice d’interaction entre le senseur et les mˆemes modes que ceux reconstruits par C. Il y a couplage lorsque C.D n’est pas diagonale. Notons que si C est l’inverse g´en´eralis´ee de

D, on a C = (Dt_D)−1_Dt _{et donc C.D = (D}t_D)−1_Dt_{D = 1. Cela prouve les}

qualit´es de l’inverse g´en´eralis´ee en mati`ere de non-couplage. On prendra un soin particulier `a ´eviter le couplage dans tout syst`eme asservi.

• le repliement: Supposons que l’on contrˆole le miroir d´eformable avec une matrice de commande calcul´ee `a partir de l’inverse g´en´eralis´ee d’une matrice d’interaction form´ee `a partir d’une certaine base de modes. Il n’y a aucun couplage parmi ces derniers. En revanche, tout mode ext´erieur `a cet espace va provoquer une excitation de ces modes. C’est le ph´enom`ene de repliement. Cet effet est n´egligeable -en relatif- pour les ‘petits’ syst`emes d’optique adap- tative, mais ses cons´equences deviennent de plus en plus gˆenantes `a mesure que croissent les dimensions du syst`eme. Il est largement d´evelopp´e dans la section 1.3.2.

• l’erreur d’ajustement: (fitting error) la variance de phase r´esiduelle mini- male qu’il puisse exister entre un front d’onde donn´e (ou un mode, ou n’importe quelle fonction) et sa meilleure approximation possible par combinaison lin´eai- re d’une famille de modes donn´ee (laquelle pourra se r´esumer `a un seul mode dans certains cas). Souvent, on emploie le terme d’erreur d’ajustement pour d´esigner non pas l’erreur de phase mais le front d’onde r´esiduel lui-mˆeme, g´en´erateur de ladite erreur.

• l’erreur de sous-mod´elisation: la moyenne des erreurs d’ajustement entre les fronts d’onde appartenant au ph´enom`ene turbulent et la famille des modes du syst`eme consid´er´e. En d’autres termes l’erreur de phase r´esiduelle imputable au miroir d´eformable seul.

• l’erreur d’estimation: terme tr`es pratique; je laisse le choix au lecteur. La liste n’est pas exhaustive. Il faudrait ´egalement un terme pour nommer les erreurs instrumentales: l’irr´egularit´e du bord des microlentilles (ou les bulles ?) qui font que l’on ne mesure pas vraiment l’int´egrale du gradient de la phase, les d´eform´ees des actuateurs qui ne sont pas forc´ement toutes identiques et conformes `a ce que l’on croit. Mais est-ce vraiment une erreur instrumentale, ou seulement notre inaptitude `a pouvoir mod´eliser parfaitement notre syst`eme ?