II. Eléments de transposition didactique
II. 1. Etude des directives du programme
Nous analysons, dans l’ordre, les directives des programmes officiels des niveaux du secondaire décrits ci-dessus.
L’analyse des programmes de chaque niveau se fera en deux étapes. La première est consacrée à la description des directives relatives à l’enseignement et l’apprentissage des objets équations, inéquations et fonctions. La deuxième est consacrée à des commentaires s’appuyant sur notre cadre logique en vue de repérer l’articulation sémantique / syntaxe dans ces directives.
II. 1. 1. Analyse des directives du programme de la première année secondaire
Présentation
Les objectifs du programme de la première année secondaire se résument à ce que les élèves utilisent, appliquent et apprécient des mathématiques dans des situations familières ou non familières, dans des contextes mathématiques ou en rapport avec l’environnement (cf. Annexes, IV.1. p. 2-9).
65 Les techniques sont supposées mixtes lorsqu’elles mobilisent à la fois les deux points de vue sémantique et syntaxique dans l’enseignement et le traitement des objets équations, inéquations et fonctions.
66 Les notions mathématiques sont les objets d’étude. On étudie par exemple la notion de nombre, la notion de groupe, la notion de corps, etc.). Ces notions sont construites en prenant la forme d’une définition ou d’une construction.
Ils apprennent à :
Pratiquer une démarche mathématique à travers des activités écrites ou orales, les élèves développent leurs aptitudes à chercher, expérimenter, conjecturer, ou contrôler un résultat
Développer des raisonnements, Ils produisent un argument pour valider une affirmation en utilisant des inférences et des déductions, Ils produisent un contre-exemple pour montrer qu’une assertion est fausse, Ils vérifient des résultats et jugent s’ils sont raisonnables.
Distinguer entre une implication et une équivalence. Communiquer dans un langage mathématique. Mobiliser des algorithmes et des procédures.
Résoudre des problèmes dans des contextes mathématiques ou en rapport avec l’environnement.
Organiser et analyser l’information à travers des activités écrites ou orales et développer leurs aptitudes à identifier, organiser, sélectionner et synthétiser des informations chiffrées ou graphiques.
Utiliser les technologies de l’information et de la communication à travers des activités numériques, algébriques, géométriques et statistiques et se familiariser avec l’outil informatique.
Les élèves développent une méthodologie de résolution de problèmes faisant appel à un répertoire de connaissances, de techniques, de procédures appropriées validant la solution du problème, ils procèdent à une vérification en confrontant leur solution avec les données du problème.
En ce qui nous concerne, nous avons repris les directives recommandées par le programme de la première année secondaire qui sont en lien direct avec nos objets d’études.
Nous nous restreignons aux contenus définis et aux types de tâches recommandés dans les trois sections qui se rapportent aux activités numériques, activités algébriques et activités dans un repère qui se rapportent aux objets mathématiques que nous étudions.
Les contenus disciplinaires qui sont en rapport avec les objets de notre étude sont :
Opérations dans IR – Ordre dans IR – Valeur absolue. Identités remarquables.
Fonctions linéaires – Fonctions affines.
Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues réelles. Représentation graphique d’une fonction linéaire ou affine.
En plus, dans ces sections, on suggère des aptitudes à développer auprès des élèves. Dans la section consacrée aux activités numérique on suggère que
1) Les élèves mobilisent un algorithme ou une procédure de calcul.
2) Les élèves mobilisent les règles et les techniques opératoires sur les nombres réels pour :
Calculer des expressions numériques en utilisant des opérations de base.
Simplifier et calculer une expression numérique en utilisant les propriétés des puissances et de la racine carrée d’un nombre positif.
Trouver une quatrième proportionnelle.
Comparer des nombres réels et les placer sur la droite réelle.
3) Les élèves résolvent des problèmes numériques dans des situations mathématiques ou en rapport avec leur environnement dans des contextes familiers ou non familiers.
Dans la section consacrée aux activités algébriques on suggère que
1) Les élèves mobilisent les règles et les techniques de calcul algébrique pour :
Additionner, soustraire et multiplier des expressions algébriques. Calculer la valeur numérique d’une expression littérale.
Développer, factoriser et simplifier des expressions algébriques en utilisant les produits remarquables.
Résoudre des équations et des inéquations linéaires du premier degré à une inconnue.
Résoudre des systèmes linéaires de deux équations du premier degré à deux inconnues.
2) Les élèves mobilisent un algorithme ou une procédure de calcul algébrique pour :
Déterminer le signe d’un binôme du premier degré.
Résoudre des équations et des inéquations se ramenant à des équations et des inéquations du premier degré à une inconnue.
Déterminer l’expression d’une fonction linéaire connaissant l’image d’un réel. Déterminer l’expression d’une fonction affine connaissant les images de deux
3) Les élèves résolvent des problèmes algébriques dans des situations mathématiques ou en rapport avec leur environnement dans des contextes familiers ou non familiers. En particulier,
Les élèves modélisent des situations réelles menant à des équations, des inéquations ou des fonctions linéaires ou affines.
Les élèves résolvent des problèmes d’optimisation ou de point de rencontre de deux mobiles.
Dans la section consacrée aux activités dans un repère on suggère que
1) Les élèves mobilisent une technique lors d’activités dans un repère d’une droite ou d’un plan pour :
Lire graphiquement les coordonnées d’un point dans un repère. Calculer la distance entre deux points d’une droite munie d’un repère. Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé. Déterminer les coordonnées d’un point dans un repère.
2) Les élèves mobilisent une procédure lors d’activités dans un repère d’une droite ou d’un plan pour :
Représenter graphiquement une fonction linéaire ou affine.
Déterminer l’expression d’une fonction linéaire ou affine à partir de sa représentation graphique.
Déterminer graphiquement le point d’intersection éventuel de deux droites. Résoudre graphiquement une inéquation du premier degré à une inconnue. Résoudre graphiquement une inéquation du premier degré à deux inconnues. 3) Les élèves résolvent des problèmes dans un contexte graphique.
En particulier,
Les élèves modélisent des situations réelles en produisant des représentations graphiques.
Les élèves analysent et interprètent une représentation graphique modélisant une situation.
Commentaire
Les suggestions et les recommandations montrent que le programme est défini en contenus et types de tâches. Celles-ci requièrent l’aptitude des élèves à traiter des problèmes numériques et algébriques articulant les deux points de vue sémantique et syntaxique.
En effet, le point de vue syntaxique est clairement explicité dans les deux premières sections consacrées aux activités numériques et algébrique, lorsque les tâches demandées appellent à mobiliser des techniques relevant des règles de calcul algébriques s’appuyant sur le bloc (technologie, théorie) qui s’explique par l’exploitation de la structure du corps des nombres réels d’une part et l’utilisations de ses propriétés additives et multiplicatives appuyées par des opération de développement et factorisation pour pouvoir manipuler des expressions algébriques d’autre part. De même, les recommandations sont de nature syntaxiques lorsque l’on attend des élèves qu’ils soient capables de mobiliser des algorithmes, des techniques opératoires sur les nombres réels et des procédures de calcul algébriques pour résoudre des équations et des inéquations se ramenant à des équations et des inéquations du premier degré à une inconnue d’un côté ; de déterminer l’expression d’une fonction linéaire connaissant l’image d’un réel et l’expression d’une fonction affine connaissant les images de deux réels distincts d’un autre côté.
Quant à l’aspect sémantique, il apparait clairement dans la troisième section consacrée aux activités dans un repère où les tâches préalables incitent les élèves à mobiliser des techniques de lecture graphique, représentation graphique d’une fonction linéaire ou affine et à résoudre graphiquement une inéquation du premier degré à une inconnue, ou du premier degré à deux inconnues. En revanche, les recommandations générales qui se situent au niveau de l’introduction du programme de la première année secondaire, et qui préconisent que l’élève soit capable de valider la solution d’un problème en procédant à des vérifications, ne sont pas reprises explicitement. Elles sont présentes cependant implicitement dans des tâches de résolution qui sont susceptibles de mobiliser tant des règles de transformations syntaxiques que des aspects sémantiques : traitement, interprétation, contrôle ou vérification.
Le traitement des problèmes relevant de la modélisation laisse ouverte la possibilité de mobiliser des techniques relevant des points de vue sémantique, syntaxique ou mixtes puisque les tâches recommandées incitent l’élève à modéliser des situations réelles menant à des équations, des inéquations ou des fonctions linéaires ou affines et produisant des représentations graphiques.
Enfin, remarquons que différents types de tâches favorisent l’articulation des différents objets, équations et des inéquations du premier degré à une ou deux inconnues réelles, les fonctions linéaires et affines, dans les différents registres algébriques et graphiques. Ce sont celles qui invitent à utiliser des problèmes de modélisation qui sont internes et / ou externes au mathématiques. Ce qui, a priori, contribue à l’articulation des trois objets équation / courbe / fonction et par suite à l’articulation des deux points de vue sémantique et syntaxique dans les résolutions.
II. 1. 2. Analyse des directives du programme de la deuxième année secondaire section sciences et technologie de l’informatique
Présentation
Les objectifs du programme de la deuxième année secondaire section sciences et technologie de l’informatique se résument à ce que les élèves utilisent, appliquent et apprécient les mathématiques dans des situations familières ou non familières, dans des contextes mathématiques ou en rapport avec l’environnement (cf. Annexes, III.2. p. 2-9).
Ils apprendront à
Pratiquer une démarche mathématique en développant leurs aptitudes à chercher, expérimenter, conjecturer, raisonner ou contrôler un résultat.
Communiquer dans un langage mathématique en développant leurs aptitudes à expliquer ou à discuter un raisonnement, une stratégie ou la solution d’un problème. Mobiliser des algorithmes et des procédures en développant leurs aptitudes à élaborer
une stratégie de calcul (numérique, algébrique, géométrique ou statistique).
Résoudre des problèmes en développant leurs aptitudes à utiliser différentes approches de recherche, à élaborer des stratégies de résolution, à modéliser des situations réelles.
Organiser et analyser l’information en développant leurs aptitudes à identifier, organiser, sélectionner et synthétiser des informations chiffrées ou graphiques.
Utiliser les technologies de l’information et de la communication en développant leurs aptitudes à utiliser la calculatrice ou des logiciels dans leur travail de recherche, de prospection, de contrôle et de communication.
Apprécier la contribution des mathématiques au développement de l’individu et de la société, ainsi qu’à la compréhension du monde et à son évolution.
Nous avons repris les directives recommandées par le programme de la deuxième année secondaire qui sont en lien direct avec nos objets d’études.
Nous nous restreignons aux contenus et aux types de tâches recommandées dans les quatre sections qui se rapportent aux activités numériques, activités algébriques, activités sur les fonctions et activités dans un repère.
Les contenus disciplinaires exigés en rapport avec les objets de notre étude sont : Problèmes du premier et de second degré.
Equations et inéquations du second degré à une inconnue réelle. Notion de polynômes.
Condition de colinéarité de deux vecteurs – Equation cartésienne d’une droite. Distance d’un point à une droite.
Equation cartésienne d’un cercle.
Fonctions du type xa ax+b ; xaax2 +bx+c ; d cx b ax x + + a ; xxa x+b.
Applications à des problèmes d’optimisation.
En outre, dans ces sections, on suggère des aptitudes à développer auprès des élèves. Dans la section consacrée aux activités numériques on suggère que
1) Les élèves connaissent et utilisent les règles opératoires sur les nombres réels pour :
Calculer et / ou simplifier une expression numérique. Donner une valeur approchée d’un nombre.
2) Les élèves mobilisent une technique, un algorithme ou une procédure de calcul. 3) Les élèves résolvent des problèmes numériques dans des situations
mathématiques ou en rapport avec leur environnement dans des contextes familiers ou non familiers.
Dans la section consacrée aux activités algébriques on suggère que
1) Les élèves mobilisent un algorithme, une technique ou une procédure de calcul algébrique pour :
Reconnaître un zéro d’un trinôme. Factoriser un trinôme.
Développer, factoriser et simplifier des expressions algébriques en utilisant les produits remarquables.
Résoudre des équations et des inéquations se ramenant à des équations de la forme ax+b=0 ou à des inéquations de la forme ax+b≥0 ou ax+b≤0.
Résoudre des équations se ramenant à des équations du second degré à une inconnue.
Déterminer deux réels connaissant leur somme et leur produit. Déterminer le signe d’un trinôme de second degré.
Reconnaître un zéro d’un polynôme.
Factoriser un polynôme connaissant un ou plusieurs de ses zéro. Déterminer le signe d’une expression algébrique.
Résoudre des inéquations se ramenant à des inéquations du second degré à une inconnue réelle.
2) Les élèves résolvent des problèmes algébriques dans des situations mathématiques ou en rapport avec leur environnement dans des contextes familiers ou non familiers. En particulier,
Les élèves résolvent des problèmes d’optimisation.
Les élèves modélisent des situations réelles menant à des équations ou à des inéquations.
Les élèves résolvent le modèle mathématique.
Les élèves exercent leur esprit critique pour juger de la « raisonnabilité » des résultats.
Dans la section consacrée aux activités sur les fonctions on suggère que
1) Les élèves mobilisent une technique ou une procédure de calcul algébrique pour : Déterminer l’ensemble de définition de l’une des fonctions du programme. Déterminer l’image d’un réel par l’une des fonctions du programme. Déterminer le sens de variation de l’une des fonctions du programme.
Déterminer le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole en utilisant la forme réduite de la fonction qui lui est associée.
Déterminer les asymptotes et le centre de symétrie d’une hyperbole en utilisant la forme réduite de la fonction qui lui est associée.
Représenter graphiquement l’une des fonctions du programme.
2) Les élèves mobilisent une procédure lors d’activités dans un repère pour :
Déterminer graphiquement l’ensemble de définition, la parité, le sens de variation d’une fonction.
Déterminer graphiquement les extrema et les branches infinies d’une fonction. Déterminer graphiquement les coordonnées d’un point d’une courbe.
Représenter graphiquement une courbe à partir d’une autre en utilisant une application du plan dans lui même (symétrie, translation ou homothétie). 3) Les élèves résolvent des problèmes dans des situations en rapport avec leur
environnement dans des contextes familiers ou non familiers faisant appel à l’une des fonctions du programme. En particulier,
Les élèves résolvent des problèmes d’optimisation.
Les élèves modélisent des situations faisant appel aux fonctions de type
b ax xa + ;xaax2 +bx+c ; d cx b ax x + + a xa x+b.
Les élèves résolvent le modèle mathématique.
Les élèves exercent leur esprit critique pour juger de la « raisonnabilité » des résultats.
Dans la section consacrée aux activités dans un repère on suggère que
1) Les élèves mobilisent une technique lors d’activités dans un repère pour :
Déterminer un vecteur directeur ou le coefficient directeur d’une droite connaissant une de ses équations cartésiennes ou son équation réduite.
Représenter graphiquement une droite.
2) Les élèves mobilisent une technique lors d’activités dans un repère orthonormé pour :
Calculer la distance de deux points.
Déterminer un vecteur normal à une droite connaissant une de ses équations cartésiennes ou son équation réduite.
Calculer la distance d’un point à une droite.
Déterminer l’équation d’un cercle connaissant son centre et son rayon. Déterminer l’équation d’un cercle passant par trois points distincts.
Déterminer l’ensemble des points M ,
( )
x y vérifiant x2 + y2 +ax+by+c=0 où ba, et c sont des réels donnés.3) Les élèves mobilisent une procédure lors d’activités dans un repère pour :
Déterminer une équation cartésienne ou l’équation réduite d’une droite connaissant deux de ses points.
Déterminer une équation d’une droite connaissant un de ses points et un vecteur directeur.
Déterminer une équation d’une droite passant par un point et parallèle à une droite donnée.
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes. 4) Les élèves résolvent des problèmes dans un contexte graphique. En particulier,
Les élèves résolvent des problèmes géométriques en faisant appel à l’outil analytique.
Les élèves analysent et interprètent une représentation graphique modélisant une situation.
Les élèves modélisent des situations réelles en produisant des représentations graphiques.
Les élèves résolvent le modèle mathématique.
Commentaire
Le programme de la deuxième année secondaire section sciences et technologies de l’informatique défini les contenus à enseigner et les différents types de tâches afin d’institutionnaliser les techniques adéquates pour résoudre des exercices et des situations problèmes en rapport avec les mathématiques.
Les suggestions et les recommandations montrent que le programme incite les élèves à acquérir l’aptitude à traiter des problèmes numériques et algébriques.
Nous pouvons dire que tout au long de ces recommandations, les deux points de vue sémantique et syntaxique s’articulent.
D’un côté, nous remarquons que le point de vue syntaxique est clairement explicité dans les sections consacrées aux activités numériques et aux activités sur les fonctions.
Pour la section consacrée aux activités numériques, les types de tâches recommandées appellent à mobiliser des règles de transformation opératoires sur les nombres réels pour calculer et / ou simplifier une expression numérique et des techniques s’appuyant sur un algorithme ou une procédure de calcul qui fait appel aux différentes propriétés et opérations du corps des nombres réels.
Pour la section consacrée aux activités sur les fonctions, les types de tâches recommandées appellent les élèves à mobiliser des techniques qui s’appuient sur une reconnaissance de la forme leur permettant de déterminer le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole, ainsi que les asymptotes et le centre de symétrie d’une hyperbole en utilisant la forme réduite des fonctions associées.
D’un autre côté, la plupart des types de tâches recommandées dans les trois autres sections relatives aux activités algébriques, sur les fonctions et dans un repère, laissent
ouverte la possibilité de mobiliser des techniques qui favorisent l’articulation des points de vue sémantique, syntaxique et mixte.
Dans la section consacrée aux activités algébriques, les différents types de tâches demandées appellent à mobiliser des techniques, des algorithmes ou des procédures relevant des règles de calcul algébriques appuyées par des opérations de développement et factorisation pour pouvoir manipuler des expressions algébriques. Parmi ces techniques nous pouvons citer celles qui consistent à reconnaître un zéro d’un trinôme, factoriser un trinôme, déterminer le signe d’un trinôme de second degré, déterminer le signe d’une expression algébrique etc. Ces techniques appellent les élèves à mobiliser les deux points de vue sémantique et syntaxique puisque les types de tâches recommandées exigent des substitutions, vérifications relevant du point de vue sémantique et des techniques s’appuyant sur des règles de transformation qui relèvent du point de vue syntaxique. Nous classons les types de tâches qui consistent à résoudre les équations et les inéquations du premier et du second degré à une inconnues réelles comme étant des tâches qui sont ouvertes c'est-à-dire qu’elles appellent à la mobilisation des techniques pouvant s’appuyer sur l’un ou les deux points de vue sémantique et syntaxique.
Dans la section consacrée aux activités sur les fonctions les différents types de tâches appellent à mobiliser des techniques qui consistent à déterminer l’ensemble de définition de l’une des fonctions du programme, déterminer le sens de variation de l’une des fonctions du programme et traiter des problèmes d’optimisation. Ceci consiste à mobiliser à la fois les deux points de vue sémantique et syntaxique par le biais des interprétations et des opérations de transformations algébriques. D’autre part, les techniques mobilisant des procédures pour résoudre des problèmes dans des situations en rapport avec l’environnement font appel parfois au point de vue