Nous avons montré que dans l’Antiquité et jusqu’à la fin du premier millénaire que les résolutions des équations et des inéquations se font par des méthodes arithmétiques et / ou des méthodes géométriques. Ceci correspond à un point de vue sémantique, dans la mesure où on ne se détache pas de la signification et / ou de l’interprétation des grandeurs qu’on manipule dans un cadre purement géométrique.
On voit apparaître chez les mathématiciens arabes (Al-Khawarizmi, Al Kharaji, Ibn Al yassamin, Al Tusi,…), des algorithmes comme méthodes de résolution des équations de degré supérieur ou égal à deux exprimées par la rhétorique. Entre-autre, nous avons remarqué qu’il y avait deux courants l’un faisant recours explicitement à la géométrie euclidienne, et l’autre manifestant une certaine volonté à ce que la dépendance de la géométrie s’estompe. Ainsi, nous pouvons faire l’hypothèse que les mathématiciens Arabes ont exploité des techniques
purement syntaxiques du registre algébrique dans la résolution des problèmes. En outre, les techniques sémantiques de contrôle s’articulent entre le registre algébrique et le registre géométrique.
Il faudra cependant attendre le XVI ème siècle pour que le système d’écriture symbolique mathématique permette des avancées significatives dans ce domaine qui fut exploité par Descartes, Newton et Leibniz…, lesquels ont élargi ce système dans plusieurs directions parmi lesquelles la représentation des courbes par des équations, où les quantités à rechercher sont désignées par des lettres indiquant le statut de l’indéterminée. Cette possibilité de déterminer les équations des courbes et plus particulièrement les équations des lignes droites, le cercle, la parabole, l’ellipse et l’hyperbole qui est un travail très caractéristique de Descartes qui a montré que ses objets mathématiques représentent effectivement l’ensemble des solutions d’équations à deux inconnues particulières et très simples.
Ceci montre, nous semble-t-il, que la mise en relation des concepts d’équation et de fonction par le biais des relations fonctionnelles et par l’intermédiaire des courbes est en accord avec l’émergence dans l’histoire du concept de fonction, sous le point de vue algébrique qui est le nôtre.
Nous pensons ainsi, que ceci est en cohérence avec les analyses de Tarski relatives à la notion de relations univoques ou fonctions dans laquelle réside la notion de variables dépendantes et celle de variables indépendantes que nous avons rappelés dans le chapitre I et se traduit à travers la dualité entre l’équation de Descartes exprimée en aeq
( )
x,y =0 et celle de la notion de fonction introduite par Leibniz et Euler qui est symbolisée par y = f( )
x .Conclusion du chapitre
Dans le premier chapitre nous avons explicité les relations logiques entre équation et fonction à partir du cadre logique et en particulier l’aspect sémantique de la vérité introduite par Tarski qui propose un point de vue unificateur de nos objets d’étude et qui consiste à faire une relecture a posteriori de ces relations. En plus, l’étude historique que nous avons conduit dans ce chapitre nous a montré que la mise en relation des concepts d’équation et de fonction par le biais des relations fonctionnelles et par l’intermédiaire des courbes est en accord avec l’émergence dans l’histoire du concept de fonction, sous le point de vue algébrique qui est le nôtre. Ceci nous a permit de retrouver une dualité entre les équations de Descartes et celle de la notion de fonction introduite par Leibniz et Euler. Ceci montre clairement qu’il est possible de passer aux courbes algébriques par le biais des équations algébriques et pas uniquement des fonctions.
Chapitre IV
Etude des programmes et des manuels Tunisiens
Introduction
Les objets équation, inéquation et fonction occupent une place importante au niveau du savoir scientifique comme outil de modélisation. L’étude logique que nous avons réalisé au chapitre I montre la pertinence de l’apport de la logique pour leur étude, en particulier par la prise en compte du double aspect sémantique et syntaxique, qui nous a permis de donner des définitions non ambigües de ces objets au cœur de notre travail de thèse.
Cette étude logico-mathématique, réalisée au chapitre I, se situe au niveau du savoir savant c'est-à-dire les mathématiques au sens strict, en amont de la question de leur enseignement. Elle a mis en évidence l’importance de l’articulation sémantique / syntaxique dans la définition et la manipulation de ces objets.
Conformément au point de vue de Chevallard (1998 a)63, pour continuer cette étude didactique, il est nécessaire d’analyser ces objets de savoir du point de vue de l’enseignement, en particulier au niveau des programmes et des manuels scolaires qui prescrivent le savoir à enseigner.
La question fondamentale de notre travail est celle de la place du sémantique par rapport au syntaxique dans les traitements des problèmes liés à la manipulation des équations, inéquations et fonctions dans les programmes et les manuels du secondaire tunisien.
Pour pouvoir répondre à ces questions, nous nous plaçons dans le cadre de la transposition didactique (Chevallard, 1991, Arsac, 1992 & Arsac, 1994) des objets équations, inéquations et fonctions pour des fins de l’enseignement et à travers :
1. Une étude des programmes de mathématiques de la première année secondaire, deuxième année secondaire section sciences et technologie de l’informatique et troisième année secondaire section mathématiques64 de l’enseignement secondaire
63 « … parler valablement de didactique des mathématiques, par exemple, suppose que l’on parle de certains objets distinctifs-les mathématiques tout, d’abord, et ensuite solidairement, les élèves, les professeurs, les manuels, etc. » (Chevallard, 1998 a, p. 91).
tunisien.
2. Une analyse succincte des manuels scolaires de ces mêmes niveaux du secondaire tunisien.
Nous avons choisi ces trois niveaux de l’enseignement secondaire parce que ce sont les niveaux où les objets équations, inéquations et fonctions s’articulent et s’enseignent au secondaire tunisien.
Pour conduire cette analyse didactique, nous allons croiser deux approches. L’une de nature logique, s’appuyant sur une prise en compte du rôle essentiel de la dualité sémantique / syntaxe dans les résolutions des problèmes en rapport avec nos objets mathématiques, développée dans le chapitre I. L’autre de nature didactique, faisant référence aux praxéologies mathématiques développées par Chevallard (1992).
Ces analyses ont pour objectifs de questionner les deux hypothèses suivantes : 1
H La catégorisation sémantique / syntaxique n'est pas absorbée par la catégorisation en tâche, technique, technologie et théorie proposée par Chevallard, qui par ailleurs, dans ses travaux sur l'algèbre (Chevallard, 1984, 1989), se place explicitement dans la dualité sémantique / syntaxique qu’il interprète comme l’incontournable dialectique qui existe entre l’arithmétique et le calcul algébrique.
2
H Les types de tâches recommandées par les programmes et les manuels du secondaire tunisien favorisent peu l’articulation syntaxique / sémantique dans les résolutions des problèmes liés à la manipulation des objets, équations, inéquations et fonctions.