I. Analyse a priori du questionnaire
I. 3. Choix des exercices
Dans ce paragraphe nous nous proposons d’expliciter et de justifier les choix que nous avons faits pour construire les exercices que nous avons proposés aux élèves. En annexe, nous proposons une correction, à l’attention du lecteur, de ce questionnaire. Enfin, nous décrivons le type de réponses et / ou de procédures de résolution a priori relatives aux questions
71 Cependant, cet objet vivait avant dans le manuel de la deuxième année secondaire section : Technologie de l’informatique qui a été mit en application durant les deux années scolaires 2004 / 2005 et 2005 / 2006. Ce manuel ne fait plus partie des manuels de l’enseignement secondaire depuis l’année scolaire 2006 / 2007.
proposées dans le questionnaire.
Le premier exercice standard manipule des écritures fonctionnelles et équationnelles où l’élève est soumis à des déséquilibres au niveau de ses connaissances à cause des changements de cadres et de registres, des changements de points de vue, des mises en relation.
Nous avons également construit des exercices contenant des équations et des inéquations à deux variables réelles, dont la plupart sont reconnues par les programmes et les manuels comme les équations de droites, cercles, etc. En revanche, nous avons introduit des énoncés qui incitent les élèves à faire certains changements dans les mises en fonctionnement des connaissances, certaines adaptations dans les théorèmes, propriétés, certaines articulations entre les connaissances, etc.
Dans ces exercices, nous supposons que ces connaissances peuvent être reconnues par les élèves puisqu’elles sont des extensions des notions déjà étudiées.
« On fait jouer l’hypothèse, constructiviste et interactionniste, que les élèves
donneront du sens à la notion car ils sont en partie acteurs de la construction de leurs connaissances… » (Robert, p. 171).
De plus, il s’agit de problèmes que les élèves ont pu rencontrer à de nombreuses reprises dans l’année, sous différentes facettes, ce qui en fait a priori des terrains d’investigation familiers.
Indiquons enfin que les exercices proposés favorisent le recours à des aspects sémantiques qui peuvent faciliter les tâches des élèves. Nous faisons l’hypothèse que ceci peut nous aider à repérer dans quelle mesure l’aspect sémantique est mobilisé par les élèves et à voir l’effet éventuel du contrat didactique sur les procédures de résolutions des élèves.
Dans ce qui suit, nous allons présenter les exercices proposés en indiquant les grandes lignes de nos choix didactiques et méthodologiques.
I.3. 1. Exercice 1
Le travail demandé au niveau de l’exercice N°1 consiste à résoudre dans IR l’équation : f
( ) ( )
x =g x où f( )
x =x2 −2 et g( )
x =3x+2 puis de déduire les solutions de l’équation : f( ) ( )
x = g x .Nous avons choisi de faire une entrée par des écritures fonctionnelles, pour amener les élèves à croiser les fonctions avec les équations dans leurs procédures de résolution. Ceci fait l’objet de la première question dans laquelle les élèves sont appelés à articuler différents
registres de représentations sémiotiques pour résoudre graphiquement et par le calcul l’équation : f
( ) ( )
x =g x .C’est en effet le passage des fonctions aux équations qui leur permettra de faire une résolution algébrique et le passage des fonctions à leurs représentations qui permet la résolution graphique.
Nous avons introduit une nouvelle tâche, dans le milieu matériel des élèves, pour répondre à la question qui consiste à résoudre par deux méthodes, l’une par le calcul et l’autre par le graphique, l’équation : f
( ) ( )
x = g x , afin de voir s’ils vont continuer à faire des résolutions algébriques ou bien s’ils vont exploiter cette nouvelle tâche et feront appel au registre graphique pour entamer la résolution. Cet exercice est une activité très particulière permettant diverses réorganisations dans laquelle les élèves ont une variété des réinvestissements proposés. En effet, cet exercice peut provoquer des activités dedécloisonnement (Robert, 1998) mettant en jeu plusieurs cadres ou registres pour une même
notion ou plusieurs. Ceci nous permettra d’anticiper sur le niveau de mise en fonctionnement des connaissances nécessaires dans les résolutions attendues par les élèves. Les différents types de réponses attendues peuvent nous aider à mettre à l’épreuve nos hypothèses de travail. Dans les trois autres exercices, nous avons introduit différents types d’énoncés contenant des équations et des inéquations à deux variables, des fonctions à deux variables, en vue de mesurer à quel point l’outil sémantique est employé dans les résolutions.
I.3. 2. Exercice 2
L’exercice N°2 :
« Représenter graphiquement l’ensemble des solutions du système suivant :
( )
≥ − − < − + − 0 2 2 0 1 3 y x y x S »un énoncé est dit non standard, s’il dépasse a priori largement les connaissances des élèves.
Nous avons choisi de poser cet exercice pour voir si les élèves vont faire des changements de stratégies en tous genres et s’ils vont mettre en relation leurs acquis sur les fonctions affines et les notions d’équations cartésiennes de droites afin de pouvoir travailler sur des écritures abordables, puisqu’ils sont supposés atteindre un niveau technique leur permettant de résoudre les systèmes d’équations du premier degré à deux inconnues réelles.
phénomènes liés au contrat et au milieu didactique. De plus nous faisons l’hypothèse que nous pourrons mesurer à quel point l’élève peut se permettre de faire une rupture du contrat didactique et dans quelles mesures il peut exploiter le milieu dans une situation didactique et s’efforcer à faire des changements dans la mise en fonctionnement de ses connaissances et certaines adaptations à faire des articulations des connaissances dans une situation de résolution.
I.3. 3. Exercice 3
« 1) Soit
ζ
={
M( )
x,y ;x2 +4x+y2 −6y+9=0}
et ∆={
M( )
x,y ;4x+3y+9=0}
a) Déterminer la nature des ensemblesζ et ∆. b) Résoudre dans IR le système 2
( )
= + + = + − + + 0 9 3 4 0 9 6 4 2 2 y x y y x x S .
2) Déterminer le nombre des solutions du système
( )
= = + − + + m y y y x x S 4 6 9 0 2 2 ; où IR m∈ . »
présente un énoncé standard même si nous avons introduit des questions qui semblent, à première vue, non abordables par les élèves, puisqu’en effet, nous avons présenté des écritures ensemblistes, des systèmes d’équations et des systèmes d’équations paramétrées que les élèves ne sont pas habitués à rencontrer.
Nous souhaitons observer si les élèves sont capables de réussir à organiser des passages entre un cadre bien connu et un cadre moins bien maitrisé car ceci nous semble fondamental dans les stratégies adoptées pour l’activité mathématique.
Nous avons proposé une première question qui consiste à déterminer la nature de deux ensembles, qui sont un cercle et une droite, caractérisés par une écriture ensembliste que les élèves ne sont pas habitués à rencontrer. En effet, dans les manuels scolaires les droites et les cercles sont introduits par leurs équations cartésiennes ou par une caractérisation littérale dans laquelle on décrit une droite ou un cercle comme étant un ensemble de points de coordonnées
( )
x,y vérifiant une équation à deux variables bien déterminée. En revanche, nous pensons que cette écriture ne perturbera pas les élèves, puisqu’ils sont supposés capables de surmonter des difficultés de traduction entre différentes écritures qui sont généralement peu présents dans les manuels, malgré leur pertinence pour la compréhension des notions.relatives à la question 1.b que nous pouvons classer en tant que question provoquant des
activités de décloisonnement au sens de (Robert , 1998) qui consistent à mettre en jeu
plusieurs manières pour utiliser un outil de résolution d’un système d’équation que les élèves ne sont pas habitués à résoudre, puisqu’il contient une équation du second degré à deux variables réelles, dont une autre est bien connue puisqu’elle présente une équation du premier degré à deux inconnues réelles.
Mais là encore, il s’agit d’une organisation, que nous avons proposée, pour mettre les élèves dans des situations de résolution afin de repérer ce qu’ils vont mettre en œuvre comme outil pour répondre à la question.
Concernant la deuxième question de l’exercice N°3 qui consiste à résoudre un système d’équations dont l’une est paramétrée mais abordable, l’objectif de ce questionnaire ne consistant pas à mesurer les capacités des élèves à surmonter certaines difficultés dans des résolutions d’équations paramétrées complexes.
Cependant, la résolution de ce système d’équations exige une organisation des connaissances où l’élève est appelé à changer de point de vue ou de registre
Nous voulons voir jusqu’à quel point degré, le point de vue variable72 est présent chez les apprenants.
I.3 .4. Exercice 4
Pour terminer le questionnaire, nous avons proposé un exercice (Exercice N°4) qui consiste à articuler les fonctions et les équations ou inéquations à deux variables. Le but de cet exercice est de déterminer l’ensemble des solutions d’une inéquation à deux variables réelles.
Cet exercice a été proposé aux deux catégories des groupes d’élèves de deux façons différentes.
En outre, nous pensons que le groupe d’élèves de deuxième et de troisième année secondaire auraient des difficultés pour résoudre directement l’inéquation :
(
y−x)(
y−x2+3x)
>0. En effet, ce type de problèmes exige un niveau des connaissances disponibles, c'est-à-dire de pouvoir résoudre ce qui est proposé sans indications ; nous pensons qu’il est peu probable que ces élèves arrivent à résoudre cette inéquation. Par conséquent, nous avons introduit des questions supplémentaires pour faciliter cette résolution.Par contre nous estimons que les élèves des classes préparatoires sont arrivés à un stade où ils disposent des repères et des acquis qui leurs permettront de résoudre directement
72 La capacité d’interprété dans un domaine d’un point de vue logique et dans un registre d’un point de vue didactique.
l’inéquation :
(
y−x)(
y−x2 +3x)
>0.Ceci nous a conduit à proposer cet exercice sous deux formes différentes.
La première forme est adressée au groupe d’élèves du secondaire comme suit : Soient f et g les fonctions définies sur IR par : f
( )
x = x etg( )
x =x2−3x.Soient Γfet Γg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonormé
direct → → j i O ,, .
1) Représenter Γf et Γgdans le repère → → j i O ,, .
2) Déterminer le signe de h
( ) (
x,y = y−x)(
y−x2 +3x)
dans chacun des cas suivants : a)( ) ( )
x,y = 2,1 donc h ,( )
x y ………. b)( ) ( )
x,y = 1,3 donc h ,( )
x y ………. c)( ) ( )
x,y = 5,4 donc h ,( )
x y ………. d)( ) (
x,y = −2,−1)
donc h ,( )
x y ……….... e)( ) (
x,y = −1,−2)
donc h ,( )
x y ……… f)( ) ( )
x,y = 6,7 donc h ,( )
x y ………. 3) Placer, dans → → j iO ,, , les pointsA,B,C,D,Eet F de coordonnées respectives :
( )
2,1 ,( )
1,3 ,( )
5,4 ,(
−2,−1)
,(
−1,−2)
et( )
6,7 .4) Déterminer, par le calcul ou graphiquement, l’ensemble des solutions de l’inéquation :
(
y−x)(
y−x2+3x)
>0.La deuxième forme est adressée au groupe d’élèves des classes préparatoires de la manière suivante :
1) ReprésenterΓf et Γgdans le repère → → j i O ,, .
2) Déterminer, par le calcul ou graphiquement, l’ensemble des solutions de l’inéquation