b L’´ etat multi-skyrmions

L’´etat multi-skyrmions ferromagn´etique

C

e probl`eme est trait´e, comme l’ont fait Belavin et Polyakov [Belavin1975], en utilisant la th´eorie de l’homotopie qui d´etermine la dimensionnalit´e des d´efauts permis dans le syst`eme (de type point ou ligne par exemple). L’ap-plication de cette th´eorie montre que dans les mat´eriaux magn´etiques seuls les d´efauts de type point sont permis.

L’´energie de l’aimantation suivant la direction n(r) s’exprime dans ce cas sous la forme H = ¹ 2 Z d²r ^X i=x,y ∂in(r)∂in(r) (III.35) Etant donn´e que la direction de l’aimantation symbolis´ee par le vecteur n peut ´evoluer dans une sph`ere tridimensionnelle, il est possible de simplifier le probl`eme en utilisant le vecteur bidimensionnel w

w = w₁+ iw₂ = ^{nx+ iny}

1 − n_z ^(III.36) obtenu par la projection sph`ere-plan (Fig. III.12).

Fig. III.12 – Repr´esentation de la projection sph`ere-plan Ainsi, l’expression de l’´energie d’interaction se simplifie

H = Z d2r ¹ (1 + ww)² £ ∂w∂w + ∂w∂w^¤

La th´eorie homotopique d´efinie ´egalement que ces d´efauts ont une charge quantifi´ee qui correspond au nombre de fois o`u la sph`ere S est couverte durant le processus i.e le degr´e de recouvrement telle que

q = ¹ 8π Z d2r (1 + ww)² £ ∂w∂w − ∂w∂w^¤

Cette expression est facile `a prouver lorsque les composantes sont exprim´ees en coordonn´ees sph´eriques. En effet, dans ce cas, q = 1

4π

R

sin θ(x)dθ(x)dφ. L’´etat de plus basse ´energie correspond alors `a la charge quantifi´ee des d´efauts avec

H = 4πq

Cette ´egalit´e m`ene aux conditions de Cauchy-Riemann

∂_x(w₁) = ∂_y(w₂) , ∂_x(w₂) = −∂_y(w₁) (III.37) et aux solutions exactes du skyrmion de t’Hoff-Belavin-Polyakov

w = f (z) = f (x + iy)

Puisque la distribution de spin doit ˆetre une fonction continue des co-ordonn´ees, les seules singularit´es de la fonction f sont les pˆoles. Ainsi, les solutions du skyrmion sont

w = k Y j=1 z − a_j z − b_j ^(III.38)

o`u a_j et b_j caract´erisent la position. Donc, pour chaque skyrmion, il existe plusieurs configurations de mˆeme ´energie.

L’´etat multi-skyrmions ferro´electrique

O

n a consid´er´e dans le paragraphe pr´ec´edent les ferromagn´etiques mais on sait que l’´energie du champ d´emagn´etisant est n´eglig´ee dans ces syst`emes (section I. 2. e ).

L’´etat multi-skyrmions ferro´electrique est lui aussi caract´eris´e par la so-lution w(z), il est fortement d´eg´en´er´e car il d´epend de a_j et b_j.

La condition additionnelle pour les ferro´electriques est la divergence nulle de la polarisation. Elle s’´ecrit dans les variables de Belavin et Polyakov,

∂w + ∂w = 0 (III.39)

Le probl`eme est donc clairement pos´e. Il existe quelques pistes pour par-venir `a le r´esoudre. Si, parmi les solutions (III.38), il en existe au moins une de divergence nulle, l’´etat skyrmion va apparaˆıtre. Par exemple, on a montr´e que l’´etat mono-skyrmion existe dans les syst`emes cylindriques (Section III. 2 ). Dans les syst`emes de g´eom´etrie arbitraire, on peut supposer l’apparition d’un ´etat aux multiples skyrmions qui peut ´evoluer vers un ´etat mono-skyrmion (les skyrmions se condensent en un) ou vers un autre ´etat multi-skyrmions.

III. 4 Bilan et cons´equences exp´erimentales

E

st-il possible que les skyrmions chiraux soient observ´es dans les mat´eriaux ferro´electriques ?

Une premi`ere indication r´eside dans les simulations num´eriques de pre-mier principe [Naumov2004] qui montrent l’existence d’un ´etat aux multiples vorticit´es (Fig. III.13) dans les nanodisques de PZT.

La confirmation de l’existence de ces skyrmions ferro´electriques est ob-tenue par l’analyse de Dawber sur les exp´eriences de Shur concernant la nucl´eation des nanodomaines de Pb₅Ge₃O₁₁ [Dawber2006]. Ces auteurs ob-tiennent un nouveau processus de nucl´eation qui est un processus de skyrmion dˆu `a la variation de la force du champ local pr`es des parois de domaines mo-biles qui diff`ere du processus de nucl´eation usuel induit par les d´efauts fixes. Les simulations de l’´evolution de la texture de skyrmion chiral (Fig. III.9) sont en accord avec les r´esultats report´es par Gruverman [Gruverman2008] concernant la structure m´etastable en forme d’anneau (Fig. III.14) r´ecemment observ´ee exp´erimentalement dans un condensateur cylin-drique de PZT.

Fig. III.13 – Repr´esentation de l’´etat aux multiples vorticit´es obtenu par les simulations num´eriques de premier principe [Naumov2004]

Les principales caract´eristiques r´ev´el´ees par les mesures PFM sont la nucl´eation de l’´etat down `a diff´erents endroits, une rotation orthoradiale, une rotation radiale qui m`ene `a la structure de doughnut avec une r´egion centrale et p´eriph´erique qui ne commute pas.

Cependant, cette interpr´etation n’est pas d´efinitive car on ne visualise pas l’´evolution des composantes transverses, seule l’´evolution de la composante normale est accessible exp´erimentalement.

Le ferro´electrique PZT proche de la fronti`ere morphotropique de phase semble alors ˆetre un excellent candidat pour la formation du skyrmion chiral. On peut donc essayer de fabriquer un mat´eriau artificiel dans lesquels ces modes de Goldstone apparaissent.

Cette id´ee a ´et´e ´etudi´ee par Nakhmanson et Naumov [Nakhmanson2010]. Ils utilisent la th´eorie de la fonctionnelle de la densit´e sur un super´eseau de type Ruddlesden-Popper [Ruddlesden1957] de PbSr2Ti2O7 et d´emontrent que le relief ´energ´etique peut ˆetre rendu isotrope par l’application d’une contrainte ´epitaxiale.

Cela donne alors effectivement lieu `a des rotations de la polarisation dans le plan de type Goldstone [Ghita2006] avec un coˆut quasi-nul en ´energie le faisant se comporter de la mˆeme mani`ere qu’un mat´eriau comprenant une fronti`ere morphotropique de phase [Fu2000].

Fig. III.14 – Images PFM de la configuration (( doughnut )) : l’´evolution de la polarisation normale au plan P_z est repr´esent´ee `a diff´erentes ´etapes durant le m´ecanisme de renversement de la polarisation dans un condensateur cylindrique de diam`etre 1µm [Gruverman2008]

Num´eriquement, il serait int´eressant de rechercher si, parmi les solutions du skyrmion (III.38), il en existe au moins une dont la divergence de la polarisation est nulle.

L’apparition du skyrmion chiral (Fig. III.4) exhibe les propri´et´es ca-ract´eristiques des transitions de phase du premier ordre en champ : deux champs ´electriques critiques et la possibilit´e d’un comportement hyst´er´esis.

D’un point de vue exp´erimental, on peut s’attendre `a ce qu’il existe un champ coercitif dont la valeur sera comprise entre les deux champs critiques extrˆemes, au dessus duquel le skyrmion chiral apparaˆıtra.

Dans les condensateurs ferro´electriques cylindriques, cette valeur de champ (III.24) est inf´erieure de plusieurs ordres de grandeur au champ thermodynamique coercitif et est inversement proportionnelle au carr´e du rayon de l’´electrode. Ainsi, on peut s’attendre `a des applications int´eressantes comme les dispositifs de basse ´energie utilis´es pour le stockage des donn´ees non volatiles.

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