b Condition d’instabilit´ e (approche analy- analy-tique)analy-tique)

I

l est possible de r´esoudre l’´equation variationnelle (III.10) en la lin´earisant, la solution est alors identique `a la solution g´en´erale dans le cas d’une faible variation de θ_r0 qui se produit au voisinage du champ critique d’apparition du skyrmion chiral.

Dans ce cas, l’´equation lin´earis´ee de (III.10) s’´ecrit e r²∇²_erθer+ ³ (ee − eβ)er²− 1 ´ θer = 0 (III.12) Les solutions de l’´equation (III.12) sont une combinaison lin´eaire des so-lutions de Bessel de premier et second ordre J_±1et Y₁ [Abramowitz1972] sous la forme θ₍er, ee) =^XA_n(ee)J_±1( q e e − eβer) +^XB_n(ee)Y₁( q e e − eβer) (III.13) o`u les amplitudes A_n(ee) et B_n(ee) vont ˆetre d´etermin´ees par la suite.

Comme souvent en physique, les conditions limites ont un impact d´eterminant dans l’´evolution du syst`eme. Le principe sur lequel repose le mod`ele implique qu’il y ait une instabilit´e cr´e´ee dans le syst`eme, dˆue `a l’im-pact du champ ´electrique, `a partir de la situation initiale, l’´etat fondamental, dans laquelle l’´echantillon est polaris´e up soit P = (0, 0, P₀).

Ainsi, la premi`ere condition `a respecter pour traiter de la rotation de la polarisation et ´eviter la divergence de (III.4) impose qu’au centre du conden-sateur la polarisation reste fixe, ce qui s’´ecrit

θ_erc_r=0e = 0 (III.14) En appliquant cette premi`ere condition `a (III.13) , on obtient que Bn(ee) = 0 ;

cons´equence de la divergence de la fonction de Bessel Y1 en er = 0.

On va consid´erer trois situations concernant la condition limite sur le p´erim`etre de l’´electrode.

1. Condition limite fixe : L’environnement du condensateur est polaris´e up i.e. tel que P = P₀u_z ce qui contraint le condensateur aux bornes de l’´echantillon, et qui se traduit par la seconde condition

Dans ce cas, le profil de polarisation devient

θ_er(ee) =^XA_n(ee)J_±1(α_1ner) (III.16) o`u les α_1n sont les z´eros de J₁ (α₁₀ = 3.832).

2. Condition limite continue : L’environnement n’est plus polaris´e mais le champ E y est nul, la condition aux bornes est diff´erente, la polarisation n’est plus fix´ee. Il faut respecter la continuit´e de la fonc-tion θ_reet de sa pente ∂_erθ_er entre le condensateur et son environnement ce qui se traduit par

θ+cer=1 = θ−cer=1 (III.17)

∂_erθ₊c_er=1 = ∂_erθ₋c_r=1e (III.18) o`u θ<sub>−</sub> et θ<sub>+</sub> sont les solutions de (III.12) dans le condensateur et son environnement. La solution θ<sub>−</sub> reste de la forme de Bessel. Par contre, la solution θ<sub>+</sub> ne r´epond plus `a la mˆeme ´equation. En effet, l’´equation d’´evolution de la polarisation dans l’environnement o`u E = 0 est de la forme de Legendre er2∇2 e rθ₊ = θ₊. Finalement, θ₋(er, ee) = ^XA_n(ee)J_±1(α_0ner), (III.19) θ₊(er, ee) = P A_n(ee)J_±1(α_0n) e r

o`u les α_0n sont les z´eros de J₀ (α₀₀ = 2.405).

3. Condition limite libre : Les ´electrodes recouvrent totalement l’´echantillon, ce qui implique l’absence de l’environnement, les condi-tions limites libres sont d´eriv´ees du calcul variationnel c’est-`a-dire de la minimisation de la fonctionnelle (III.9) par rapport `a θ_er,

∂_erθc_er=1 = −^{sin 2θ}

2er ^{, ∂erθcer=1 = cste (III.20)}

Ces conditions m`enent ´egalement `a la forme de la solution (III.16),

Cette condition sur le p´erim`etre de l’´electrode d´efinit des valeurs critiques de champ ee_v telles que, en se limitant aux harmoniques de premier ordre,

e

e_v = α2

n+ eβ (III.22) dont la valeur renormalis´ee correspond `a un champ appliqu´e critique E_v tel que

Ev = ^4π

κ_k^{P0eev (III.23)} Tant que le champ appliqu´e est inf´erieur `a E<sub>v</sub>, la polarisation reste dans son ´etat initial up o`u θ_r0 = 0. Puis, lorsqu’il lui devient sup´erieur, la polarisation tourne dans le condensateur avec θ_r0 6= 0.

Plus les ´electrodes seront grandes, plus le champ critique E_v `a appliquer pour obtenir l’instabilit´e de vortex diminuera du fait de la d´ependance de cette valeur critique de champ avec le rayon. On observe que l’impact de l’anisotropie repr´esent´ee par le facteur β augmente lorsque le rayon augmente. En comparant les valeurs redimensionn´ees des deux champs E_v et E_c, on

obtient E_v E_c ⁼ 3 2 |t|^(α 2 n µ ξ₂ R ¶₂ + |β| P2 0) (III.24) L’instabilit´e engendr´ee par l’´etat de vortex dans l’´evolution de la polarisa-tion se produit en g´en´eral `a plus faible champ (Fig. III.3) que le champ ther-modynamique coercitif pour lequel la commutation conventionnelle d´ecrite par (III.7) apparaˆıt.

Ce m´ecanisme de rotation de la polarisation permet de lever le paradoxe de Landauer [Landauer1957]. En effet, un domaine ne peut pas se cr´eer et ´evoluer de fa¸con continue vers l’´etat down du fait de la cr´eation de charges sur la paroi. La transition est donc discontinue ce qui g´en`ere une barri`ere de potentiel `a surmonter, si haute que l’´etat ne devrait pas se cr´eer pour les valeurs de champ coercitif exp´erimentalement relev´ees. Ce paradoxe disparaˆıt en consid´erant la rotation continue de la polarisation.

Fig. III.3 – Evolution de la polarisation p(E) en fonction du champ externe appliqu´e

Concentrons nous d´esormais sur le cas de l’environnement polaris´e up i.e condition limite fixe et poursuivons l’analyse d´etaill´ee du m´ecanisme de rotation continue.

Par la suite, afin de simplifier les ´equations, l’anisotropie pr´esente dans le syst`eme va ˆetre n´eglig´ee face aux autres interactions du syst`eme i.e. β = 0 ce qui peut ˆetre le cas pr`es du point morphotropique des oxydes de type perovskite [Iwata2001].

On cherche `a obtenir l’amplitude A(ee) de cette solution afin d’´evaluer

la d´ependance en champ du m´ecanisme. Pour cela, on substitue le profil non normalis´e de θer (III.16) dans la fonctionnelle (III.4) jusqu’`a l’ordre 6 pr`es de eev par rapport `a θ ins´er´ee dans la fonctionnelle eΦ(P, E) (I.6) par la proc´edure d´ecrite au Chapitre I , ce qui permet d’´ecrire l’´energie sous sa

forme renormalis´ee, ∆ eF = 2πh Z ₁ 0 µ e e_v− ee 2 ^θ 2 e r+ ( ^ee 4!⁻ 1 6er2)θ4 e r + ( ¹ 45er2 − ^ee 6!^)θ 6 e r ¶ e rder (III.25) avec ∆ eF = P02 0 R_h 0 R_2π 0 R₁ 0(eΦ(P0, ee) − eΦ(P0 0, ee))erderdφdz. F (P0

0, ee) = πhee correspond `a l’´energie du syst`eme uniform´ement

pola-ris´e up et augmente lorsque le champ ´electrique appliqu´e augmente ce qui d´emontre le fait que la configuration o`u la polarisation est antiparall`ele au champ devient de plus en plus instable quand ee augmente.

Apr`es int´egration, (III.25) se traduit par

∆ eF = 2πh^¡a₁( ee_v− ee)A2− (a₂ − a₃ee)A4+ (a₄− a₅ee)A6¢

(III.26) avec a1 = Z 1 2^J 2 ±1(^peever)erder ≈ 4.06 × 10⁻², a2 = Z 1 6er^J 4 ±1(^peever)der ≈ 1.61 × 10⁻², a₃ = Z 1 4!^J 4 ±1(^pee_ver)erder ≈ 8.51 × 10−4, a₄ = Z 1 45er^J 6 ±1(^pee_vr)dee r ≈ 5.86 × 10−4, a₅ = Z 1 6!^J 6 ±1(^pee_ver)erder ≈ 7.97 × 10−6.

La forme math´ematique de (III.26) est identique `a celle utilis´ee dans la th´eorie de Landau pour d´ecrire les transitions de phase de premier ordre (Sec-tion I. 3. c ) puisque le coefficient d’ordre 4 est n´egatif. Dans le cas pr´esent, le champ ´electrique joue le mˆeme rˆole pour la transition de l’´etat homog`ene `a l’´etat vortex que la temp´erature vis-`a-vis des transitions de phase de premier ordre de l’´etat para´electrique `a l’´etat ferro´electrique o`u ee_v correspondrait `a la temp´erature de Curie T_c.

On cherche maintenant les ´etats m´etastables qui correspondent `a un mi-nimum de ∆ eF (III.26),

4πh^¡a₁( ee_v− ee)A − 2(a₂− a₃ee)A3+ 3(a₄− a₅ee)A5¢ = 0

Fig. III.4 – Evolution de l’amplitude A en fonction de ˜e/˜e_v. (b) correspond `a la zone encadr´ee en pointill´es de (a). Amax(ligne en pointill´es), Amin(ligne continue). a) ee_min = 0.982ee_v, b) ee_v.

Les solutions m´etastables (Fig. III.4) sont

Amin / max(ee) =

s

a₂− a₃ee ±^√Dext

3(a4− a5ee)

avec Dext= 4(a₂− a₃ee)2− 12a₁(a₄− a₅ee)( ee_v − ee).

Au dessus de ee_min = 0.982ee_v, l’´etat homog`ene est instable et la solution la plus stable sera celle qui poss`ede la plus grande amplitude car cela repr´esente l’angle le plus faible entre la polarisation et le champ appliqu´e.

Les champs ee_min et ee_v correspondent aux temp´eratures de surfusion (“su-percooling”) et de surchauffe (“superheating”) pr´esentes dans la th´eorie clas-sique de description des transitions de phase de premi`ere ordre. Dans ces conditions, on peut s’attendre `a l’existence d’un ph´enom`ene d’hyst´er´esis ´electrique dans l’intervalle maximal de champ ee_min − ee_v qui sera l’analogue de l’hyst´er´esis thermique observ´e dans les ferro´electriques de premier ordre.

Les profils lin´eaires θ(er, ee) (III.16) sont repr´esent´es en Fig. III.5.

Fig. III.5 – Profils lin´eaires θ(er) pour diff´erentes valeurs de champ ˜e. De bas

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