Comme nous l’´evoquions en section 4.3.3, le minimum de l’´energie de contrainte de forme d´ecrite de fa¸con g´en´erale en ´equation (5.1) peut ne pas avoir de solution analytique des param`etres ξi∈(1,...,N ) de la transformation globale T :
Jshape(φ, ψ) =
Z
Ω
D (φ (x) , ψ0(T x)) dx (5.1)
o`u D repr´esente une distance mesurant la similarit´e entre la forme du contour actif φ et la forme de r´ef´erence ψ0. C’est le cas de l’´energie formul´ee en ´equation (4.54) o`u D (φ (x) , ψ0(T x)) =
(H (φ (x)) − H (ψ0(T x)))2 et T = Tsim (N = 4). A d´efaut d’avoir une expression formelle des
param`etres qui aurait rendu l’approche intrins`eque, il est alors n´ecessaire de les estimer par opti- misation num´erique au cours du processus d’´evolution du contour actif. Dans [21,23,105,24], les auteurs proposent de calculer num´eriquement les param`etres d’une similitude plane directe mini- misant l’´energie de l’´equation (4.54) par descente de gradient. On a alors quatre ´equations relatives `
a
chacun des param`etres de Tsim, `a savoir l’´echelle s, la rotation θ et la translation µ : sn+1= sn+ ∆tsF φ, ψ0, sn, θn, µnx, µny θn+1= θn+ ∆tθG φ, ψ0, sn, θn, µnx, µny µn+1x = µnx+ ∆tµxM φ, ψ0, s n, θn, µn x, µny µn+1y = µny + ∆tµyN φ, ψ0, s n, θn, µn x, µny (5.2)
o`u n est le rang de l’it´eration, φ et ψ0sont les ensembles de niveaux repr´esentant respectivement le
contour actif et la forme a priori. ∆ts, ∆tθ, ∆tµx et ∆tµy sont les pas temporels associ´es `a chacune
des descentes de gradient estimant les param`etres de Tsim. Le d´etail des expressions des fonctions
F , G, M et N est disponible dans [21].
L’estimation des param`etres grˆace aux quatre descentes du syst`eme (5.2) peut se r´ev´eler extrˆemement p´erilleuse. Le point d´elicat est le r´eglage des pas temporels des quatre descentes relatives `a chacun des param`etres. Alors que chaque descente estime un param`etre avec un sens g´eom´etrique diff´erent (translation, rotation, ´echelle), il est fort probable que la vitesse de chaque descente ne soit pas la mˆeme. A titre d’exemple, la descente estimant la rotation devrait ˆetre bien moins rapide que celles de la translation. Cependant, il n’existe aucun cadre th´eorique permet- tant de clarifier cette question ce qui donne lieu `a des r´eglages empiriques difficiles, instables et influen¸cant l’estimation des param`etres. Enfin, l’inter-d´ependance des quatre descentes de gradient fait qu’une mauvaise estimation d’un param`etre dans une descente va biaiser les autres au point de faire diverger rapidement l’optimisation. Daniel Cremers mentionne le probl`eme du r´eglage des descentes de gradients dans [30].
Une alternative plus heureuse que nous avons choisie est l’utilisation de l’algorithme du simplex (le d´etail de cet algorithme est rappel´e et illustr´e en annexe B). On minimise alors l’´energie de contrainte de forme expos´ee en ´equation (5.1) en trouvant un jeu de N param`etres optimaux esti- m´es simultan´ement. L’optimisation se fait par r´eflexion, expansion et contraction d’un poly`edre de N + 1 sommets dans l’espace des param`etres. L’avantage du simplex est l’absence de param`etres de r´eglage influen¸cant fortement le r´esultat d’optimisation. Cette approche, moins sensible aux mi- nima locaux de l’´energie, est plus robuste que la descente de gradient. C’est une m´ethode d’ordre z´ero (ne n´ecessitant pas le calcul du gradient de la fonction de coˆut) plus `a mˆeme de trouver un minimum d’une fonctionnelle non strictement convexe. Enfin, le simplex est capable de minimiser des formes plus complexes d’´energie de contrainte de forme, avec plus de param`etres `a estimer, sans n´ecessiter le calcul th´eorique des d´eriv´ees partielles ∂Jshape
∂ξi inh´erent aux descentes de gradient.
Cependant, le simplex a une complexit´e calculatoire accrue par rapport `a la descente de gra- dient. En effet, la construction it´erative des sommets du simplex demande l’´evaluation de la fonction de coˆut Jshape qui est ainsi effectu´ee de nombreuses fois durant le processus de convergence. Jshape
est une int´egrale sur tout le domaine de l’image et implique une complexit´e calculatoire ´elev´ee, ce qui augmentera significativement les temps de calcul par rapport `a la descente de gradient. On peut n´eanmoins limiter le calcul int´egral de Jshape au sein d’une bande ´etroite pour diminuer la
charge calculatoire. L’expression de l’´energie de l’´equation (4.54) devient alors : Jshape(φ, ψ) =
Z
Ω
N (φ (x) , εb) (H (φ (x)) − H (ψ (x)))2dx (5.3)
o`u la fonction N (φ (x) , εb) est ´egale `a 1 si |φ (x)| ≤ εb, sinon elle est ´egale `a 0. La valeur de εbqui est
choisie arbitrairement est un compromis entre la complexit´e calculatoire et la pr´ecision souhait´ee de l’estimation des param`etres. En effet, une bande large permettra une bonne diff´erenciation
des formes φ et ψ, ce qui garantira une ´evaluation pr´ecise et robuste des param`etres, au prix d’un coˆut calculatoire ´elev´e. A contrario, une bande trop ´etroite induira une convergence rapide vers une estimation impr´ecise, voire mˆeme un minimum local de la fonctionnelle d’´energie. Une demi-bande de trois pixels εb= 3 s’est r´ev´el´ee un compromis satisfaisant. Le seul param´etrage de l’algorithme
du simplex est relatif `a la construction du simplex initial. Le premier sommet du simplex est calcul´e `
a partir du jeu des param`etres initiaux ξini, le reste des sommets est construit en ajoutant une
variation individuelle δξ(i) `a chacun des param`etres de ξini. Dans le cas de Tsim, quatre param`etres
sont `a estimer. Le simplex aura ainsi cinq sommets et son ´etat initial sera : – Sommet initial 1 : calcul´e `a partir de (sini, θini, µx,ini, µy,ini)
– Sommet initial 2 : calcul´e `a partir de (sini+ δs, θini, µx,ini, µy,ini)
– Sommet initial 3 : calcul´e `a partir de (sini, θini+ δθ, µx,ini, µy,ini)
– Sommet initial 4 : calcul´e `a partir de (sini, θini, µx,ini+ δµx, µy,ini)
– Sommet initial 5 : calcul´e `a partir de sini, θini, µx,ini, µy,ini+ δµy
Le choix des valeurs de δξ(i) conditionne la taille du simplex initial et ainsi son aptitude `a estimer
des param`etres ´eloign´es de ξini. Le choix le plus sˆur est un simplex initial relativement grand, ce
qui garantira une meilleure robustesse de l’optimisation au prix d’un coˆut calculatoire plus ´elev´e. La comparaison des deux algorithmes `a partir de r´esultats exp´erimentaux est expos´ee en section
5.5.2.