Choix du terme d’attache aux donn´ ees

Dans cette ´etude, nous nous servirons de deux mod`eles d’attache aux donn´ees bas´es sur l’in- formation de r´egion : celui de Chan et Vese [19] et le mod`ele Bay´esien [91]. Le mod`ele de Chan et

Vese est d’autant plus efficace que l’image `a analyser est constante par morceaux. Ceci restreint le champ d’application de notre m´ethode aux bˆatiments dont la radiom´etrie du toit est uniforme. Nous verrons comment le mod`ele Bay´esien permet de s’affranchir de cette hypoth`ese avec la possibilit´e de traiter les bˆatiments homog`enes. Notre motivation `a choisir des contours actifs bas´es r´egion repose sur leur moindre sensibilit´e `a l’initialisation et au bruit compar´es `a ceux bas´es sur les fronti`eres. N´eanmoins, nous explorerons ´egalement le potentiel des contours actifs bas´es sur l’information de fronti`ere pour leur capacit´e `a segmenter des bˆatiments non homog`enes. Afin de rendre le contour moins sensible `a l’initialisation, nous utiliserons la technique de Gradient Vector Flow (GVF) qui permet de diffuser l’information tr`es locale des gradients de l’image. Les ´equations d’´evolution des ensembles de niveaux relatives aux mod`eles de contours actifs que nous utiliserons sont :

4.3.2.1 Mod`eles bas´es sur l’information de r´egion – Mod`ele de Chan et Vese

φt(x, t) = −δa(φ (x, t))



− [I (x) − c_out(φ (x, t))]2+ [I (x) − cin(φ (x, t))]2



(4.61) avec φ l’ensemble de niveaux repr´esentant le contour actif, δa est une approximation r´egu-

laris´ee de la distribution de Dirac, cin et cout sont les moyennes de l’image I `a l’int´erieur et

l’ext´erieur du contour respectivement. – Mod`ele Bay´esien

φt(x, t) = ( −(I (x) − cin(φ (x, t))) 2 σ2 in(t) +(I (x) − cout(φ (x, t))) 2 σ2 out(t) + ln σ 2 out(t) σ2 in(t) ) δa(φ (x, t)) (4.62) o`u σ<sub>in</sub>2 et σ<sub>out</sub>2 sont les variances de l’image I `a l’int´erieur et l’ext´erieur du contour respecti- vement. Dans les ´equations (4.61-4.62), le terme de r´egularisation a ´et´e ignor´e pour deux rai- sons : il a tendance `a arrondir les coins que pourrait pr´esenter le contour actif, nous cherchons `

a ´eviter cet effet puisque nous voulons segmenter des bˆatiments dont les contours pr´esentent souvent ces singularit´es. De plus, le terme de contrainte de forme aura un effet r´egularisateur. – Domaine d’application

– Bˆatiment peu ´elev´e (distorsion due `a la perspective n´egligeable). Cette contrainte provient de l’incompatibilit´e des g´eom´etries dans lesquelles les donn´ees cartographiques et de t´el´e- d´etection sont projet´ees. Alors que la carte est orthoscopique, l’image satellitaire n’est pas rectifi´ee. Dans le cas des bˆatiments tr`es ´elev´es, l’initialisation du contour actif provenant de la carte se situera au niveau de l’empreinte au sol dans l’image. Le contour actif sera ainsi ´eloign´e du toit `a segmenter, et rendra le r´esultat du recalage fin non robuste puisque les contours actifs sont sensibles `a l’initialisation.

– Bˆatiment sans effet de g´en´eralisation dans la carte, avec un toit de forme quelconque. La g´en´eralisation cartographique consistant `a regrouper plusieurs bˆatiments dans un unique polygone rendra la radiom´etrie de l’objet h´et´erog`ene, ce qui est incompatible avec les mod`eles bas´es r´egion propos´es.

– La repr´esentation cartographique du bˆatiment n’est pas entach´ee d’erreur. Nous discute- rons `a la fin du chapitre suivant de la pr´esence d’erreurs dans la carte qui illustrera les limites du mod`ele propos´e avec contrainte de forme (cf. section 5.6).

4.3.2.2 Mod`ele bas´e sur l’information de fronti`ere – Mod`ele g´eod´esique avec Gradient Vector Flow

Nous adaptons le mod`ele expos´e en ´equation (4.28) issu de [92] de la fa¸con suivante :

φ (x, t)_t= − h(u, v), ∇φ (x, t)i (4.63) o`u (u, v) est le champ de vecteurs GVF r´esultant de la diffusion de l’information de gradient de l’image. Par rapport `a l’´equation (4.28), le terme de r´egularisation a ´et´e omis ainsi que le terme de pond´eration inversement proportionnel au module du gradient de l’image. Nous justifions la premi`ere omission par l’insertion ult´erieure d’une contrainte de forme qui aura un effet de r´egulari- sation. La seconde est justifi´ee par le fait que le champ (u, v) est nul sur les lieux de haut gradient ce qui est redondant avec la fonction g(|∇I|) de l’´equation (4.28).

Enfin, la derni`ere adaptation au mod`ele que nous apportons est l’information de gradient qui sera diffus´ee pour le calcul du champ (u, v). Nous diffuserons des primitives segments extraites `

a partir des lieux de gradient ´elev´e de l’image. Ces primitives ne sont pas seulement issues d’une d´etection de contours, mais d’un chaˆınage subs´equent qui permet de trouver les segments de l’image. Les primitives segments sont d’un plus haut niveau et sont plus `a mˆeme de caract´eriser un bˆatiment dont l’empreinte au sol et le toit sont le plus souvent compos´es de bords rectilignes. Le calcul des segments op`ere ainsi tel un filtrage des gradients de l’image, ´evitant la prise en compte d’objets p´eriph´eriques tels les arbres ou le mobilier urbain qui ne r´epondent pas au crit`ere de rectilignit´e. La figure4.3 illustre l’extraction de ces primitives.

(a) Primitives segments extraites par chainage des points de gradient ´elev´e (rouge)

(b) Vecteur de gradient des segments diffus´e par la m´ethode de ”Gradient Vector Flow”

Fig. 4.3 – Exemple d’extraction de segments (a) et du gradient vector flow associ´e (b). – Domaine d’application

– Bˆatiment peu ´elev´e.

– Bˆatiment avec ou sans effet de g´en´eralisation dans la carte, avec un toit de forme quel- conque.

L’h´et´erog´en´eit´e des bˆatiments regroup´es en un seul objet peut ˆetre g´er´ee par le mod`ele bas´e uniquement sur les gradients de l’image.

– La repr´esentation cartographique du bˆatiment n’est pas entach´ee d’erreur.