Contours actifs bas´ es sur l’information de fronti` ere

Un contour actif bas´e sur l’information de fronti`ere tient uniquement compte de l’information pr´esente dans un voisinage de C (t). Ainsi, seule l’information pr´esente au niveau des bords de l’objet `a segmenter sera utilis´ee. Pour formuler une fonctionnelle, il convient premi`erement de choisir un descripteur de fronti`ere que l’on appellera kb(x). Un tel descripteur peut ˆetre la carte

du module du gradient de l’image, ou le champ de vecteurs de gradient en chaque pixel de l’image I. Le crit`ere construit `a partir du descripteur est alors l’int´egrale le long du contour C (t) :

Jb(C (t)) =

Z

C(t)

kb(x) da (x) (4.17)

o`u da (x) est un ´el´ement d’aire. Nous choisissons de pr´esenter deux types de contours actifs bas´es fronti`ere : les snakes et les contours g´eod´esiques.

- Les snakes

Dans [58], Kass, Witkin et Terzopoulos en 1987 repr´esentent le contour actif de fa¸con explicite en formulant la fonctionnelle comme la somme de trois termes bas´es fronti`ere :

Jb(C (p, t)) = α Z b a     ∂C (p, t) ∂p     2 dp + β Z b a     ∂2C (p, t) ∂p2     2 dp − γ Z b a |∇I (C (p, t))|2dp (4.18) avec {α, β, γ} ∈ R+. Les deux premiers termes sont des crit`eres intrins`eques, cas particulier de l’op´erateur de Tikhonov d´evelopp´e `a l’ordre deux et avec des poids wk constants :

Jb,T ikhonov(C (p, t)) = n X k=0 Z C(t) wk(p)     ∂kC (p, t) ∂pk     2

Le premier crit`ere intrins`eque est assimilable `a une contrainte ´elastique sur les n œuds de discr´etisation de C (p, t), entraˆınant les n œuds voisins `a se rapprocher. Le second crit`ere intrins`eque est une contrainte de rigidit´e sur le contour actif, r´egulant sa courbure (mod`ele des plaques minces). Le dernier terme de l’´equation (4.18) est le crit`ere extrins`eque d’attache aux donn´ees bas´e sur le module du gradient de l’image. On note que plus C (p, t) sera plac´e sur des lieux de gradient ´elev´e de l’image, plus la fonctionnelle globale Jb(C (p, t)) sera faible. Dans une approche variationnelle,

la seconde ´etape consiste `a d´eriver l’´equation d’´evolution du contour actif dont la solution est un minimum de la fonctionnelle. Dans [58], les auteurs utilisent les ´equations d’Euler-Lagrange afin de minimiser Jb(C (p, t)). Dans le formalisme de Lagrange, S d´esigne “l’action” et est d´efinie par :

S = Z

L (t, qi, ˙qi) dt (4.19)

o`u L est le Lagrangien, diff´erence entre l’´energie cin´etique et potentielle g´en´eralis´ee d’un syst`eme m´ecanique `a n particules. L d´epend des positions et des vitesses des particules ainsi que du temps. Minimiser “l’action” (principe de moindre action) consiste `a annuler une variation infinit´esimale ˜S de S engendr´ee par une variation infinit´esimale ˜L du Lagrangien. La minimisation de S revient `a r´esoudre les n ´equations diff´erentielles suivantes :

∂L ∂qi = d dt  ∂L ∂qit  , i ∈ {1, ..., n} (4.20)

Dans l’hypoth`ese d’un contour actif ferm´e (conditions cycliques aux limites), l’´equation (4.20) revient `a r´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :

α∂ 2_{C (p, t)} ∂p2 + β ∂4C (p, t) ∂p4 + γ ∂R C(t)|∇I (C (p, t))| 2_dp ∂C (p, t) = 0 (4.21)

En discr´etisant le contour actif en n n œuds mi, les auteurs de [58] r´esolvent l’´equation (4.21)

selon les diff´erences finies et aboutissent in fine `a l’´equation matricielle suivante : AV + fv= 0

avec A une matrice de Toeplitz pentadiagonale, V = (C (m0) , ..., C (mn)) et

fv= ∂R C(t)|∇I (C (p, t))| 2_dp ∂C (mi) ! i∈{1,...,n}

La solution recherch´ee est V, cependant, A n’est pas inversible (0 est une valeur propre de A). On cherche alors la solution de mani`ere it´erative. La m´ethode propos´ee dans [58] rencontre des instabilit´es num´eriques, en particulier `a cause du calcul de la d´eriv´ee d’ordre quatre de l’´equation (4.21). De plus, le contour actif a tendance `a se contracter sur la partie du contour qui a le plus fort gradient. Dans [126], les auteurs proposent un algorithme rapide ´evitant les ´ecueils de [58]. Le principal apport de cette m´ethode est de proposer une alternative aux estim´ees des d´eriv´ees premi`eres et secondes par diff´erences finies dans la fonctionnelle, accroissant ainsi la rapidit´e de calcul et la pr´ecision des r´esultats. Les coefficients de pond´eration (α, β) de ces d´eriv´ees sont aussi variables au cours des it´erations : selon un crit`ere relatif `a la courbure (seuillage) et `a la valeur du plus fort gradient `a proximit´e du n œud courant, leurs valeurs peuvent diminuer afin de mod´eliser des points anguleux. Cette cat´egorie de contours actifs est n´eanmoins limit´ee :

– La fonctionnelle exprim´ee en ´equation (4.18) d´epend du param´etrage p du contour actif, ce qui la rend non intrins`eque.

– Le r´esultat de la segmentation est sensible vis-`a-vis des param`etres α, β, et γ qu’il faut r´egler et ajuster en fonction de l’image `a analyser. Il n’existe pas cadre th´eorique pour fixer leurs valeurs, mais seulement des choix empiriques.

– De fa¸con inh´erente au mode de repr´esentation, la topologie du contour ne peut ´evoluer. De plus celui-ci ne peut segmenter que des formes convexes.

– Comme nous l’avons d´ej`a ´evoqu´e, ce type de contour est instable num´eriquement `a cause de sa repr´esentation explicite.

– Enfin, l’initialisation du contour doit ˆetre tr`es proche de l’objet `a segmenter dans l’image, ce qui de mani`ere g´en´erale pr´esente peu d’int´erˆet.

- Les contours g´eod´esiques

Dans [18], Caselles et al. montrent que minimiser la fonctionnelle de l’´equation (4.18) avec β = 0 revient `a trouver une courbe g´eod´esique dans un espace de Riemann dont la m´etrique d´epend de l’image analys´ee. La fonctionnelle propos´ee est alors :

Jb(C (p, t)) = α Z b a     ∂C (p, t) ∂p     2 dp + γ Z b a g (|∇I (C (p, t))|) dp (4.22) La fonctionnelle exprim´ee en ´equation (4.22) a les mˆemes inconv´enients que celle propos´ee en ´

equation (4.18) : elle est non intrins`eque et d´epend de param`etres arbitraires α et γ. Grˆace au principe de Maupertuis [18], Caselles et al. montrent que minimiser la fonctionnelle de l’´equation (4.22) revient `a minimiser la longueur du contour actif LR(d’o`u la d´enomination g´eod´esique) selon

une m´etrique propre `a l’image : LR=

Z L(C(t))

0

g (|∇I (C (s, t))|) ds (4.23)

Compar´ee `a la longueur Euclidienne de C (t) qui est par d´efinition LE = H ds, on constate

que la nouvelle d´efinition de la longueur comprend une pond´eration en g (|∇I (C (s, t))|) qui est un terme attach´e aux donn´ees. Ainsi, plus le contour actif traversera des zones de gradient ´elev´e de l’image, plus sa longueur diminuera. Le probl`eme de segmentation revient ainsi `a trouver un contour g´eod´esique dont la m´etrique d´epend de l’image. En minimisant la fonctionnelle d´esor- mais intrins`eque de l’´equation (4.23) par calcul des variations, les auteurs ´etablissent l’´equation d’´evolution du contour

par descente de gradient. En repr´esentant le contour par un ensemble de niveaux ils obtiennent : φt(x, t) = g (|∇I (C (p, t))|) κ |∇φ (x, t)| − h∇g (|∇I (C (p, t))|) , ∇φ (x, t)i (4.24)

Le premier terme de l’´equation (4.24) est relatif `a la courbure du contour actif et a un effet r´egularisateur. Ce terme apparaˆıt naturellement et justifie la suppression du terme contrˆolant la rigidit´e du contour dans la fonctionnelle donn´ee en ´equation (4.18). Ce terme garantissant la r´egularit´e de la courbe est pond´er´e par la fonction g, arrˆetant ainsi la progression du contour sur les zones de haut gradient. Le second terme est la v´eritable nouveaut´e des contours g´eod´esiques. En effet, les termes bas´es sur la courbure ont d´ej`a ´et´e introduits auparavant avec les approches g´eom´etriques. En revanche, le second terme de l’´equation (4.24) permet de stabiliser le contour actif sur des bords caract´eris´es par une valeur variable du gradient. Habituellement, une progression du contour dont la vitesse est pond´er´ee par g est efficace si la valeur du gradient est suffisamment ´elev´ee pour faire tendre g vers z´ero. Dans la pratique la valeur du gradient n’est pas n´ecessairement tr`es ´

elev´ee, engendrant un ph´enom`ene de “fuite” du contour actif au travers des zones o`u |∇I| n’est pas significatif. Ce type de ph´enom`ene apparaˆıt aussi lorsque la valeur du gradient n’est pas constante le long du bord d’un objet `a segmenter. Dans ce dernier cas, le deuxi`eme terme de l’´equation permet de palier ce probl`eme en exer¸cant une force de rappel, stabilisant le contour, et ´evitant ainsi les ´ecueils des approches purement g´eom´etriques.

Les contours g´eod´esiques surpassent les “snakes” sur plusieurs plans. Premi`erement, la fonction- nelle des contours g´eod´esiques est intrins`eque. Ces derniers prennent en compte le cas d’une valeur variable du gradient le long d’un bord d’objet `a extraire. De plus, ils permettent de segmenter des objets non convexes, et sont facilement transposables en ensembles de niveaux. Finalement, on peut saluer et souligner la contribution des contours g´eod´esiques `a unifier les approches variationnelles et g´eom´etriques.

Les inconv´enients des contours actifs bas´es sur l’information de fronti`ere

Bien qu’ils soient abondamment utilis´es pour la segmentation d’image, les contours actifs bas´es fronti`ere revˆetent de nombreux probl`emes limitant leur domaine d’application `a des images rela- tivement simples. Le principal inconv´enient de cette approche est le caract`ere purement local de l’information utilis´ee pour mouvoir le contour actif. Cela a pour effet de devoir initialiser le contour actif tr`es proche de l’objet que l’on d´esire segmenter. Le descripteur couramment choisi pour ce genre de contours actifs est le module du gradient de l’image. Ainsi, si tout ou partie du contour actif se retrouve dans des zones de luminance homog`ene, d´epourvues de gradient ´elev´e, le contour ne sera mˆu par aucune force externe. Enfin, l’autre probl`eme du caract`ere local de l’information de fronti`ere est la sensibilit´e au bruit de l’image. Les descripteurs de fronti`ere ´etant calcul´es lo- calement, les voisinages consid´er´es sont petits devant la taille de l’image et sont ainsi largement influenc´es par le bruit. Pr´e-filtrer l’image est toujours une solution pour r´eduire ce probl`eme, ce- pendant, le filtrage a pour effet de d´elocaliser les bords de l’objet d’int´erˆet, rendant la segmentation impr´ecise.

Pour palier le probl`eme de la sensibilit´e `a l’initialisation des contours actifs bas´es sur l’infor- mation de fronti`ere, Cohen [27] propose d’ajouter une force artificielle de gonflage ou r´etraction visant `a mener le contour actif sur les bords de l’objet `a segmenter. Ceci est ´equivalent `a ajouter une constante c dans l’´equation d’´evolution des contours g´eom´etriques ou g´eod´esiques de la fa¸con suivante :

φt(x, t) = [κ + c] g (|∇I (C (p, t))|) |∇φ (x, t)| − h∇g (|∇I (C (p, t))|) , ∇φ (x, t)i (4.25)

signe se r´ev`ele ainsi critique car il n´ecessite la connaissance a priori de la localisation de l’objet `a extraire par rapport `a l’´etat initial du contour C (t = t0). Le cas o`u le contour actif est partielle-

ment `a l’int´erieur et l’ext´erieur de l’objet `a segmenter est aussi probl´ematique. - Diffusion de l’information de gradient par Gradient Vector Flow (GVF)

Afin de rendre l’information de gradient de l’image non locale, Xu et Prince [128] proposent de diffuser le gradient d’une image sous la forme d’un champ de vecteurs de composantes (u, v). Soit f le module normalis´e du gradient d’une image I. La diffusion de l’information de gradient se fait par la minimisation de la fonctionnelle :

JGV F(u, v) =

Z

Ω

µGV F u2x+ u2y+ vx2+ v2y
+ |∇f |2|(u, v) − ∇f |2dx (4.26)

o`u µGV F est une constante positive.

Le premier terme de l’´equation (4.26) est relatif `a l’allure du champ (u, v). Pour les lieux de gradient faible de l’image, ce terme est pr´edominant et r´egularise (u, v). A contrario, pour les gradient ´elev´es, le second terme d’attache aux donn´ees impose `a (u, v) `a ressembler au gradient de l’image ∇f . Dans [128], les auteurs proposent de d´eduire le GVF (u, v) `a partir d’une descente de gradient minimisant JGV F :



ut= µGV F∆u − (u − fx) |∇f |2

vt= µGV F∆v − (v − fy) |∇f |2