Chapitre IV : Confrontation entre résultats expérimentaux et théorie
IV.1. Estimation de la densité critique
IV.1.1. La densité critique d’après la théorie de la percolation
Dans le but d’introduire la notion de densité critique, nous débutons cette partie par une introduction sur la théorie de la percolation. Cette partie est inspirée de l’article [PIK 1974]. Dans un objectif de simplification, la problématique de la percolation ne sera étudiée ici que dans le plan, et pas en 3 dimensions.
Soit un plan de taille infinie et des points répartis dans ce plan. Il est rajouté une condition de liaison entre chacun des points. Typiquement, à chaque point va être associé un élément de réseau et il va être décidé que deux points sont liés s’il y a contact entre leurs éléments de réseau respectifs. A partir de cette construction (répartition des points dans le plan et condition de liaison), des groupes de points peuvent être construits, comprenant tous les points interconnectés. De manière générale, un problème de percolation consiste à trouver une relation entre les paramètres du réseau (densité de points, choix des éléments du réseau) et les groupes de points obtenus (taille moyenne). Par exemple, pour une certaine répartition de
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points et des bâtons de longueur Lbaton en tant qu’élément de réseau, on cherchera une relation entre la taille des groupes et la longueur des bâtons. En particulier, il est recherché à partir de quelle valeur de paramètre du réseau il est possible d’obtenir un groupe de points de taille infini.
Pour un réseau en 2D constitué de bâtons de longueur Lbaton, répartis de manière homogène et dont l’angle par rapport à l’horizontale est aléatoire, la densité critique se définit comme la densité à partir de laquelle tous les bâtons sont reliés. Cette densité critique dc dépend évidemment de la taille des bâtons et s’écrit :
d
c=
4,2362πLbaton2
Équation IV-1 Il est important de noter que si certains problèmes de percolation peuvent être résolus de manière analytique, la percolation à travers un réseau de bâtons a toujours été résolue grâce à des méthodes de type Monte Carlo. [PIK 1974]
Pour le Si NN-FET, le problème de percolation ne se pose pas exactement de la même façon. En effet, le système est de taille finie et on ne veut pas savoir à partir de quelle densité tous les fils du réseau vont être connectés, mais à partir de quelle densité il y aura contact entre source et drain. On définit alors la densité critique comme la densité à partir de laquelle des chemins assurent le passage du courant entre source et drain. Pour être plus précis et obtenir un véritable critère d’évaluation, il s’agit de la densité à partir de laquelle la probabilité d’avoir un chemin reliant source et drain dépasse 50 %.[LI 2009]
IV.1.2. Evaluation de la densité critique pour les Si NN-FET
D’après la partie précédente, la densité critique peut être évaluée comme la densité à partir de laquelle la probabilité d’avoir un chemin reliant source et drain dépasse 50 %. On représente la proportion de dispositifs Si NN-FET fonctionnels en fonction de la densité pour différentes distances source drain Lmasque, pour les dispositifs expérimentaux (Figure IV-1) et pour les dispositifs simulés (Figure IV-2).
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Figure IV-1: Proportion de dispositifs fonctionnels en fonction de la densité pour différentes valeurs de Lmasque, pour les dispositifs expérimentaux. La ligne en pointillée rouge représente la valeur de densité critique théorique pour Lbaton = 7 µm.
Figure IV-2: Proportion de dispositifs fonctionnels en fonction de la densité pour différentes valeurs de Lmasque, pour les dispositifs simulés. La ligne en pointillée rouge représente la valeur de densité critique théorique pour Lbaton = 7 µm.
Sur ces deux figures, la densité critique augmente avec Lmasque. Cela est un résultat en opposition avec l’Équation IV-1, qui annonce une densité critique constante et indépendante de Lmasque. En réalité, ce résultat (Équation IV-1) n’est valable que pour des longueurs de dispositifs infinies (ou suffisamment grands comparées à la longueur des fils). Pour les dispositifs de taille finie, cette augmentation peut être expliquée en considérant deux situations extrêmes :
- Pour Lmasque nulle, il y aura percolation dès que la densité de nanofils sera supérieure à 0, donc la densité critique est égale à 0 nanofils.µm-2.
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- Pour Lmasque suffisamment grand, la densité critique est égale à une valeur constante, décrite par la théorie de la percolation.
Entre ces deux cas extrêmes, il y a augmentation de la densité critique avec Lmasque. C’est un résultat déjà observé dans les réseaux de taille finie.[LI 2009] Notamment, nous pouvons remarquer que la densité critique obtenue pour les dispositifs simulés tend vers la valeur théorique lorsque Lmasque augmente.
Une autre information peut être obtenue en comparant les Figure IV-1 et Figure IV-2. Pour deux réseaux de même paramètre de fabrication (longueur de fils, dispersion des fils, distance source-drain), la densité critique est censée être la même. Pour Lmasque = 30 µm, la densité critique obtenue pour les dispositifs expérimentaux est proche de 0,19 nanofils.µm-2 tandis que celle obtenue pour les dispositifs simulés est proche de 0,06 nanofils.µm-2. Pour expliquer ce décalage, il va être introduit une différence conceptuelle entre la densité des dispositifs expérimentaux et celle des simulés. Pour les dispositifs expérimentaux, la densité est une densité de nanofils mesurée au microscope électronique. C’est-à-dire que sont comptabilisés dans la densité les nanofils ayant des bonnes propriétés pour assurer le transport (mobilité relativement élevé et jonctions avec les autres nanofils de résistance relativement faible) mais aussi les nanofils cassés, ceux présentant une mauvaise mobilité et ceux connectés aux autres nanofils par des jonctions trop résistives. Dans la simulation, tous les nanofils présentent la même mobilité, et la résistance de jonction est une constante. Donc, la densité de nanofils dans les simulations correspond à la densité de fils dans les dispositifs expérimentaux une fois que les nanofils ne pouvant pas participer à la conduction à cause de leurs caractéristiques internes ne sont plus considérés. Cette densité peut être appelée la densité électrique.
Evidemment, cette densité électrique est plus faible que la densité physique. Cela explique la différence entre la densité critique obtenue expérimentalement et la densité critique obtenue par simulation.
L’introduction du concept de densité électrique explique pourquoi il est assez difficile de comparer les variations des paramètres électriques en fonction de la densité pour les dispositifs expérimentaux et les dispositifs simulés. Cela ne nous empêche pas de comparer les tendances de ces variations, à commencer par la variation de la mobilité apparente à bas champ avec la densité et avec Lmasque.