Estimation du couplage exciton-phonon

De telles bandes lat´erales sur les raies d’´emission excitoniques ont ´egalement ´et´e observ´ees sur l’exciton dans les boˆıtes quantiques II-VI [84] et dans les boˆıtes d’InAs [99, 98] ainsi que sur le trion n´egatif dans ces derni`eres [97]. Elles sont dues au couplage non-perturbatif entre les excitons localis´es et les phonons acoustiques. Ce probl`eme a ´et´e trait´e remarquablement dans la th`ese de L. Besombes [85] pour un syst`eme de boˆıtes quantiques `a fluctuations d’interface CdT e, par extension du mod`ele de Huang-Rhys aux excitons localis´es. En effet, les phonons longitudinaux acoustiques interagissent avec les excitons via le potentiel de d´eformation dˆu au mouvement des noyaux. L’hamiltonien du syst`eme {exciton, phonons} est la somme d’un terme pour l’exciton, un terme pour les phonons, trait´es comme des oscillateurs ind´ependants et d’un terme de couplage exciton-phonon non-nul en pr´esence de l’exciton :

H = H_exciton+ H_phonons+ H_couplage (4.1)

avec H_exciton= c^†cE_x H_phonons= ^X q b^†_qb_q(~ω_q+¹ 2⁾ H_couplage = c^†cM_q(b^†_q+ b_q)

o`u c et c^† d´esignent les op´erateurs annihilation et cr´eation pour l’exciton et b et b^† les op´erateurs annihilation et cr´eation pour les phonons. M_q est l’´el´ement de matrice du couplage via le potentiel de d´eformation. Il s’´ecrit :

Mq= s

~|q|

2ρu_sV^(DchX|e^iq.re

|Xi − DvhX|e^iq.rh|Xi) (4.2)

o`u ρ est la masse volumique du mat´eriau, V le volume de quantification, D<sub>c</sub> et D<sub>v</sub> le potentiel de d´eformation de la bande de conduction et de la bande de valence. Dans le mod`ele de Huang-Rhys, l’interaction avec les phonons n’est pas trait´ee en perturbation ; on prend en compte les nouveaux ´etats-propres r´esultant du couplage de l’´etat discret excitonique avec le continuum des phonons. Ces nouveaux ´etats-propres sont des ´etats mixtes exciton-phonons ; cependant, il n’y a pas d’intrication exciton-phonon. Ils restent factorisables en un produit tensoriel exciton ⊗ phonons. Le premier ´etat excit´e est une combinaison lin´eaire d’´etats |XN n phononsi avec n quel-conque. La transition fondamentale de la boˆıte quantique a donc lieu entre ce premier ´etat excit´e et le r´eservoir de phonons. Cela se traduit en photoluminescence par un spectre form´e d’une raie centrale (n = 0) et des bandes lat´erales ( n 6= 0), correspondant `a la recombinaison radiative exci-tonique assist´ee par l’´emission ou l’absorption de phonons. La probabilit´e que la transition ait lieu avec ´emission ou absorption de p phonons est donn´ee par :

Wp(q) = (^{nq+ 1} nq

)^p2e^−gq(2nq+1)Ip(gq

q

Effet de l’environnement sur les raies d’´emission de l’exciton et du biexciton 97

o`u le nombre d’occupation de phonons suit une distribution de Bose pour un potentiel chimique nul : nq = <sub>exp E/kT −1</sub><sup>1</sup> . gq est le param`etre de Huang-Rhys, caract´erisant la force du couplage exciton-phonon d´efini par :

g(q) = |Mq|2

(~ωq)2 (4.4)

La fonction I_p(n_q) est la fonction de Bessel d’argument complexe qui d´ecrit la probabilit´e que l’exciton soit ”habill´e” par 0,1,2,...phonons.

– Les termes avec p > 0 correspondent `a la cr´eation de p phonons pendant la transition optique, c’est-`a-dire que la recombinaison radiative s’accompagne de l’´emission de p pho-nons.

– Le terme avec p = 0 donne lieu `a la raie z´ero-phonon : aucun phonon n’est cr´e´e ni absorb´e pendant la transition.

– Les termes avec p < 0 correspondent `a la recombinaison radiative accompagn´ee de l’ab-sorption de p phonons, ce qui n’est possible qu’`a temp´erature finie, quand des phonons sont thermiquement activ´es dans l’´etat initial.

Chaque valeur de p non-nulle donne lieu `a une r´eplique discr`ete d’amplitude W_p sur les flancs de la transition z´ero phonon (p = 0). Par simplicit´e, nous discr´etisons la relation de dispersion des phonons et consid´erons une distribution discr`ete de N modes qi d’´energie ~ωqi. La distribution spectrale de l’intensit´e d’´emission est alors le produit des probabilit´es pour que la transition optique implique simultan´ement p_i photons de chaque mode q_i :

I(E) = p1=∞ X p1=0 ... pN=∞ X pN=0 Wp1...WpNδ(E − Ex+ p1^~ω1+ ... + p_N~ω_N) (4.5)

o`u p_i est le nombre de phonons du mode i impliqu´e dans la transition optique.

Pour calculer le couplage dans ces boˆıtes quantiques, nous ne consid´erons que les modes acoustiques longitudinaux [86, 89], pour lesquels la relation de dispersion isotrope est approch´ee par celle de Debye :

ω = u_sq (4.6)

o`u u<sub>s</sub> est la vitesse moyenne du son dans le mat´eriau [83]. Les phonons consid´er´es sont ceux du GaAs massif. En effet, les propri´et´es m´ecaniques du GaAs et de l’Al<sub>0.33</sub>Ga<sub>0.67</sub>As ´etant tr`es proches, on suppose que les modes de vibrations s’´etendent dans tout le mat´eriau. Nous consid´erons une fonction d’onde de l’exciton de la forme :

Ψ(r_e, r_h) = √¹ V^e

−^R2_2ξ2^xy

e⁻λ^ρχ_e(z_e)χ_h(z_h) (4.7) o`u R<sub>xy</sub> d´ecrit le mouvement du centre de masse et ρ le mouvement relatif de la paire ´electron-trou, et V est le volume de normalisation. λ est la distance moyenne entre l’´electron et le trou, et vaut 6 nm dans un puits quantique de 30 de GaAs/Al<sub>0.3</sub>Ga<sub>0.7</sub>As [93]. ξ est un param`etre ajustable d´ecrivant l’extension lat´erale du centre de masse. Le calcul fournit les valeurs ξ₁ = 4.7 nm pour la boˆıte quantique QD1, ξ₃= 3.45 nm pour la boˆıte quantique QD3 et (ξ_c= 7 nm pour la boˆıte quantique QDc. Le choix des valeurs de D_cet D_v fixe, `a ξ, donn´e l’intensit´e du couplage. En effet, au premier ordre, Mq∝ (Dc− Dv). Les valeurs de Dc et Dv trouv´ees dans la litt´erature sont assez dispers´ees, allant de 1.5 `a 6.5 eV pour D_c et de −13.5 `a −7 eV pour Dv. [90]. La d´etermination de ξ est li´ee aux valeurs retenues. En cons´equence, le param`etre ξ ne fournit pas de d´etermination absolue de

98 Effet de l’environnement sur les raies d’´emission de l’exciton et du biexciton

la taille de la boˆıte quantique. Pour tous les calculs pr´esent´es ici, nous prenons D_c= −11.5 eV [91], Dv = 5.6 eV [92], valeurs d´etermin´ees sur des ´echantillons r´ealis´es dans le mˆeme bˆati d’´epitaxie que nos ´echantillons.

Dans l’approximation du puits quantique infini, les fonctions enveloppes χ_e(z_e) et χ_h(z_h) sont simplement : cos(^πze,h

Lz ), ce qui conduit `a une expression analytique approch´ee pour l’´el´ement de matrice du couplage [86] :

M_q = s

~|q|

2ρu_sV^(DcΞe(qk− DvΞ_h(q_k)I_⊥(q_z)e^−ξ2q24 (4.8) o`u les fonctions Xie et Ξ_h sont d´efinies par :

Ξ_e,h= ¹ (1 + (^be,h 2 )2)³2 (4.9) avec b_e,h= ^m ∗ e,h M∗ k | qk| λ (4.10) o`u m∗ e = 0.057m₀et m∗

p = 0.45m₀sont les masses effectives de l’´electron et du trou dans la mat´eriau, m₀d´esignant la masse de l’´electron dans le vide. I_⊥(q_z) est l’int´egrale de recouvrement de la fonction d’onde de l’´electron et du trou avec l’onde plane des phonons acoustiques perpendiculairement au plan du puits : I_⊥(q_z) = ² L_z Z −^Lz₂ −Lz 2 cos²(^πze,h L_z ^)e iqzzdz (4.11)

La probabilit´e d’interaction avec un phonon de vecteur d’onde q est proportionnelle au module au carr´e de l’´el´ement de matrice M_q de l’´equation 4.8. Or, d’apr`es cette ´equation, il apparaˆıt 3 vecteurs d’onde de coupure, au-del`a desquels le couplage est n´egligeable. C’est naturellement le plus petit des 3 qui sera le vecteur d’onde de coupure :

– Pour un phonon se propageant selon z, q_k = 0. Le terme | I⊥(qz) |² devient faible pour q_z > _L^2π

z.

– Les fonctions Ξ_e,h deviennent n´egligeables quand q < min( ^2M

∗ k

m∗ e,hλ)

– Pour un phonon dans le plan du puits, qz = 0, le terme en e^−ξ2q22 devient faible pour q_k > ²_ξ

La figure 4.6 r´esume l’ensemble de ces probabilit´es d’interaction. On voit sur cette figure que c’est le terme concernant l’extension du centre de masse qui impose le vecteur d’onde de coupure le plus faible. Cette figure justifie ´egalement l’approximation suivante : on consid`ere le puits infiniment ´etroit afin d’´ecrire :

I_⊥(qz) ≃ I⊥(0) ≃ 1 (4.12)

Cette approximation est justifi´ee tant que le vecteur d’onde de coupure qzc reste grand devant les 2 autres.

Influence du confinement Pour comprendre l’influence du confinement (`a travers le param`etre ξ), consid´erons le param`etre de Huang-Rhys, caract´erisant la force du couplage exciton-phonon :

g(q) = |Mq|2

Effet de l’environnement sur les raies d’´emission de l’exciton et du biexciton 99

Fig. 4.6 – Probabilit´e d’interaction entre un exciton localis´e et un phonon de vecteur d’onde q = ^qq_k2+ q2

z. I2

perp repr´esente la d´ependance en fonction de la composante q_z pour un puits quantique d’´epaisseur L_z = 3 nm. Ξ2

e repr´esente le facteur dˆu au mouvement de l’´electron. Les 2 autres courbes repr´esentent la d´ependance de la probabilit´e en fonction du param`etre de localisation ξ pour 2 valeurs de ce param`etres : ξ₃ = 3.45 nm et ξ_c= 7 nm

Comme nous avons consid´er´e une relation de dispersion isotrope, chaque mode est caract´e-ris´e par |q|. Nous pouvons donc d´efinir la constante de couplage int´egr´ee sur toutes les directions de q, qui est le r´esultat de l’int´egration, `a module de q fix´e de la constante de couplage g(q). On se ram`ene ainsi d’un continuum 3D `a un continuum 1D. Le facteur de Huang-Rhys est trac´e sur la figure 4.7 pour les param`etres ξ₁, ξ₃ et ξ_cdes boˆıtes quantiques QD1, QD3 et QDc. De cette figure, on d´eduit que le confinement influence de 2 fa¸cons la force de couplage :

– La force de couplage est d’autant plus grande que l’extension du centre de masse est petite.

– Le maximum est atteint pour des valeurs d’´energie du phonon d’autant plus grandes que l’extension du centre de masse est petite : il est atteint pour un vecteur d’onde d’environ ¹_ξ. De plus, les phonons ayant une ´energie sup´erieure `a ^2~us

ξ (un vecteur d’onde sup´erieur `a 2/ξ) ne contribuent quasiment pas au couplage. Ce vecteur d’onde de coupure est d’autant plus grand que l’extension du centre de masse est petite, ce qui est assez intuitif : plus la boˆıte quantique est petite, et plus grande est l’extension du param`etre ξ dans l’espace r´eel, et donc plus petits seront les vecteurs d’onde de phonons auxquels il pourra se coupler dans l’espace r´eciproque. Pour les grandes boˆıtes quantiques, le vecteur d’onde de coupure est petit, et le couplage peu important : les r´epliques phonons sont donc tr`es proches de la raie z´ero phonon.

La figure 4.7 montre que le couplage aux phonons est d’autant plus intense et plus ”visible” que la distance de localisation du centre de masse de l’exciton est petite. Cette d´ependance du couplage aux phonons acoustiques en fonction du confinement a ´egalement ´et´e d´emontr´ee par P. Borri et al. [99] au moyen d’exp´eriences de m´elange `a 4 ondes.

100 Effet de l’environnement sur les raies d’´emission de l’exciton et du biexciton

Fig.4.7 – Constante de couplage g(q) en fonction de l’´energie des phonons pour diff´erentes valeurs du param`etre de localisation ξ.