ET AU DÉBUT DU COLLÈGE
Annexe 1 ERMEL CP 1977 Mathématiques et langage
Ainsi, pour s'approprier les contenus mathématiques (pourtant bien légers, semble-t-il) qu'on propose aux enfants de l'école élémentaire, il faut une démarche qui vise plus que le simple apprentissage de « savoirs » ; les enfants doivent pouvoir donner la preuve de leurs
«connaissances.» mathématiques autant de fois qu'il le faut, et dans des formes variées. Mais ces contenus, ces connaissances bien élémentaires, peuvent être ou non l'occasion d'un travail grâce auquel les élèves s'approprient non seulement des énoncés corrects, mais des règles
d'énonciation. Bref, l'apprentissage des mathématiques, au niveau le plus modeste, pourrait être considéré comme l'appropriation d'un nouveau langage, d'une langue structurée et qui se révèlerait par là mime structurante.
« La mathématique est une pensée, une pensée sûre de son langage »
Cette phrase de Bachelard a sans doute constitué un sujet de (douloureuse) réflexion pour bacheliers. Elle pourrait constituer plus qu'un thème de méditation, une sorte d'axe de travail pour tous les pédagogues qui, peu ou prou, ont à enseigner les mathématiques; ou plus exactement à faire faire des mathématiques. Si la mathématique est une pensée, faire des mathématiques c'est penser, et faire faire des mathématiques, c'est faire penser. Or, s'il est évident qu'on ne peut ni contraindre à penser, ni interdire de penser, il est non Moins évident que les exercices pédagogiques que l'on propose peuvent constituer tantôt une aide, tantôt un obstacle à l'exercice de la pensée : sont un obstacle, toutes les procédures pédagogiques qui relèguent au second plan le travail sur le langage et la réflexion sur son fonctionnement particulier.
Or, le premier caractère de ce langage est qu'il ne se « parle » pas, mais qu'il est tout entier du côté de l'écriture: Ceci parait poser une difficulté presque insurmontable si l'on pense que les enfants de six ans n'ont avec la langue écrite qu'une relation toute récente. Mais apprendre à écrire dans sa langue maternelle n'a rien à voir avec apprendre à écrire des énoncés
mathématiques. Dans le premier cas, l'écriture apparaît comme le code second d'une langue qui est déjà présente oralement. Même si, on n'écrit pas comme on parle, même s'il existe des règles pour l'écriture qu'ignore la langue orale (et réciproquement), il n'empêche qu'il s'agit toujours d'une seule langue, en ses modalités diverses d'énonciation.
En revanche, l'écriture n'est pas pour les mathématiques un code second, mais un code unique. Quel rôle joue donc la langue maternelle par rapport au langage mathématique ? Son rôle est double : d'une part elle est la langue dans laquelle se lisent les énoncés (« quatre-vingt sept plus onze égale - égalent ? – quatre-vingt dix-huit » ou « petit a appartient à l'ensemble grand E » ou « pour tout x, il existe ... » etc.), la langue dans laquelle se font les commentaires et peuvent se donner plusieurs « traductions » de l'énoncé écrit, rigoureuses ou approximatives, explicites ou allusives.
D'autre part la langue maternelle est partiellement investie dans l~ travail mathématique, puisque les chaînons de raisonnement s'appuient sur elle, sur son organisation syntaxique et son pouvoir déductif. Mais les transformations, les opérations que l'on peut faire sur les écritures mathématiques n'ont pas d'équivalent dans la langue maternelle.
Ceci nous amène à un second caractère du langage mathématique : il est essentiellement mise en relation de signes.
En effet, s'exprimer rigoureusement n'est pas un préalable à ,l'activité mathématique, mais l'effet d'une telle activité. En exigeant des enfants un langage propre, précis, on risque bien d'interdire à certains l'accès au «sens» des énoncés mathématiques, qui se construit à partir d'une langue approximative, dans un travail où il s'agit d'articuler des significations, de relier des segments de raisonnement. Le problème n'est donc pas dans l'usage spontané de termes triviaux par les enfants (Pascal, enfant, parlait bien de ronds et de bâtons là où nos moins bons élèves parlent de cercle et de droite), il est plutôt .dans les risques de « placage » : on peut habiller la langue maternelle d'oripeaux mathématiques, mais elle ne sera pas pour autant « mathématisée
». Néanmoins, il est essentiel que l'enseignant soit capable de parler rigoureusement, voire
d'offrir sans cesse aux enfants la version « mathématique » de leur parole balbutiante, car c'est bien une telle aptitude qui est visée à terme, à la sortie du travail, comme effet normal de l'apprentissage. Pour les enfants, deux triangles sont peut-être « égaux », et aussi deux parts de tarte ou deux collections d'objets. Mais il n'y a abus de terme que pour celui qui distingue très clairement, pour les avoir manipulés longtemps, les concepts d'égalité, d'équipotence,
d'équivalence, etc.
En revanche, on est en plein dans le langage mathématique, toutes les fois que l'on met en place une situation permettant aux enfants de saisir à quel point les termes des énoncés mathématiques sont liés et combien sont contraintes, réglées, leurs liaisons.
Dans le langage mathématique, tout se passe comme si le sens d'un énoncé était à chercher uniquement dans son organisation interne, dans l'agencement des termes, dans la série des transformations qu'on lui a fait subir, bref dans la façon dont se conjuguent les maillons d'un raisonnement logique (tel qu'on peut en trouver aussi dans la langue naturelle) et les
enchaînements opératoires (qui n'ont, eux, aucun équivalent dans la langue).
Ainsi, la tâche des pédagogues semble devoir se déployer dans deux directions : d'une part, en direction du travail sur les écritures, sur l'élaboration des symboles, sur la mise à jour des règles qui rendent certaines écritures licites, d'autres incorrectes, certains énoncés ambigus, d'autres inutiles ; d'autre part, en direction du travail sur le raisonnement, qui est pour de jeunes enfants un travail dans la langue orale (et peut être seulement un travail dans la langue orale au Cycle Préparatoire). Lors des séquences mathématiques, toutes les fois qu'on demande à un enfant ou à un groupe d'enfants de dire ce qu'ils ont fait et pourquoi, de verbaliser leur démarche en la justifiant, de commenter ce qu'ils ont écrit, représenté, schématisé en racontant les étapes de leur recherche (qu'elle ait ou non abouti à « la » ou à « une » solution), on leur permet de travailler dans leur langue maternelle et en rupture avec elle, à l'élaboration d'un langage mathématique pourvu de sens - et c'est bien là la seule chose qui compte.
Peu importe alors que la terminologie soit assurée ou pas et les formulations incorrectes au regard du mathématicien parlant comme un livre. C'est dans ce tâtonnement que s'apprend toute langue. En mathématique plus encore qu'ailleurs, la crainte de mal dire fait des enfants des muets.
Annexe 2
Extraits des nouveaux programmes de l’école élémentaire concernant les mathématiques
Cycle des apprentissages fondamentaux, Objectifs (“ Q’apprend-t-on à l’école élémentaire ? MEN pages 102 et 103”)
“ Les capacités à chercher, abstraire, raisonner et expliquer se développent aussi bien dans les moments de travail individuel ou en petits groupes que dans les phases d’échange et de confrontation qui permettent de mettre en valeur la diversité des méthodes utilisées pour résoudre un même problème.
Le travail de recherche sur des situations réelles et la réflexion collective à laquelle il donne lieu imposent un usage privilégié de la langue orale. Au cycle 2, l’usage des mots précède celui des symboles mathématiques : ils sont à la fois plus proches du langage des élèves et plus à même d’exprimer le sens des notions. La mise en place nécessaire d’un langage élaboré et du symbolisme conventionnel, spécifique aux mathématiques, doit être réalisée avec prudence, à mesure qu’elle prend sens pour les élèves dont elle ne doit pas freiner l’expression spontanée.
L’appui sur l’écriture est évidemment indispensable, en particulier dans les phases de recherche.
Au cycle 2, les écrits de recherche servent également souvent de support aux échanges collectifs
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au cours desquels les élèves trouvent une occasion de s’initier à l’argumentation et à ses exigences (écoute des autres, contrôle par autrui de ce qui est avancé, recours à une expérience pour trancher entre deux propositions…). En fin de cycle, la rédaction de textes plus élaborés rendant compte de la démarche de résolution fait l’objet d’un travail collectif. ”
Cycle des approfondissements (“ Q’apprend-t-on à l’école élémentaire ? MEN)
Maîtrise du langage et de la langue française : compétences spécifiques devant être acquises en fin de cycle (page 175)
Parler :
- Utiliser le lexique spécifique des mathématiques dans les différentes situations didactiques mises en jeu.
- Formuler oralement, avec l’aide du maître, un raisonnement rigoureux.
- Participer à un débat et échanger des arguments à propos de la validité d’une solution.
Lire :
- Lire correctement une consigne, un énoncé de problème,
- Traiter les informations d’un document écrit incluant des représentations (diagrammes, schéma, graphique),
- Lire et comprendre certaines formulations spécifiques (notamment en géométrie) Ecrire :
- Rédiger un texte pour communiquer la démarche et le résultat d’une recherche individuelle ou collective.
- Elaborer avec, l’aide de l’enseignant, des écrits destinés à servir de référence dans les différentes activités.
Mathématiques, Objectifs (page 226) :
“ Dans les moments de réflexion collective et de débat qui suivent le traitement des situations, l’usage ordinaire de la langue orale et les formulations spontanées des élèves prévalent. Ils sont toutefois complétés par le recours à un lexique et à des formulations
spécifiques, nécessaires à la rigueur du raisonnement. Une attention particulière doit être portée aux difficultés de lecture des énoncés que rencontrent de nombreux élèves afin, d’une part, de ne pas pénaliser les élèves dont l’autonomie face à l’écrit est insuffisante, d’autre part, de travailler les stratégies efficaces de lecture de ces types de textes. L’écriture comporte, en mathématiques, différentes formes qui doivent être progressivement distinguées : écrits pour chercher, écrits pour communiquer une démarche et un résultat, écrits de référence. ”
Annexe 4.1
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Annexe 4.2
Annexe 4.3
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Annexe 4.4
Annexe 5.1
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Annexe 5.2
Annexe 5.3
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Annexe 6
1)Pierre a 327 billes. Il joue et gagne 5 X 57 billes. Son ami a 2 X 172 billes Combien Pierre a-t-il de plus de billes que son ami ?
2) Justine a 137 bonbons et Yoann a 140 bonbons et Prisca a 101 bonbons. Combien Prisca a-t-elle de moins que Justine et Yoann réunis ?
3) Madame Durant fait ses courses et doit payer 57F X 2 et Madame Salsa, elle, doit payer 172 F X 10. Combien Madame Durant a payé de moins que Madame Salsa ?
4) Madame Dubois achète des produits à 57 F de plus que Madame Chapente.
5) Monsieur Dupont à 57 € et Monsieur Adam a 172 €. Combien Monsieur Dupont a t-il de moins que Monsieur Adam ?
6) A la campagne, Monsieur Dupont a 57 moutons, son voisin en a 172. Combien Monsieur Dupont a de moins que son voisin ?
7)Dans une école, il y a 172 élèves de plus que dans l’école Benoît qui a 57 Elèves. Combien y a–t-il d’élèves dans l’autre école ?
8) Luc a 172 billes. Il en perd l’après-midi 57. Combien a-t-il de billes maintenant ?
9) Ils ont 57 jeux d’ordinateur et Nourief a 172 jeux d’ordinateur et Ismaël a moins de jeux que Nourief et Dean n’a rien. C’est Nourief qui a plus de jeux qu’Ismaël et Dean. Combien y a-t-il de jeux en tout ?
10) A Saint Germain sur Vienne, il y a deux prés de moutons, il y a le pré de Jac qui contient 57 moutons dont 35 ont la fièvre aphteuse. Dans l’autre pré, il y a des moutons de Marie-Louise, qui en a 172. Combien Marie-Louise a-t-elle de plus que Jac ?
11) Iloud gagne 12 billes le matin, l’après–midi, il perd 8 billes, et 1 soir, Mouloud perd 5 billes.
Combien Iloud a de billes à la fin de la partie de l’après-midi ?
12) Monsieur Secco a 172 F sur lui. Combien y a-t-il de plus que le nombre 57 ?
13) Laura dans son porte-monnaie a 172 F, elle achète deux cahiers et un stylo pour un total de 57 F. Combien Laura a-t-elle de plus que 100 F ?
14) Il y a 57 gâteaux au chocolat de moins que 172 gâteaux à la fraise.
15) Madame Duchamp a dans son porte-monnaie 172 F. Elle achète des oranges à 10 F, des poires à 40 F, et des pommes de terre à 7 F. En tout, il y en a pour 57 F. Combien y a-t-il de moins d’argent dans le porte monnaie de Madame Duchamp ?
16) Dans le sac de Yoann, il y a 57 gâteaux, dans le sac de la maîtresse, i y a 172 gâteaux à la framboise. A la récréation, la maîtresse en mange 9. Combien la maîtresse a-t-elle de gâteaux de plus que Yoann ?
17) A paris 172 magasins de plus que Livry Gargan. Livry Gargan a moins que Paris. Combien il y en a en Belgique ?
18) Nicolas a 57 F dans sa tirelire et son père a 172 fois plus que Nicolas. Combien a le père de Nicolas ?
19) Dans une ferme où il y a 57 cochons et 172 lapins. Combien y a-t-il de plus de différence ? 20) Sébastien dans sa tirelire, il a 172 F. Son père lui a pris 57 F pour se dépanner, son père lui dit : “ Je vais te rembourser, je vais te donner 111F + 179 F. Son père va lui donner plus que 172 F ou moins que 172 F ?
21) Paul a 57 F. Sa sœur a 172 F. Son père lui donne 172 F de moins que sa sœur. Combien Paul a-t-il ?
22) Dans une école, il y a 57 élèves et 172 instituteurs. Combien y a-t-il de plus d’instituteurs que d’élèves ?
23) Malk est pharmacien, il a 300 béquilles . Iloun veut lui en acheter 57. Malk doit enlever de moins que 300 parce que Morad veut aussi lui en acheter 100. Trouve combien Iloun et Morad en ont en tout .
Atelier A5
29ème colloque Inter-IREM des formateurs et professeurs chargés de la formation des maîtres.
pages 203 à 212