Les équations d’amplitudes obtenues à l’ordre3/2 sont de la forme
dAg dτ =−iDgAg+ iCgcAc+ iαgg|Ag| 2A g, (12.3) dAc dτ =−iDcAc+ iCcgAg+ iαcc|Ac| 2A c, (12.4)
avecDg,Dc,Cgc,Ccg,αcc,αgg des coefficients réels qui peuvent être exprimés analytiquement (cf.
annexe D pour les détails). Les coefficientsDi traduisent l’écart à la résonance exacte (fixé par le
choix du champ de base à étudier), les coefficientsCij correspondent aux termes de couplage et
les coefficientsαij à l’effet des non-linéarités. Ces équations doivent être résolues en imposant des
conditions initiales sur les amplitudes et sont analogues à celles obtenues par Sipp (2000) et Kno- bloch et al. (1994) dans le cas de l’instabilité elliptique. Nous considérons ici un système d’équation simplifié obtenu en se plaçant dans le sous-espace correspondant àAg= (Cgc/|Ccg|)1/2Ac, ce qui
revient à considérer que l’énergie introduite dans le système àτ = 0 est nulle. On se place mainte- nant en coordonnées polaires en définissantAg =|Ag|eiψg,Ac =|Ac|eiψc etφ = (ψc− ψg)/2. On
obtient alors le système simplifié d|Ac| dτ = C sin(2φ)|Ac|, (12.5a) dφ dτ = C cos(2φ)− N|Ac| 2 − D, (12.5b) avec D = 1/2(dωg/dξ− dωc/dξ)ξ2, C = p−(ω0− mΩξ0)(ω0− mΩR) et N un coefficient réel
qui s’exprime en fonction des coefficients introduits précédemment. L’équation (12.5a) montre que l’amplitude |Ac| de l’onde centrifuge croît ou décroît selon la valeur de φ qui est susceptible de
12.3. EQUATIONS D’AMPLITUDE ET RÉSULTATS 169
0
1
2
10
-210
-110
0|A
c
|
0
1
2
-1
0
1
τ
φ
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 -0.1 0 0.1|A
c| cos(φ)
|A
c|si
n
(φ
)
(a) (b)Figure 12.2 – Résultats de l’approche faiblement non linéaire pour m = 2, a = 0.5 et au niveau de la résonance exacte, i.eD = 0. (a) Evolution temporelle de l’amplitude et du déphase pour des conditions initiales|Ac0| = 0.02 et φ(τ = 0) = π/4. (b) Portrait de phase obtenu pour |Ac0| = 0.02
et des déphasages initiaux variés (cercle gris clair). Les cercles bleus (resp. points rouges) indiquent les point fixes stables (resp. instables). Les flèches montrent le sens d’évolution de l’amplitude dans le portrait de phase et permettent ainsi de distinguer les directions stables et instables.
la valeur φ = π/4 est associée à une instabilité tandis que la valeur φ = −π/4 conduit à une atténuation de l’amplitude. Dans les portraits de phase (voir figure 12.2 (b) par exemple), ces directions sont alors nommées direction stable ou instable selon le signe du taux de croissance effectif obtenue. Egalement, précisons que ce système d’équations se résout en spécifiant des conditions initiales du type|Ac(τ = 0)| = |Ac0| et φ(τ = 0) = φ0. Lorsque l’amplitude|Ac0| est infinitésimale
on se situe alors très proche de l’origine du portrait de phase et la stabilité linéaire permet de décrire la stabilité de cette origine. En conséquence l’origine est un point fixe instable dans la bande linéairement instable et stable partout ailleurs.
D’autre part, le coefficient D constitue maintenant notre paramètre de contrôle, il correspond à l’ajustement fréquentiel dû à l’écart à la résonance exacte et est parfois appelé paramètre de detuning. Lorsque |D| est trop grand, les fréquences entre les deux ondes sont trop différentes pour permettre la résonance, on quitte alors la bande linéairement instable (voir figure 12.1(b)). Plusieurs cas sont maintenant à considérer suivant la valeur du paramètre de detuning D. Dans ce qui suit, la dynamique du système d’équations d’amplitudes (12.5) est décrite. Nous détaillerons en premier lieu le cas particulier de la résonance exacte, i.e. D = 0, qui implique les taux de croissance les plus grands. Nous étudierons ensuite l’influence du paramètreD sur la dynamique du système étudié.
La figure 12.2 correspond aux résultats obtenus à la résonance exacte (i.e.D = 0) dans le cas m = 2 et a = 0.5. Le portrait de phase de l’amplitude associée à l’onde centrifuge est montré sur la figure 12.2(b) pour une amplitude initiale|Ac0| = 0.02 et plusieurs déphasages initiaux (cercle
gris). En plus de l’origine qui est un point fixe instable pour D = 0 (point rouge), deux points fixes stables (ou plutôt foyers dans ce cas non-dissipatif) sont obtenus pourφ = 0 et φ = π (cercles bleus). L’évolution des amplitudes décrit des cycles homoclines autour de ces deux points fixes, les trajectoires étant déterminées par les conditions initiales. Les cycles homoclines se comprenant comme suit. Choisissons par exemple une amplitude initiale faible (cercle gris sur la figure figure 12.2 (b)) et un déphasage proche de φ = π/4, i.e dans la direction instable. La figure 12.2 (a) correspond à l’évolution de l’amplitude et de la phase obtenues pour de telles conditions initiales. L’origine étant linéairement instable dans cette direction, l’amplitude des ondes croît exponentiel- lement comme le prédit la théorie linéaire. Lorsque les amplitudes mises en jeu sont suffisamment importantes, les effets non linéaires ne peuvent plus être négligés. Un déphasage entre les ondes gravitaire et centrifuge est alors observé et l’amplitude sature (figure 12.2(a)). Dans l’espace des phases, la perturbation s’éloigne alors progressivement de la direction instable pour aller vers la
170 CHAPITRE 12. MODÈLE FAIBLEMENT NON-LINÉAIRE 0 0 0.1 0.2
q
C − D ND
D= −C D= C -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 -0.1 0 0.1|A
c| cos(φ)
|A
c|s
in
(φ
)
(a) (b)Figure 12.3 – (a) Evolution de la position des points fixes stables (ligne noire, points bleus sur (b)), en fonction de l’écart à la résonance exacte. La ligne rouge pointillée matérialise le régime linéairement instable. A noter que la transition ascendante dépend des amplitudes initiales consi- dérées. (b) Exemple de portrait de phase obtenu pour D < −C. Les légendes sont identiques à celles de la figure 12.2(b).
mises en jeu sont supérieures à l’amplitude correspondant à la position du point fixe). Les am- plitudes décroissent pour se rapprocher de l’origine et un mécanisme du même type se reproduit alors. Au final le système revient à son point de départ exact du fait du caractère non dissipatif. Des alternances temporelles entre des états caractérisés par des amplitudes importantes (état po- lygonaux) et des états quasi-axisymétriques sont donc observées sur des échelles de temps lentes. Cette description semble donc en lien avec le phénomène de switching (voir 2 et 3) décrit en par- ticulier par Suzuki et al. (2006) et Tasaka et al. (2008), bien que dans ces études expérimentales le switching s’effectue entre un état axisymétrique demouillé et un état polygonal mouillé. Néan- moins, des cas pour lesquels le système reste demouillé durant l’ensemble du cycle ont été observés par Tasaka (communication privée).
Zone linéairement instable −C < D < C : Pour des valeurs de D suffisamment proches de la résonance exacte, à savoirD <|C|, le champ de base est linéairement instable et le comportement dynamique du système est qualitativement identique à celui décrit dans le cas particulier de la résonance exacte. L’évolution de l’amplitude de l’onde centrifuge décrit alors des cycles homoclines autour des deux points fixes et les amplitudes maximales mises en jeux lors de ces cycles dépendent directement de la position des points fixes. A partir des équations (12.5) la position des points fixes est obtenue enAc=±p(C− D)/N, ce qui permet de suivre l’évolution de ces points en fonction
deD. Cette évolution est montrée sur la figure 12.3. Lorsque D se rapproche du seuil amont en D = C, les deux points fixes se rapprochent de l’origine, tandis que lorsque D se rapproche du seuil avalD =−C les deux points fixes s’en éloignent. Pour D = C (seuil amont), les deux points fixes fusionnent avec l’origine pour former un unique point fixe stable. L’écoulement est alors linéaire- ment stable pourD > C. Pour D =−C, les deux points fixes ne subissent pas de transition, mais l’origine instable se transforme alors en un point fixe stable en formant deux points fixes instables positionné enφ =±π/2. La dynamique du système en aval de l’instabilité semble alors intéressante. Zone linéairement stable amont D > C : Pour des valeurs de D correspondant à des champs de base en amont de la bulle d’instabilité un unique point fixe stable est obtenu à l’origine du portrait de phase. Dans ce cas, les amplitudes restent proches de|Ac0|.
Zone linéairement stable avale D < −C : Pour des valeurs de D en aval de la bulle d’in- stabilité, l’origine est stable, deux points fixes stables sont positionnées en φ = 0 et φ = π et deux points fixes instables enφ =±π/2 (voir figure 12.3 (b)). Du fait de la stabilité de l’origine, des perturbations infinitésimales (quelque soit leur direction), n’auront pas pour conséquence de conduire à des amplitudes importantes. Cependant, si l’on est suffisamment proche du seuil aval,
12.3. EQUATIONS D’AMPLITUDE ET RÉSULTATS 171 certaines perturbations d’amplitudes finies pourront conduire à la zone d’influence d’un point fixe instable pour ensuite orbiter autour d’un des deux foyers. Ceci est observé sur la figure 12.3(b) où l’on peut constater que pour|Ac0| = 0.02 certaines valeurs de déphasage initial conduisent à des
cycles homoclines orbitant autour d’un point fixe stable. D’autre part, on constate sur la figure 12.3(a) que les points fixes stables sont situés plus loin de l’origine et donc que les amplitudes mises en jeu dans ce cas sont plus grandes que pour des valeurs de D à l’intérieur de la bande linéairement instable.
On constate ainsi que des ruptures de symétrie peuvent être observées malgré que l’écoulement soit linéairement stable. Nous dirons alors que le seuil aval est de nature sous-critique. Ceci permet de donner une première explication qualitative concernant la différence entre théorie et expérience pour ce qui est de la largeur des bandes d’instabilité. En effet, au vu du comportement obtenu pour le seuil aval, on s’attend à obtenir des ruptures de symétrie pour des champs de base en aval de la zone linéairement stable. De plus, la position précise du seuil correspondant à l’apparition des motifs dépend des perturbations initiales introduites. Sa position est donc intrinsèque au dispositif utilisé et dépend également du protocole opératoire.
La figure 12.3 (a) semble donc permettre de comprendre qualitativement l’hysteresis obtenu expérimentalement en augmentant ou en diminuant la fréquence du disque du fond (voir Tasaka et al. (2008) et chapitre 4)1. Pour cela, les parcours ascendants (resp. descendants) décrits dans
les expériences du chapitre 4 en augmentant (resp. en diminuant) la fréquence de rotation, doivent être vus ici comme une augmentation (resp. une diminution) du paramètreD.
Considérons tout d’abord le parcours descendant. Lorsque l’on traverse une bande d’instabilité en diminue D, l’écoulement reste linéairement stable tant que D > C et les amplitudes restent de l’ordre des amplitudes initiales. Au niveau du seuil amont, l’écoulement devient linéairement instable et des cycles homoclines sont obtenus autour des points fixes stables. Les amplitudes de ces cycles sont alors de l’ordre de la position des points fixes stables et augmentent donc lorsque D diminue. Au niveau du seuil aval, le système continue alors à effectuer de telles orbites et reste dans la zone d’influence des foyers.
En ce qui concerne le parcours ascendant, le système est stable pour D −C et évolue donc proche de l’origine sans jamais atteindre les zones d’influence des points fixes stables. Ensuite, le système va rejoindre une orbite autour d’un point fixe stable pour des valeurs deD inférieures au seuil aval en D = −C. La position précise de ce seuil dépend des amplitudes initiales. Des am- plitudes importantes sont donc obtenues en dehors des zones instables, ce qui permet d’expliquer qualitativement un élargissement des bandes d’instabilité linéaire.
Pour conclure, une extension faiblement non linéaire du modèle TMBF au voisinage d’un point de résonance exacte est donnée. En particulier, le comportement sous-critique associé au seuil aval donne des éléments de compréhension concernant les phénomènes d’hystérésis observés expérimen- talement (Tasaka et al., 2008). Le mécanisme mis en évidence donne également une explication qualitative concernant la largeur des bandes d’instabilité linéaire, beaucoup plus fines que les zones d’observation des motifs polygonaux dans les expériences de laboratoire (voir chapitre 10). Pour finir, les comportements cycliques obtenus pour les amplitudes sur des échelles de temps lentes per- mettent une interprétation cohérente des phénomènes d’alternance temporelle tels que le switching.
Cinquième partie
Le tourbillon de Rankine à surface
libre
Chapitre 13
Elements de stabilité du tourbillon
de Rankine
13.1
Contexte de l’étude
Une classification des ondes dans un écoulement en rotation solide et dans un écoulement po- tentiel a été décrite dans les parties III et IV respectivement. Nous possédons donc maintenant les bases pour aborder la stabilité du tourbillon modèle de Rankine à surface libre qui se compose précisément d’un coeur en rotation solide, qui peut être partiellement démouillé comme rappelé dans la suite, et d’une zone externe en rotation potentielle. Seul le cas confiné, représentatif des expériences présentées en partie I, sera traité dans cette partie. Des interactions complexes entre les différents types d’ondes de la zone en rotation solide (ondes gravitaireG, ondes centrifuges C, ondes de RossbyR et ondes inertielles I) et de la zone en rotation potentielle (G et C) sont atten- dues. Précisons que dans les études sur les tourbillons, seule une zone proche de l’axe de rotation est de vorticité non nulle et peut s’apparenter à une zone en rotation solide. Dans ce cas, des ondes inertielles similaires à celles étudiées dans le cas du seau de Newton sont également présentes, mais sont alors plus fréquemment nommées ondes de Kelvin en référence au travaux de Kelvin (1880) sur le modes de vibration du tourbillon de Rankine. Cependant, nous choisirons dans cette étude de continuer à nommer ces ondes "ondes inertielles" de façon à simplifier la discussion et les com- paraisons avec le cas du seau de Newton traité en partie III. Aussi, une nouvelle famille d’ondes correspondant à des déformations 2D du coeur en rotation solide existe dans le cas du tourbillon de Rankine à surface libre. Ces ondes correspondent aux ondes de Kelvin 2D et sont nommées ondes de Kelvin-Kirchhoff (KK) en référence aux travaux de Kirchhoff sur le cas elliptique (voir Saffman (1992)). Ces ondesKK n’ont pas été visualisées dans le seau de Newton car la zone en rotation solide est entourée d’une paroi rigide dans ce cas.
Les différents régimes de champ de base associés au tourbillon de Rankine ont été décrits au cha- pitre 6 (voir figure 6.1 en particulier). Nous rappelons que deux configurations sont distinguées, le régime mouillé (W ) et le régime démouillés où une zone en rotation solide est présente (DC). Pour des rotations plus rapides, le coeur en rotation solide disparaît pour laisser place à un écoulement purement potentiel (DP ). Ce dernier cas correspond aux résultats de la partie IV. Pour une valeur de a donnée, ces trois régimes sont successivement obtenus lorsque l’on augmente le nombre de Froude (F = ΩpR/g). Nous nous réfèrerons au chapitre 6 concernant les détails de ces différentes configurations.
Dans un premier temps, nous présentons les résultats de stabilité d’un modèle de type TMBF adapté au tourbillon de Rankine. L’article Fabre et Mougel (2014) (voir annexe E) est entière- ment dédié à l’étude de ce modèle. Seuls les résultats importants sont repris ici et nous renvoyons le lecteur à l’annexe E pour plus de détails. Nous soulignerons en particulier que le régime W conduit à un nouveau type d’instabilité qui semble en lien avec le phénomène de sloshing observé dans les expériences (cf. chapitres 2 et 3). Nous discuterons ensuite la cartographie des instabilités obtenues en comparaison avec celle établie par Tophøj et al. (2013) dans le cas purement poten- tiel. Dans un second temps, des résultats de stabilité globale du tourbillon de Rankine à surface libre seront présentés. Les résultats obtenus dans le régime W par Mougel et al. (2014) seront précisés et étendus au cas DC. Dans ce cas, la présence des différentes familles de modes C, G, R, I et KK sera confirmée et nous montrerons que de nouvelles interactions d’ondes sont obtenues.
176 CHAPITRE 13. ELEMENTS DE STABILITÉ DU TOURBILLON DE RANKINE
(a) W (b) DC (c) DC
Figure 13.1 – Structure de quelques modes instables obtenus. (a) Interaction KK/G m = 4, a = 0.5, F = 1. (b) Interaction KC/G, m = 1, a = 0.3, F = 1.85, (c) Interaction KC/G, m = 2, a = 0.5, F = 1.9.
Notons que dans le cas de faibles profondeurs (approximation shallow water ), la stabilité des tourbillons mouillés non-bornés et dont le champ de base possède une vorticité potentielle monotone a été étudiée par Ford (1994). Le tourbillon de Rankine dans le régimeW et non borné en est un cas particulier. Ford (1994) montre que ce type de champ de base est toujours instable pour de faibles valeurs de Froude vis à vis de perturbations vérifiantsm≥ 2 et toujours instable quelque soit le nombre de Froude pour de grandes valeurs dem. Aussi, une analyse WKBJ grands m est effectuée dans Ford (1994) et permet de décrire cette instabilité en terme d’interaction entre une onde de Rossby et une onde gravitaire. Notons que les ondes dites de Rossby décrites dans Ford (1994) correspondent aux ondes que nous nommons iciKK pour ne pas confondre avec les ondes de Rossby topographiques1.