Description et cartographie de l’instabilité

La figure 9.9 représente l’évolution des fréquences d’oscillation ainsi que du taux de croissance maximal en fonction deξ/R obtenus pour a = 0.3 et m = 2. En particulier, l’évolution de ωi

p R/g en fonction deξ/R montre que l’ensemble des modes sont neutres et que les phénomènes de fusion de modes conduisent à une paire de modes complexes conjuguées3_{. Ainsi, un mode possédant un}

taux d’amplification positif émane nécessairement de ces résonances entre un mode de gravité et un mode centrifuge et le champ de base étudié est donc instable dans un interval deξ/R au voisinage de l’intersection. Les bandes d’instabilité obtenues seront désignées par le couple(ng, nc) en réfé-

rence aux caractéristiques des deux modes qui s’intersectent, à savoirGng et Cnc. Les tendances 3. Dans ce type de système non dissipatif, les modes sont soit neutres, soit appariées à leur complexe conjugué.

9.2. RÉSULTATS OBTENUS 133 0.1 0.2 0 2 4

ω

p

R

/g

(n

= 0, n

= 0)

ξ/R

ω

p

R

/g

(1, 1)

(1, 0)

(0, 1)

(4, 0)

(2, 0)

(3, 0)

Figure 9.9 – Fréquence d’oscillation et taux d’amortissement normalisés en fonction de ξ/R pour a = 0.3 et m = 2.

concernant le taux de croissance pour d’autres valeurs dea et de m sont similaires pour m ≥ 2. Pourm < 2, aucune instabilité n’est observée dans le cadre de paramètres considéré.

Pour une valeur dem et une valeur de a donnée, l’instabilité du couple (ng, nc) = (0, 0) sera nom-

mée instabilité ou résonance principale. Nous parlerons de résonance secondaire en ce qui concerne l’ensemble des autres instabilités. L’instabilité principale est en général l’instabilité qui conduit au taux d’amplification le plus important ainsi qu’à la bande instable la plus large (c.f. figure 9.9 par exemple). Ceci n’est cependant pas toujours valable et nous verrons par exemple au cours de la discussion qui va suivre que pour des rapports d’aspect plus importants, l’instabilité(0, 1) puis l’instabilité(0, 2) peuvent être d’intensité comparable ou plus intense que l’instabilité principale.

Nous constatons sur les figures 9.3 et 9.4 que pourm_{≥ 2, les instabilités sont obtenues pour des} valeurs de fréquence positives et il semble que l’instabilité principale correspond àωr

p

R/g _{≈ m} tant que les valeurs de m et de a restent modérées (disons m < 6 et a < 0.5). Aussi, nous re- marquerons que l’écoulement est toujours stable pour des valeurs de ξ/R au delà de la bande d’instabilité principale. Au contraire, les croisements déstabilisants sont de plus en plus nombreux lorsque ξ/R → 0. En conséquence, les différentes bulles d’instabilité se rapprochent progressive- ment, se chevauchent et l’écoulement est finalement toujours instable lorsqueξ/R est inférieur à un certain seuil. A ce stade, il convient de préciser que nous ne chercherons pas nécessairement à décrire les résultats obtenus pour de très faibles valeurs deξ/R dans cette section. En effet, nous avons mis en évidence à la partie II que pour de faibles rotations, le champ de base potentiel n’est pas représentatif de l’expérience à fond tournant et un modèle incluant un coeur en rotation solide est d’avantage pertinent dans ce régime. Ainsi, uniquement les instabilités apparaissant pour des valeurs deξ/R suffisantes peuvent éventuellement être reliées à des phénomènes observés dans les expériences. Notons cependant que pour une valeur deξ fixée, il est également possible de faire tendreξ/R vers zéro en repoussant le cylindre externe de rayon R à l’infini. Cette limite peut donc être vue comme le cas du tourbillon potentiel non confiné. Une étude de cette configuration par une méthode WKBJ pour de grandes valeurs dem et dans l’approximation de faibles profondeurs est proposée à la section 11.3.

Dans Tophøj et al. (2013) une cartographie des zones d’instabilité principales(0, 0) est donnée dans l’espace des paramètres(H, fb)4 et pour m allant de 2 à 8 (voir Annexe B, figure 4 (b)). Il

est montré que l’instabilité principale est étroitement liée à la formation des motifs polygonaux. L’objectif consiste ici à souligner la présence d’autres interactions de modes avec une structure radiale plus complexe et ainsi à compléter la cartographie établie par Tophøj et al. (2013). Pour cela nous souhaitons construire un diagramme de stabilité dans l’espace des paramètre (a, ξ/R) qui inclut l’ensemble des instabilités associées à un taux d’amplification suffisamment important.

134 CHAPITRE 9. STABILITÉ D’UN TOURBILLON POTENTIEL

Figure 9.10 – Cartographie des zones instables dans l’espace des paramètres (a, ξ/R) pour m = 2. Les carrés correspondent aux résultats non-visqueux issus de la méthode numérique présentée et pour lesquels uniquement la résonance principale est conservée (idem Tophøj et al. (2013)). Les niveaux de gris correspondent aux résultats potentiels visqueux pour lesquels la viscosité est ajoutée uniquement pour filtrer les résonances de faible intensité (C−1 = 104_).

Dans cet objectif, un modèle potentiel visqueux est introduit et la viscosité jouera ici le rôle d’un filtre pour les instabilités les plus faibles. La viscosité est introduite dans l’équation dynamique sur la surface libre (p = gη) qui devient alors

p− 2ν∂

2_φ

∂n2 = gη, sur ∂S0, (9.16)

avec ν la viscosité cinématique et ∂φ/∂n = ∇φ.n. La méthode de résolution utilisée est alors identique à celle présentée précédemment en remplaçant l’équation (9.6d) par l’équation (9.16). Aucune difficulté particulière n’est ajoutée au cours de ce processus.

La figure 9.10 montre la cartographie des instabilités correspondant àm = 2 dans l’espace des paramètres(a, ξ/R). Les niveaux de gris correspondent aux contours de taux d’amplification obte- nus dans le cas potentiel visqueux pour un nombre de Reynolds gravitationnelC−1_{= R}√_{Rg/ν =}

104_{. A titre de comparaison, les symboles carrés noirs correspondent aux seuils d’instabilité prin-}

cipale(0, 0) obtenus dans le cas potentiel non visqueux. La comparaison montre que l’introduction de la viscosité affecte très peu les seuils de l’instabilité principale pour la valeur deC−1 _{considérée.}

La viscosité ainsi introduite semble donc bien remplir son rôle, à savoir localiser de façon correcte les seuils du cas non visqueux tout en filtrant les instabilités les plus faibles.

Dans le casm = 2 et sur toute la gamme a_{∈ [0.1, 1], on constate sur la figure 9.10 que l’instabilité} principale est la plus intense, avec un taux d’amplification maximal d’environ0.135 (valeur non visqueuse) obtenu poura≈ 0.4 et ξ/R ≈ 0.2. Concernant les instabilités secondaires les plus im- portantes, deux familles principales sont à considérer : les instabilités du type(0, nc) ; et celles du

type(ng, 0). Les instabilités ne mettant pas en jeux les modes G0ouC0semblent être de très faible

intensité (voir aussi figure 9.9 où l’instabilité(1, 1) est visible). La figure 9.10 montre en particu- lier que dans le casm = 2, les instabilités des couples (ng, 0) sont particulièrement intenses pour

9.2. RÉSULTATS OBTENUS 135

Figure 9.11 – Cartographie des zones instables (grises) dans l’espace des paramètres (a, ξ/R) pour m = 2 (lignes pleines), m = 3 (lignes discontinues-pointillées) et m = 4 (pas de lignes). Résultats potentiels visqueux obtenus pourC−1= 10−4. Pourm = 3, la position de la bande (0, 1) est soulignée de façon à clarifier une discussion du chapitre 10.

a < 0.5, tandis que les instabilités (0, nc) sont importantes pour a > 0.5. Il semble que l’instabilité

(0, 1) devienne d’intensité comparable à l’instabilité principale pour a > 1 et il peut être observé que l’instabilité(1, 0) est importante pour a_{≈ 0.2.}

Ces observations peuvent se comprendre à partir d’arguments géométriques sur la forme deh0(r).

Pour cela, deux longueurs caractéristiques du champ de base sont à comparer : la hauteur d’eau en r = R notée ζ et l’épaisseur radiale de la couche fluide en z = 0 qui vaut R− ξ. En par- tant de l’hypothèse que l’instabilité est d’intensité maximale lorsque les longueurs d’onde des ondes gravitaire et centrifuge sont comparables, le maximum d’instabilité est alors obtenu pour ζ/(nc+ 1) = (R− ξ)/(ng+ 1). Cette condition fixe donc le rapport (nc+ 1)/(ng+ 1) suivant le

rapport de longueurs ζ/(R− ξ). Il peut être montré à partir de l’équation (9.4a) que le rapport ζ/(R_{− ξ) augmente lorsque l’on augmente a et/ou ξ. Ainsi, le fait que les instabilités de type} (ng, 0) (resp. (0, nc)) soient particulièrement intenses pour de a < 1 (resp. a > 1) peut s’expliquer

qualitativement par ce rapport de longueurs exprimant le confinement relatif entre les ondes cen- trifuges et les ondes gravitaires.

La figure 9.11 représente le diagramme de stabilité obtenu dans l’espace(a, ξ/R) avec une super- position des résonances pour différentsm. Les zones grises correspondent aux zones instables ob- tenues pourm = 2 (entre les lignes noires continues), m = 3 (lignes noires discontinues-pointillées) etm = 4 (pas de lignes). Dans les trois cas, les bandes les plus larges correspondent aux instabilités principales obtenues dans Tophøj et al. (2013). Ces résultats révèlent la complexité du diagramme de stabilité complet en tenant compte des résonances secondaires. Il peut être remarqué sur ce diagramme que des zones instables pour différentes valeurs dem peuvent se chevaucher. Dans le cadre de la théorie linéaire, l’état résultant correspond au mode possédant le taux d’amplification le plus important. Des interactions non-linéaires pouvant conduire à des états mixtes sont cependant

136 CHAPITRE 9. STABILITÉ D’UN TOURBILLON POTENTIEL