en déduit ainsi la stabilité des motifs associés et souligne l’accord entre théorie et observations expérimentales. Egalement, la vorticité associée à chaque point vortex induit une vitesse azimutale qui pourrait expliquer la rotation d’ensemble du système polygonal. Précisons que ces explications restent questionnées (voir en particulier Ait Abderrahmane et al. (2013); Bergmann et al. (2012, 2011); Vatistas et al. (2008)) et la stabilité des motifs polygonaux reste donc une question ouverte.
2.5
Conclusion
Pour conclure ce chapitre, soulignons qu’une grande variété de phénomènes conduisant à des ruptures de symétries dans l’expérience à fond tournant est reportée dans la littérature. Dans un soucis de clarté, nous avons proposé une classification qui permet de séparer ces phénomènes en deux grandes catégories. La première catégorie correspond aux phénomènes qui ne semblent pas être liés à la présence de la surface libre et n’impliquent pas d’asymétries importantes de celle-ci. Dans la littérature ces phénomènes ont notamment été étudiés dans le régimeF 1 et semblent correspondre à des instabilités de cisaillement de type Kelvin-Helmholtz. La seconde catégorie in- clut l’ensemble des phénomènes mettant en jeu d’importantes asymétries de la surface libre. Ces phénomènes apparaissent notamment dans le régimeF =O(1).
Notre travail vise à étudier cette seconde catégorie de rupture de symétrie. En particulier nous nous focaliserons d’avantage sur l’étude de la formation de ces motifs asymétriques plutôt que sur la stabilité des états obtenus. Egalement, nous nous concentrerons sur le cas très peu visqueux correspondant àC−1& 104 qui est le plus étudié expérimentalement.
Le chapitre qui suit est entièrement basé sur des résultats de la littérature. Nous y présenterons une cartographie détaillée des phénomènes de rupture de symétrie de la surface libre (zones d’ap- parition des polygones tournants, du switching et du sloshing) dans l’espace des paramètres(a, F ) en se focalisant sur le régime très peu visqueux. Aussi, nous préciserons dans un second temps les
Chapitre 3
Le diagramme des états dans l’espace
des paramètres
(a, F )
Ce chapitre vise à donner une cartographie générale des phénomènes de rupture de symétrie de la surface libre observés dans l’expérience à fond tournant. Dans ce but, une synthèse des résultats expérimentaux de la littérature est proposée. Nous présenterons tout d’abord une cartographie des zones d’apparition des polygones tournants, du switching et du sloshing dans l’espace des paramètres (a, F ). Nous donnerons ensuite quelques éléments issus de la littérature concernant l’influence de la viscosité et de la tension de surface sur la cartographie obtenue.
Les figures 3.1 et 3.2 permettent de localiser les zones d’observation des polygones tournants, ainsi que des phénomènes d’alternance temporelle (switching et sloshing) dans l’espace des paramètres (a, F ). Ces deux figures mises en parallèle synthétisent les principaux phénomènes de rupture de symétrie de la surface libre que l’on peut visualiser dans une expérience à fond tournant dans le régimeC−1 & 104.
3.1
Cartographie des polygones tournants
En fixanta et en augmentant progressivement F , les figures 3.1 et 3.2 montrent que l’on ren- contre successivement plusieurs états de surface libre différents. Pour de faibles valeurs deF , la surface libre est axisymétrique. Cependant, pour des valeurs deF =O(1) des motifs polygonaux allant de l’ellipse (m = 2) à l’hexagone (m = 6) sont obtenus. Il est également constaté que les polygones ont un nombre de coins qui augmente avecF et que la surface libre se re-symétrise pour des valeurs deF importantes. Aussi, les bandes d’observation des polygones deviennent plus fines lorsquem augmente.
L’ensemble de ces observations reste valable sur toute la gamme dea considérée sur les figures 3.1 et 3.2. Il est cependant constaté que les bandes d’apparition des motifs polygonaux se décalent vers de plus grandes valeurs deF lorsque a est augmenté. L’aspect général du diagramme obtenu dans l’espace des paramètres(a, F ) correspond alors à des bandes possédant une dépendance en a qui semble linéaire. D’autre part, soulignons qu’aucun motif de type m = 1 n’est obtenu1 dans
l’ensemble de la gamme des paramètres considérée sur les figures 3.1 et 3.2. Précisons également que tous les jeux de données représentés sur ces figures confirment les observations mentionnées jusqu’à présent.
Détaillons maintenant les transitions entre deux états polygonaux successifs. Tous les résultats (hormis ceux de Vatistas) montrent que ces transitions semblent brutales, sans repasser par un état axisymétrique. Il convient ici de nuancer ce point. Tout d’abord, la figure 2.5 présentée au chapitre précédent montre que la forme des polygones évolue au sein de leur zone d’observation. En particulier, l’amplitude associée à ces motifs semble diminuer lorsque F augmente et on se rapproche donc du cas axisymétrique lorsqu’on atteint la partie supérieure (grandsF ) de la zone d’existence d’un polygone. D’autre part, en ce qui concerne les résultats de Vatistas (figure 3.1), les zones de séparation entre les polygones ne doivent pas être interprétées comme une re-symétrisation de la surface libre, mais comme une zone de transition caractérisée par l’apparition d’un état in- termédiaire combinant le motif àm sommets et celui à m + 1 sommets pour former un état mixte. Vatistas et al. (2008) soulignent le fait que la présence de ces états mixtes semble due à la diffé- rence de rayon entre le disque en rotation et le cylindre extérieur (en comparaison à l’expérience
1. Les motifsm = 1 correspondent à une rotation excentrée de la zone circulaire centrale autour de l’axe de rotation. Motifs parfois appelés monogones, cf. Bach et al. (2014).
34 CHAPITRE 3. LE DIAGRAMME DES ÉTATS
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
2
3
4
5
0
8.64 Sy Sw As Sy’ Janssonet al (2006) 145mmsetup Janssonet al (2006) 194mmsetup Vatistas (1990) Vatistas et al (2008) Vatistas (1990) (Sloshing) As As’ Suzuki et al (2006) Tasaki andIima(2009)Figure 3.1 – Zones d’observation des différentes ruptures de symétrie dans l’espace des paramètres (a, F ) (figure extraite de Iga et al. (2014)). Superposition de résultats expérimentaux répertoriés dans le tableau 2.1. Les niveaux de gris correspondent aux états polygonaux, allant du plus clair pour les ellipses au noir pour les hexagones. Les zones laissées blanches correspondent soit à des états quasi-axisymériques, soit à des zones qui n’ont pas été parcourues expérimentalement (ou à des états transitoires mixtes en ce qui concerne les intervalles intermédiaires dans les données de Vatistas). Les résultats ont été obtenus avec de l’eau, à l’exception de Jansson et al. (2006) (lignes pointillées) pour lesquels le fluide utilisé est de l’éthylène glycol (ellipses entre les deux lignes en pointillés, triangles au dessus). Concernant les résultats de Suzuki et al. (2006) et Tasaka et Iima (2009) ; Sy et Sy’ : états axisymétriques, As et As’ : états asymétriques (ellipses), Sw : switching entre As et Sy ; un phénomène d’hystérésis est observé poura = 0.94 et F ∈ [4.6, 5]. A noter que le switching observé initialement par Vatistas (1990) se place en(a = 2.2, F = 9.0) et n’est donc pas représenté ici.