Equation d'état astrophysique

Sur Terre, le milieu subissant une détonation est un milieu moléculaire ga-zeux (i.e. hydrocarbure-air, H2 - 02), liquide (i.e. nitrométhane) ou solide. A l'intérieur des étoiles, la matière est sous la forme d'un plasma fortement ionisé constitué d'ions, d'électrons libres et de photons. Un tel plasma, dans lequel le champ radiatif peut contribuer de manière signicative à la pres-sion et à l'énergie interne, est parfois qualié de plasma stellaire radiatif. Pour une étoile de la séquence principale du Hertzsprung-Russel (Ÿ1.5) ou

Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 50 une étoile géante, les régions les plus externes de l'astre sont constituées d'un plasma dont l'ionisation n'est que partielle. A l'intérieur des étoiles naines blanches, ou dans la matière comprimée accrétée à la surface d'une étoile compacte (naine blanche ou étoile à neutrons), les conditions de tempéra-ture et de densité sont telles que l'ionisation totale du mélange constitue une excellente approximation. Une telle hypothèse sera donc adoptée par la suite dans le cadre de notre modélisation des détonations. De même, l'épais-seur optique de ces régions très denses est susamment grande pour pouvoir considérer que l'équilibre thermodynamique entre la matière et la radiation est atteinte à la température locale caractérisant chaque élément de uide stellaire. Cette situation, désignée habituellement sous le terme d'équilibre thermodynamique local (ETL), sera également supposée être réalisée dans notre travail. Dans ces conditions, à l'exclusion de quelques régimes asymp-totiques de température et de densité, il n'existe aucune formulation analy-tique générale de l'équation d'état d'un plasma stellaire. En astrophysique, on utilise généralement deux formes fonctionnelles pour représenter cette équation d'état :

p=p(ρ, T,Y), (2.7)

e=e(ρ, T,Y), (2.8) oùρ, T,Y représentent respectivement la densité, la température et les abon-dances molaires (voir eq. 2.27) des espèces composant le plasma. La fonction-nelle (2.7) caractérise la pressionpdu uide, tandis que la fonctionnelle (2.8) caractérise son énergie interne spéciquee. Pour un volumeV contenantN_i

particules de l'espèceià la températureT et à l'équilibre thermodynamique local, les quantitéspetepeuvent être calculées à partir de l'énergie libre de Helmoltz F dénie par la relation [112]

F(T, V,{N_i}) =−k_BTlnZ(T, V,{N_i}), (2.9) où la grande fonction de partition Z du système, est donnée par

lnZ=^X i X j G_i,jln ( 1±exp µ η_i− ^εi,j k_BT ¶ )±1 . (2.10) Dans cette expression, les quantitésη_i etG_i,j représentent respectivement le paramètre de dégénerescence de l'espèce i et la multiplicité d'état ou poids statistique de l'étatj d'une particule de l'espècei. Cette dernière mesure le nombre d'états quantiques distincts pouvant être réalisés par une particule de l'espèceipour un même état d'énergieε_i,j. La dégénérescenceη_iest reliée au potentiel chimiqueµ_i de l'espèceipar

η_i= ^µi

Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 51 Le signe + ou − dans l'équation (2.10) est adopté selon que les parti-culesisont des fermions ou des bosons.

Lorsque l'énergie cinétique de translation des particules du plasma domine largement l'énergie d'interaction entre les particules, le mouvement de chaque particule peut être considéré comme indépendant des autres. Un tel plasma est dit idéal et le potentiel thermodynamiqueF prend alors la forme d'une somme

F =F_ion+F_lept+F_rad , (2.12) oùF_ion,F_lept etF_rad représentent respectivement les contributions des ions, des leptons et du champ de radiation en équilibre thermodynamique local avec la matière. Nous préférons parler de leptons plutôt que d'électrons libres car lorsque la température du plasma est telle que l'énergie thermiquek_BT

devient voisine de2m_ec2, où m_e est la masse au repos de l'électron et c la vitesse de la lumière dans le vide, des paires électrons-positons apparaissent dans le milieu. Le terme lept fait référence aux électrons d'ionisation et aux paires électron-positon présentes dans le plasma stellaire. Chacune des com-posantes du plasma obéit aux relations thermodynamiques

p(T, V,{N_i}) = − ^{∂F(T, V,{Ni})} ∂V ¯ ¯ ¯ ¯ T,{Ni} , (2.13) S(T, V,{N_i}) = − ^{∂F(T, V,{Ni})} ∂T ¯ ¯ ¯ ¯ V,{Ni} , (2.14) U(T, V,{N_i}) = F+T S , (2.15) où S est l'entropie du système et U son énergie interne. Enn, l'énergie interne spéciquee est donnée par,

e= ^U

ρV . (2.16)

Les conditions de température et de densité typiques des plasmas stellaires auxquels nous nous intéressons sont telles que −µ_i/k_BT est beaucoup plus grand que l'unité pour toutes les espèces ioniquesi. Dans ces circonstances, les ions sont dits non dégénérés et obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann. La situation est plus complexe pour les leptons (électrons et positons). Dans les domaines de température et de densité que nous avons à considérer, ces fermions sont gouvernés par la statistique de Fermi-Dirac pour un degré de dégénérescence (c'est-à-dire une valeur du paramètreη) variable. Lorsqueη → −∞, les leptons obéissent en très bonne approxima-tion à la statistique de Maxwell-Boltzmann, tandis que leur distribuapproxima-tion tend vers celle de Fermi-Dirac à température nulle siη→+∞. Cette dernière si-tuation, pour laquelle la pression devient indépendante de la température,

Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 52 est généralement qualiée de totalement dégénérée . En outre, dans les domaines de température et de densité qui nous intéressent, la distribution des vitesses des leptons doit être décrite par la cinématique relativiste. Pour quantier cet eet, on dénit habituellement un paramètre de relativité,

β = ^kBT

m_ec2 . (2.17) La composante leptonique est dite ultra-relativiste lorsqueβ → ∞, non re-lativiste pour β = 0 et arbitrairement relativiste pour 0 < β < ∞. En ce qui concerne les photons à l'équilibre thermodynamique local avec la matière stellaire, ils obéissent en excellente approximation à la distribution de Planck. Tenant compte de toutes ces considérations, les équations (2.7) et (2.8) de-viennent

p = p_ion+p_lept+p_rad (2.18)

e = e_ion+e_lept+e_rad (2.19) où les indices sont dénis à l'équation (2.12) et où

p_ion = RρT Y , (2.20) p_rad = ⁴ 3 σ c^T 4 , (2.21) e_ion = ³ 2 p_ion ρ , (2.22) e_rad = ¹ 3^prad , (2.23) avec Y = ^X k Y_k , (2.24) R = N_Ak_B , (2.25) σ = ¹² 5 Ã π5k4 B c2h3 ! , (2.26)

oùR, h,σetN_Areprésentent respectivement les constantes des gaz parfaits, de Planck, de Stephan et le nombre d'Avogadro. La quantitéY_k est l'abon-dance molaire de l'espèce ioniquek. Elle est reliée à la fraction massiqueX_k

de cette espèce par

Y_k = ^Xk

A_k^, (2.27)

Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 53 Pour des degrés de dégénérescence et de relativité arbitraires, p_lept et e_lept

sont donnés par les expressions générales [34]

p_lept = 32^√2Aβ^5/2 ³ F_3/2(η, β) +¹ 2^{βF5/2(η, β)} ´ , (2.28) e_lept = 48^√2A ( β^5/2 ³ F_3/2(η, β) +βF_5/2(η, β) ´ + β^3/2 ³ F_1/2(−η− ² β^{, β) +βF3/2(−η−} 2 β^{, β)} ´⁾ , (2.29) avec A = ^{π m4ec5} 3h3 (2.30) F_k(η, β) = ¹ 2 ³ F_k(η, β) +F_k(−η− ² β^{, β)} ´ (2.31) F_k(η, β) = Z _∞ 0 ³ 1 +^{β x}₂ ´_1/2 xk exp(−η+x) + 1^dx. (2.32)

La fonction F_k est appelée intégrale généralisée de Fermi-Dirac d'indice

k. L'évaluation de ces intégrales nécessite la mise en oeuvre de techniques numériques adaptées. La quantitéx est dénie par

x ≡ ^pP2

e c2+m2

ec4−m_ec² , (2.33) oùP_e représente l'impulsion de l'électron.

La structure des équations (2.18) et ((2.18)) repose sur l'approximation du plasma idéal. Un plasma étant constitué d'un ensemble de charges positives et négatives en intéraction, il pourrait sembler que l'interaction coulombienne doit toujours être prise en compte dans la représentation de son état thermo-dynamique. Il faut cependant prendre en compte les deux eets antagonistes suivants :

une tendance au désordre lié à l'agitation thermique des particules du plasma ;

une tendance à l'organisation due aux aspects collectifs1 de l'interac-tion coulombienne.

Lorsque le premier eet est dominant, les mouvements des particules sont relativement indépendants les uns des autres, le plasma est dit non corrélé ou idéal. Lorsque le second eet est dominant, le plasma est dit corrélé, ou non idéal. L'importance relative de ces deux tendances peut être mesurée par

1Le potentiel électrique d'une particule dans le plasma est régi par toutes les particules chargées voisines.

Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 54 un facteur de couplageΓ qui est déni comme le rapport de l'énergie poten-tielle électrostatique et de l'énergie thermiquek_BT. LorsqueΓest négligeable devant l'unité, le plasma stellaire est idéal et est très bien représenté par l'équation d'état décrite ci-dessus. Pour les situations fortement dégénérées (η >>1), c'est-à-dire pour un plasma de faible température et de haute den-sité, les interactions coulombiennes entre particules chargées peuvent devenir non négligeables. La prise en considération de ces eets se fait généralement par l'ajout d'un terme supplémentaire dans l'équation d'état [113], comme il sera discuté au chapitre 3.