Corrélation entre le modèle ZND et la structuration

Bien que la structure complexe, tridimensionnelle et instationnaire, du front de détonation soit en complète contradiction avec les hypothèses de base du modèle ZND, les très nombreuses expériences dans les gaz terrestres ont montré que ce modèle constitue une excellente approximation du comporte-ment réel des détonations. En eet, les écarts entre les célérités mesurées et calculées (ZND et CJ) sont de l'ordre du pour-cent. D'autre part, ces

expé-Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 69

Fig. 2.12 Détonation cellulaire : Structure réelle d'une onde de déto-nation. [124]

riences montrent également qu'il existe une corrélation robuste entre la taille

λ(Fig. 2.12) des cellules et l'épaisseur de la zone de réaction extraite du mo-dèle ZND plan [125]. Plus précisément, cette corrélation nous indique que

λ=k Lc, où Lc désigne la longueur chimique caractéristique (LCC) dénie comme la distance qui sépare le choc d'un point de la zone de réaction où la fraction massique initiale du combustible a chuté de moitié [126]. Lc est souvent confondu avec la longueur d'induction Li (Fig. 2.14) dénit comme la distance caractéristique sur laquelle l'écoulement n'a pas encore subi de croissance notable de température. La quantiték est un facteur de propor-tionnalité mesuré expérimentalement. Plus généralement, pour les mélanges à combustion multiétape, les expériences montrent plusieurs tailles de cel-lules [124], chacune associée à une étape de libération d'énergie (Fig. 2.15).

Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 70

Fig. 2.13 Détonation cellulaire : La structure cellulaire résulte de la trajectoire de points triples.

D zone de réaction

ξ

T

Fig. 2.14 Longueur d'induction : La longueur d'inductionL_i est repré-sentative du temps (d'induction) caractéristique d'amorçage des réactions chimiques.

Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 71

Fig. 2.15 Détonations cellulaires : Structuration cellulaire à deux ni-veaux résultant d'une cinétique à deux étapes de libération d'énergie. [124] Pour conclure ce chapitre, insistons sur le fait que, même si le modèle ZND ne permet pas de reproduire le comportement réel (instationnaire et multi-dimensionnel) des détonations, il fournit en revanche des informations qua-litatives relatives au comportement moyen de l'écoulement dans la zone de réaction. Il constitue de ce fait un outil essentiel pour la mise en place de simulations des détonations multidimensionnelles et dépendantes du temps. En eet, les diérentes longueurs caractéristiques (L_i, L_c, l_setl∗) sont extrê-mement dépendantes de la cinétique chimique : à chaque étape de libération d'énergie correspond un temps caractéristique de combustion imposé par la réaction dominante (la plus énergétique). Comme ces échelles de temps sont extrêmement disparates, seules les modélisations monodimensionnelles ins-tationnaires (modèle ZND) sont en mesure d'en donner une estimation préa-lable. Les informations recueillies à l'aide du modèle ZND sont ensuite uti-lisées dans les simulations instationnaires multidimensionnelles. Elles aident à la mise en place d'un maillage spatial approprié aux schémas d'intégration numériques, ainsi qu'à la sélection des conditions initiales (état post-choc) et des conditions aux limites (état d'équilibre en n de zone de réaction) de la détonation. A priori, il importe que toutes les échelles caractéristiques impliquées dans l'écoulement soient résolues. En particulier, les phénomènes d'extinction et de réamorçage que nous avons précédemment décrits (Ÿ2.3.2) ne peuvent être reproduits que si tous les niveaux de structures cellulaires sont résolus simultanément (Fig. 2.11). Un réamorçage local résulte du ca-ractère tridimensionnel instationnaire de l'écoulement antérieur à

l'extinc-Chap.2 Eléments de la théorie des détonations dans les gaz 72 tion [127, 128, 129]. De telles simulations avec les moyens actuels sont encore impraticables dans le contexte astrophysique car, comme nous le verrons au chapitre 4, les échelles caractéristiques de combustion peuvent évoluer sur quelques 11 ordres de grandeur !

CHAPITRE 3

Détonation thermonucléaire à l'équilibre nucléaire statistique

Ce chapitre se consacre à l'étude des détonations stellaires de Chapman-Jouguet, c'est-à-dire des détonations thermonucléaires à l'équilibre nucléaire statistique (ENS) dans le contexte astrophysique. Ces résultats nous seront utiles pour aborder aux chapitre 4 et 5 l'étude plus détaillée des détonations monodimensionnelles stationnaires (ZND plan et ZND courbe) qui font l'ob-jet des prochains chapitres. Notre étude sera menée pour des plasmas dont la température, la densité et la composition chimique sont représentatives de l'état thermodynamiques des naines blanches aux diérents stades de leur évolution. Dans un premier temps, les plasmas seront considérés comme idéaux. La même étude sera ensuite répétée avec la prise en considération des eets non idéaux dans l'équation d'état du uide stellaire.

3.1 Mise en oeuvre

Pour un état initial donné (état 0), l'analyse de la relation d'Hugoniot (eq. 2.5) et de ses fonctions constitutives (eq. 2.7, 2.8 et 2.35) montre que nous avons2 +K inconnues, à savoirρ₁, T₁ etY_{EN S} qui représentent respec-tivement la densité, la température et les fractions molaires des K espèces ioniques qui composent le plasma. La conservation de la charge électrique nous permet d'écrire

Y_e = ^X i Y_iZ_i = Y_p+^X Z=1 X N=1 ZY(Z, N) . (3.1) 73

Chap.3 Détonation thermonucléaire à l'équilibre nucléaire statistique 74 et la conservation de la masse s'exprime comme

1 = ^X i X_i = ^X i Y_iA_i = Y_e+Y_n+^X Z=1 X N=1 N Y(Z, N) . (3.2) Rappelons queY(Z, N) désigne la fraction molaire d'un noyau constitué de

Zprotons et deN neutrons (A=Z+N), tandis queY_e,Y_petY_nreprésentent respectivement les fractions molaires des électrons d'ionisation, des protons et des neutrons. Introduisons les variables réduites

ε= ^e1 e₀^{, ε0 =} p₀V₀ e₀ ^{, P =} p₁ p₀ , V = ^V1 V₀ ^{et Q=} q₀₁ e₀ . L'équation (2.5) se réécrit alors

ε−1 = ^ε0

e^{(V −1)(P+ 1) +Q} . (3.3)

Le système à résoudre devient

ε = 1 + ^ε0 e^{(V −1)(P+ 1) +Q} , (3.4) Y_p = Y_e−^X Z=1 X N=1 ZY(Z, N) , (3.5) Y_n = 1−Y_e−^X Z=1 X N=1 N Y(Z, N) , (3.6) avec les fonctions constitutives,

ε = ε(ρ, T,Y) , (3.7)

P = P(ρ, T,Y) , (3.8)

Y = Y(ρ, T, Y_p, Y_n) . (3.9) Partant d'un état initial donné (ρ₀,T₀,Y₀), le système (3.4 - 3.6) peut être résolu pour chaque valeur deρ₁ par la méthode de Newton-Raphson avecT,

Y_n etY_p comme quantités inconnues.

Comme nous l'avons signalé au chapitre précédent, les expressions de l'éner-gie interne spécique et de la pression ne sont pas des fonctions analytiques. Les dérivées de ces deux fonctions sont alors approchées par diérences nies. Toutes ces quantités (e, p,∂e/∂ρ,∂e/∂T,∂p/∂ρet∂p/∂T) ont été préalable-ment tabulées de sorte que l'interpolation dans les tables vérie les relations

Chap.3 Détonation thermonucléaire à l'équilibre nucléaire statistique 75 de Maxwell [130] à huit décimales près. Notre travail réexamine les résultats de Khokhlov (1988) [113] en utilisant des données nucléaires plus récentes, un nombre plus grand d'espèces nucléaires et une nouvelle gamme de com-positions chimiques initiales. Les excès de masse (nécessaires au calcul de

q₀₁) et les fonctions de partition ont été tirées de la banque BRUSLIB de données nucléaires [131]. Les espèces nucléaires prises en compte dans notre travail sont les protons, les neutrons et tous les nucléides du plan (Z,N) jus-qu'au88Kr (plus de 700 nucléides) situés entre les lignes de drip protonique et neutronique.