Epaisseur du film

e − θ2 d)V = L^3ηV 2 θd . (2.2)

De cette ´egalit´e, on tire alors la loi donnant l’angle dynamique θ_d(V ) adopt´e par le m´enisque lorsque la plaque est d´eplac´ee `a la vitesse V , ou, r´eciproquement, la loi donnant la vitesse de recul´ee V (θd) de la ligne de contact en fonction de l’angle dynamique :

V (θ_d) = V∗^(θe²− θ2 d)θ_d

6L ^{, (2.3)}

o`u la vitesse capillaire est d´efinie selon V∗_{= γ/η .}

On constate alors facilement que cette loi V (θ_d) admet une vitesse maximum, de l’ordre de

V∗_θ3

e [21]. Lorsque l’on tire la plaque plus rapidement que cette vitesse maximum, les forces capillaires ne peuvent plus fournir l’´energie n´ecessaire au maintien de la ligne de contact et l’´egalit´e (2.2) devient incorrecte. La ligne de contact est alors entraˆın´ee `a l’infini, d´eposant derri`ere elle un film de liquide, dit ✭✭ film de Landau-Levich ✮✮. La vitesse critique Vc au-del`a de laquelle un film est d´epos´e sur la plaque est ainsi assimilable `a la vitesse maximale de la courbe de fonctionnement V (θ_d) :

V_c V∗_θ3

e (S < 0). (2.4)

Dans le cas du mouillage total (S ≥ 0), la situation est plus simple. La formation d’un film

´etant toujours ´energ´etiquement favorable, le liquide est entraˆın´e sur la plaque d`es que la vitesse de tirage est non-nulle. En terme de vitesse critique, on a donc

Vc= 0 (S ≥ 0). (2.5)

Dans le cas d’une surface pr´esentant une hyst´er´esis de l’angle de contact, on ne sait `a ce jour qu’assez peu de la loi liant la vitesse `a l’angle dynamique [l’´equivalent de l’´eq. (2.3)], ce qui rend une extension des calculs pr´ec´edents hasardeuse. N´eanmoins, les exp´eriences men´ees [22,23] ont permis de proposer empiriquement de d´eduire la vitesse critique V_c pour un substrat avec hyst´er´esis de l’expression sans hyst´er´esis (2.4) en y rempla¸cant simplement l’angle de Young θe

par l’angle de recul´ee θ_r :

V_c V∗_θ3

r (2.6)

On notera que cette vitesse est inf´erieure `a celle calcul´ee en l’absence d’hyst´er´esis, car θr< θe : puisque la ligne de contact est soumise `a des forces d’ancrage, elle est plus facilement entraˆın´ee par le mouvement de la surface. Dans le cas d’un liquide totalement mouillant, on avait d´ej`a

V_c = 0 sans hyst´er´esis, on peut d´eduire suite `a la remarque pr´ec´edente que cette valeur reste valable en pr´esence d’hyst´er´esis.

2.1.2 Epaisseur du film^´

Connaissant les conditions requises pour l’apparition d’un film, on cherche maintenant `a connaˆıtre l’´epaisseur du film d´epos´e sur la plaque dans le r´egime de tirage V > V<sub>c</sub>. Nous pr´ e-sentons une approche tr`es simplifi´ee, en lois d’´echelle ; on pourra consulter notamment l’article

V

e

L Meónisque Zone de transition Zone de film Bain

Fig.2.2 –Structure d’un film de Landau-Levich classique, en trois zones. Dans la zone de film, d’´epaisseur

el, les lignes de courant sont parall`eles `a la plaque. Note : les dimensions relatives des diff´erentes zones n’ont pas ´et´e respect´ees par souci de lisibilit´e.

original de Landau et Levich [2] ou les r´efs. [3,4] pour des pr´esentations plus compl`etes, ainsi que la r´ef. [24] pour une approche math´ematiquement rigoureuse (valable `a faible vitesse de tirage), bas´ee sur la th´eorie des raccords asymptotiques.

La morphologie d’un film de Landau-Levich peut ˆetre s´epar´ee en trois zones (voir figure 2.2) : (i) La zone du film proprement dit. Son ´epaisseur est constante et ´egale `a el, o`u l’´ecoulement

se fait avec un profil de vitesse uniforme dans l’´epaisseur.

(ii) Le m´enisque form´e par le liquide, depuis le bain jusqu’`a la plaque. Pour une faible vitesse de tirage, le profil du m´enisque se confond avec le profil d’un m´enisque statique, tronqu´e cependant peu avant la naissance du film, o`u doit s’ins´erer une troisi`eme zone d´ecrite ci-dessous.

(iii) Une zone de transition dans laquelle le film se forme, situ´ee entre le m´enisque statique et la zone du film. Cette zone s’´etend sur une distance que nous noterons σ et pr´esente une ´epaisseur proche de celle du film el.

Ce sont les circonstances de l’´ecoulement dans la zone de transition, o`u naˆıt le film, qui contrˆolent l’´epaisseur finale du film el. Pour ´ecrire les ´equations hydrodynamiques dans cette zone, nous adoptons pour syst`eme de coordonn´ees, un axe z parall`ele `a la plaque (verticale), et un axe x perpendiculaire `a la plaque. Le niveau du bain de liquide loin de la plaque correspond `

a z = 0, et le plan de la plaque `a x = 0. Enfin, Le profil de la surface libre du film est rep´er´e par la fonction e(z).

l’expression (1.3). En raisonnant aux dimensions, ceci se r´ecrit

η^v

e2 γ ^e

σ3, (2.7)

o`u la notation v exprime la vitesse moyenne du liquide dans la zone de transition.

La seconde ´equation vient naturellement de la conservation du d´ebit Q entre la zone de transition et le film proprement dit. Dans la zone du film, on a simplement Q = elV . Dans

la zone de transition , l’´epaisseur est au premier ordre aussi de l’ordre de el, ainsi l’on a aussi

Q elv. On d´eduit, en ´egalant ces deux expressions du d´ebit, l’´egalit´e de la vitesse moyenne dans la zone de transition et de la vitesse de tirage de la plaque :

v V . (2.8)

Enfin, la derni`ere ´equation provient du raccord entre la zone de transition et le m´enisque statique dont les courbures doivent ˆetre ´egales. La courbure dans le m´enisque statique est d’ordre

κ (l’inverse de la longueur capillaire), tandis que du cˆot´e de la zone de transition, elle s’´ecrit

∂²e/∂z² e/σ2. La condition de raccord s’´ecrit donc

e

σ2 κ . (2.9)

En combinant les trois ´equations (2.7), (2.8) et (2.9), on obtient l’expression de l’´epaisseur du film de Landau-Levich que l’on cherchait :

el κ−1_V

V∗

_2/3

. (2.10)

On reconnaˆıt dans cette formule le nombre capillaire Ca, d´efini par le rapport entre la vitesse typique de l’´ecoulement et la vitesse capillaire V∗ _:

Ca = ^V

V∗ ^{. (2.11)}

On peut ainsi r´ecrire l’´epaisseur de Landau-Levich sous sa forme usuelle

el κ⁻¹Ca^2/3. (2.12)

En ins´erant cette derni`ere expression dans l’´eq. (2.9), on peut aussi d´eduire la taille de la zone de transition

σ κ−1_Ca1/3. (2.13)

Lorsque le raccordement (2.9) est effectu´e sur les v´eritables profils (et non en lois d’´echelle), on trouve qu’un pr´efacteur num´erique modifie l´eg`erement l’´equation (2.12), qui devient [3, 4]

el = 0,94 κ−1_Ca2/3. (2.14)

Les r´esultats que nous venons d’´enoncer dans les ´equations (2.12) et (2.13) sont en r´ealit´e valables dans la limite des faibles nombres capillaires Ca (r´egime✭✭ visco-capillaire ✮✮), pour deux

raisons principales.

D’une part, nous avons dans nos calculs n´eglig´e l’influence du drainage gravitaire du film, qui a tendance `a l’amincir. Or, une telle simplification est valable tant que la pression hydrostatique

V

L

H

Bain

z

Air

Fig.2.3 –D´efilement d’un ruban poreux dans un bain de liquide, avec entraˆınement d’un film `a la sortie. La distance L repr´esente la longueur totale du trajet dans le bain, et H donne la hauteur du film.

est faible devant la pression de Laplace dans la zone de transition, c’est-`a-dire tant que l’on a

γe/σ²  ρgσ. En utilisant les r´esultats (2.12) et (2.13) pour el et σ, cette condition se traduit en un crit`ere sur le nombre capillaire,

Ca^1/3  1 , (2.15)

ce qui montre que le nombre capillaire doit rester petit.

D’autre part, nous avons occult´e l’inertie du fluide, qui devient de plus en plus impor-tante quand la vitesse de tirage augmente. L’inertie tend elle `a ´epaissir le film (r´egime ✭✭

visco-inertiel✮✮ [4]). Les nombres sans dimensions pertinents qui doivent ˆetre utilis´es pour ´evaluer la

port´ee des effets inertiels sont le nombre de Reynolds (construit avec l’´epaisseur de Landau-Levich du film) et le nombre de Weber (qui compare la pression cin´etique `a la pression de Laplace). Nous nous contenterons simplement de remarquer que d’un point de vue pratique, les effets inertiels restent en g´en´eral n´egligeables en-dessous de Ca 10−2_.

Enfin, les exp´eriences men´ees [4] avec des fibres [pour lesquelles il faut dans la loi (2.12) remplacer κ−1 _{par le rayon de la fibre] confirment que la loi de Landau-Levich est tr`es bien}

suivie pour des nombres capillaires allant jusqu’environ 10−2_.

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