Un r´egime initial lin´eaire

0 1 2 3 4 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 t (s) A ^moy (cm) d=0,13 mm a) 0 1 2 3 4 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 t (s) A (cm) d=0,13 mm b)

Fig. 5.22 – Evolution de l’amplitude moyenne des structures. a) en coordonn´ees lin´eaires. b) en coordonn´ees semi-logarithmiques. (•) moyenne des amplitudes de chaque ride d´etect´ee individuellement, (O) amplitude ´evalu´ee par d´eviation standard. (β = 39, 7◦

, U = 0, 27 ms−1, d = 132 µm) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 t (s) λ ^moy (cm) a) 0 1 2 3 4 0 5 10 15 20 25 30 Nombre de pics t (s) b)

Fig. 5.23 – a) Evolution de la moyenne λmoy des longueurs d’onde de chaque ride rep´er´ee individuellement. b) Evolution du nombre de structures rep´er´ees. L’apparition ou la dis-parition de structures entraˆıne un changement de la longueur d’onde mesur´ee par cette m´ethode. β = 39, 7◦

, U = 0, 27 ms−1, d = 132 µm.

β > 38◦

et U > 0, 18 ms−1 pour d = 132 µm, des structures ´emergent du bruit plus ou moins simultan´ement. Le spectre de la d´eformation de l’interface de la figure 5.6 p.98 pr´esente un maximum `a la longueur d’onde naturelle du syst`eme, correspondant au mode le plus instable. L’´evolution temporelle de l’amplitude moyenne des rides Amoy(t) au cours d’une exp´erience similaire est port´ee sur la figure 5.22. Une premi`ere phase de croissance r´eguli`ere de l’amplitude, pour A_moy entre 0, 02 et 0, 07 cm, est suivie de ralentissements, le premier ayant lieu `a t = 2, 2 s et A = 0, 07 cm. La courbe trac´ee en coordonn´ees semi-logarithmiques sur la figure 5.22 b est proche d’une droite entre t = 0, 9 s et t = 2, 2 s, la premi`ere phase de croissance est donc exponentielle. La figure 5.23 montre que durant la mˆeme p´eriode, la longueur d’onde moyenne mesur´ee et le nombre de structures d´etect´ees restent constantes.

La croissance exponentielle de l’amplitude des rides est donc associ´ee `a une longueur d’onde constante et un rapport d’aspect faible Amoy(t)/λi < 0, 05. On observe donc pour ce couple de param`etres de contrˆole une phase de croissance lin´eaire de l’instabilit´e naturelle. Dans ce cadre, la pente de la partie lin´eaire de la courbe d’´evolution de l’amplitude correspond au taux de croissance temporel σ du mode de longueur d’onde local λi. Dans la suite, la plus petite valeur prise par la longueur d’onde moyenne au d´ebut de l’exp´erience est prise comme mesure de la longueur d’onde initiale λi. L’´ecart-type ´evalu´e au mˆeme instant donne une estimation de l’erreur associ´ee `a la mesure.

L’observation du r´egime lin´eaire est effectu´ee sur une faible gamme de variation d’am-plitude, inf´erieure `a une d´ecade. Il ne s’agit pas d’un probl`eme de r´esolution spatiale, le dispositif de mesure permet de r´esoudre des ´el´evations inf´erieures au diam`etre d des parti-cules. Or, la rugosit´e naturelle d’une interface granulaire est ´evalu´ee `a un diam`etre de grain d, soit 0, 13 mm pour cette exp´erience. Par cons´equent, une onde d’amplitude inf´erieure au diam`etre du grain d n’a pas de sens, d constitue une longueur de coupure physique du syst`eme. Une limite sup´erieure est impos´ee par l’´evolution des perturbations : lorsque leur amplitude atteint une valeur proche de la longueur caract´eristique de l’´ecoulement d’eau δe ≈ 0, 6 mm, soit quelques diam`etres de grains, les ph´enom`enes non lin´eaires deviennent dominants. Le syst`eme r´eagit ici par un premier ralentissement de croissance mentionn´e plus haut, qui correspond `a la disparition de certaines structures par att´enuation d’ampli-tude.

Suivi de structures et mesure des grandeurs initiales

Un programme de d´etection et suivi automatique des rides une `a une a ´et´e d´evelopp´e afin de mesurer leur taux de croissance et leur vitesse de phase. Comme l’illustre le sch´ema 5.24, quelle que soit la nature de l’instabilit´e, l’observateur positionn´e au sommet du pa-quet d’onde entourant une structure est celui qui per¸coit le taux de croissance r´eel de la perturbation. La technique de suivi lagrangien employ´ee permet donc de mesurer le taux de croissance de rides qui n’apparaissent pas exactement en mˆeme temps, ce qui se produit en particulier pr`es du seuil de l’instabilit´e.

Un exemple de l’´evolution temporelle de 5 rides est pr´esent´e sur la figure 5.25. Les structures apparues en diff´erents lieux et instants pr´esentent des ´evolutions initiales semblables. Les

5.3. R ´EGIME DE CROISSANCE INITIAL 119

x x _x

t ^t t

a) ^{b) c)}

Fig. 5.24 – Trois r´eactions possibles du syst`eme `a une perturbation localis´ee en x = 0 et t = 0. a) stable b) convectivement instable c) absolument instable.

t (s) x (cm) 45 55 65 75 0 5 10 ride 5 ride 1 1

ride 22 ride 20 ride 17

a) 0 2 4 6 8 10 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,1 0,12 0,15 zone de mesur e des taux de cr oissance t (s) A ( cm) b)

Fig. 5.25 – a) Diagramme spatiotemporel pour des valeurs des param`etres de contrˆole proches du seuil. b) Evolution temporelle en coordonn´ees semi-logarithmiques de l’amplitude des 5 structures rep´er´ees sur le diagramme. (∗) ride 5, () ride 11, (O) ride 17, (◦) ride 20, (·) ride 22. (β = 39, 6◦

courbes, en coordonn´ees semi-logarithmiques, sont assez r´eguli`eres et pr´esentent bien une partie lin´eaire dans les premiers instants d’existence des rides, entre les valeurs 0, 03 mm et 0, 065 mm. Le taux de croissance σ de la ride est automatiquement calcul´e comme la pente de la droite passant au plus pr`es des points exp´erimentaux. Afin de pouvoir comparer les r´esultats de plusieurs exp´eriences, le taux de croissance σ est mesur´e pour chaque ride et moyenn´e pour chaque exp´erience.

Dans le cas de l’exp´erience pr´esent´ee au d´ebut du paragraphe, le taux de croissance mesur´e avec cette technique est σ = 0, 75 ± 0, 28s−1. Cette valeur est coh´erente avec la valeur du taux d’´evolution temporelle de l’amplitude moyenne Amoy : σmoy = 0, 67 ± 0, 1s−1. En effet, les rides participent quasi-simultan´ement `a l’augmentation de l’amplitude moyenne dans cette exp´erience. Cette m´ethode fournit donc une estimation correcte du taux de croissance et c’est elle qui a ´et´e utilis´ee pour traiter l’ensemble des exp´eriences. De fa¸con comparable, la vitesse de phase ci des structures est mesur´ee par un ajustement lin´eaire de la trajectoire de chaque ride dans les premiers instants. Les valeurs ainsi obtenues sont moyenn´ees pour chaque exp´erience.