Chapitre I : Revue Bibliographique
1.2 Importance des effets dynamiques
1.2.2 Effets dynamiques sur l’analyse de la propagation et de l’arrêt de fissure
Le facteur d’intensité des contraintes *'()dépend de la longueur (a) et de la géométrie de fissure, de la géométrie de l’éprouvette, et surtout il dépend de la vitesse de propagation ( ) et de l’histoire de propagation. Il existe des solutions analytiques pour *'(). Nous pouvons citer ici les travaux de Yoffe (1951), Craggs (1960), Broberg ( 1962), Freund (1990a), mais ces solutions sont fondées sur des hypothèses qui sont loin de la réalité. Par exemple, dans la solution analytique développée par Yoffe (1951), l’auteur suppose qu’une fissure de Griffith de longueur de 2a se propage dans son plan de fissure initiale à une vitesse constante V. Or, dans cette hypothèse, il suppose aussi que la longueur de fissure (2a) ne change pas au cours de la propagation, c’est-à-dire que la fissure s’ouvre à l’une de ses extrémités, elle se ferme à l’autre extrémité. Evidemment, ce phénomène n’existe pas dans la réalité, mais il est pratique pour l’analyse mathématique.
Freund propose que *'() soit le produit de *}~•~ et d’une fonction qui dépend de la vitesse de propagation (Freund, 1972):
*'() = k v *&%& Équation 1-9
Pour une fissure soumise à un chargement constant de traction sur ses lèvres, qui se propage à une vitesse constante dans un milieu élastique semi-infini, l’auteur trouve que *'() diminue avec la vitesse de propagation. La forme de k v est montrée dans la Figure 1-3 pour des
coefficients de poisson égaux à K ‚ et
K A .
Figure 1-3 : Rapport de ƒ„…†‡/ ƒ„}~•~ en fonction de la vitesse de propagation pour les coefficients de
Poisson égaux à ˆ
Avec le développement de l’informatique, la valeur de *'()peut être calculée avec des méthodes numériques pour obtenir les valeurs de *m'() expérimentale. Nous présentons ici quelques résultats numériques de *'().
La Figure 1-4 (a) nous montre l’évolution de *'() avec la vitesse de propagation de la fissure dans l’acier 4340 (Zehnder and Rosakis, 1990). Nous remarquons que *'() augmente avec la vitesse de propagation. Surtout à grande vitesse de propagation, *'() augmente de manière exponentielle. Kalthoff (1983) met en évidence ce même phénomène sur un polymère : Araladite–B (Figure 1-4 (b)) ainsi que l’influence de la géométrie sur *'() par la méthode des caustiques. Sur les différentes géométries d’éprouvette, les évolutions de *'() avec la vitesse de propagation sont similaires, mais à même vitesse de propagation, les valeurs de *'() ne sont pas identiques pour les trois différents types d’éprouvette. Cela signifie que la valeur de *'() n’est pas transférable d’une éprouvette à l’autre, donc cela pose un problème de transférabilité de l’éprouvette à la structure.
Figure 1-4 : (a) Evolution du facteur d’intensité de contrainte avec la vitesse de propagation. Les résultats sont collectés à partir des essais sur des éprouvettes DCB dans l’acier 4340 (Zehnder and Rosakis, 1990).
(b) Evolution du facteur d’intensité de contrainte avec la vitesse de propagation et la géométrie d’éprouvette en polymère Arladite-B (Kalthoff, 1983).
La Figure 1-5 montre l’évolution de *'() avec la vitesse de propagation sur un acier de cuve
nucléaire A533 à trois différentes températures: -78°C, -12°C et 22°C (Hoagland, 1977). Nous retrouvons la même évolution : *'() augmente avec la vitesse de propagation à basse température. En revanche, cette conclusion ne se vérifie plus lorsque la température d’essai est plus élevée. A température ambiante (22°C), l’auteur trouve que *'() diminue quand la vitesse de propagation augmente. En effet, à cette température, le mécanisme de rupture pendant la propagation est la rupture ductile, ce résultat n’est donc pas contradictoire avec les résultats que nous avons cités auparavant : pendant la propagation de fissure en clivage, *'() augmente avec la vitesse de propagation. Il est donc d’autant plus important de prendre en compte les effets dynamiques quand la vitesse est élevée. C’est également ce qu’à démontré Iung (1994) en comparant le facteur d’intensité des contraintes statique ( *&%&) à des valeurs dynamiques ( *'()) calculées pour différentes vitesses de propagation sur des anneaux. L’auteur a en effet réalisé des essais à -196°C sur des anneaux en acier 2K/‚ ‹, − 1 ŒC. Sur la Figure 1-6, A et K
représentent respectivement le rayon extérieur et le rayon intérieur de l’anneau. L’onde élastique émise à la pointe de fissure se propage dans l’éprouvette entière, son retour à la pointe de fissure intervient après l’arrêt de fissure. Le retour des ondes n’influence donc pas la
propagation et l’arrêt de fissure. Pour cette raison, l’anneau peut être considéré comme une plaque infinie. La Figure 1-6 (b) montre les courbes numériques de l’évolution du facteur d’intensité de contrainte avec l’avancée de la fissure à différentes vitesses de propagation (de 0 à 800 m/s). Le déplacement du vérin de la machine reste constant au cours de la propagation de fissure. Nous remarquons tout d’abord la forme en « cloche » : le facteur d’intensité de contrainte augmente au début de la propagation et la valeur chute ensuite rapidement avec la propagation de fissure. Cela montre la dépendance du facteur d’intensité de contrainte à la longueur de fissure et à la vitesse de propagation. Nous remarquons aussi que l’écart entre l’analyse statique et l’analyse dynamique augmente avec la vitesse de propagation. A faible vitesse propagation ( < 200 y/ ), les deux types d’analyse sont équivalentes, à haute vitesse
de propagation ( ≥ 200 y/ ), la différence devient non négligeable.
Figure 1-5 : Evolution du facteur d’intensité de contrainte avec la vitesse de propagation, essais à trois températures sur l’acier de cuve nucléaire A533 (Hoagland et al., 1977)
Figure 1-6 : (a) Réflexion d’ondes dans l’anneau (b) Evolution du facteur d’intensité de contrainte avec l’avancée de fissure (Iung, 1994a).
Sur la même géométrie d’éprouvette, Bouyne (1999a) calcule le facteur d’intensité des contraintes pendant la propagation de fissure en statique et en dynamique Figure 1-7. Par l’analyse dynamique, l’auteur trouve que *'() est constant au début de la propagation, puis la valeur diminue progressivement, pour ensuite réaugmenter rapidement et former un « pic » lorsque la fissure s’arrête. L’auteur explique que ce « pic » sur la courbe est dû au retour des ondes sur la pointe de fissure. Nous remarquons que *'() < *&%& pendant la propagation, mais *'() > *&%& quand la fissure est proche de l’arrêt.
Figure 1-7 : Facteur d’intensité des contraintes pendant la propagation de fissure sur un anneau. Comparaison entre l’analyse statique et dynamique (Bouyne, 1999a)
Des résultats similaires ont été trouvé par plusieurs auteurs sur l’évolution de la contrainte principale maximale ( *). Prabel (2007) analyse * à la pointe de fissure pendant la propagation pour un essai isotherme sur une éprouvette CT25. L’auteur moyenne la valeur de contrainte sur un demi-disque de rayon de 200@y centré à la pointe de fissure afin de diminuer le bruit
numérique. La Figure 1-8 (a) nous montre les résultats des analyses statique et dynamique. Nous retrouvons le même phénomène que lors de l’analyse du facteur d’intensité des contraintes : *'() < *&%& pendant la propagation, mais
*'() > *&%& proche de l’arrêt. Cela montre l’importance d’effectuer une analyse en dynamique pour calculer la ténacité à l’arrêt ( *%), car la valeur de *% est sous-estimée avec une étude en statique. Dahl (2012) calcule * à 50@y devant la pointe de fissure au cours d’une simulation dynamique d’un essai
de choc thermique sur un anneau (Figure 1-8(b)). La valeur de * augmente lorsque la fissure ralentit. Ceci est cohérent avec l’analyse de Bouyne (1999a) citée auparavant sur l’évolution du facteur d’intensité des contraintes sur la même géométrie d’éprouvette. Le « pic » de la courbe de contrainte vers l’arrêt peut être expliqué par le retour des ondes à la pointe de fissure (Figure 1-9), venant recharger la pointe de fissure.
Figure 1-8 : Contrainte principale maximale pendant la propagation de fissure. (a) : comparaison entre une analyse statique et une analyse dynamique pour un essai isotherme sur CT25 (épaisseur d’éprouvette
= 5 mm), la valeur de contrainte est moyennée sur un demi-disque à la pointe de fissure (Prabel, 2007). (b) : analyse dynamique pour un essai de choc thermique en imposant la vitesse de propagation
Figure 1-9 : Représentation schématique du facteur d’intensité de contraintes en fonction de l’avancée de fissure au cours de la propagation dynamique d’une fissure (Kalthoff et al., 1980)