Au sens expliqu´e dans l’annexe g´en´erale B, il s’agit bien d’ondes dispersives10 puisque c d´epend dek (ouω) i.e.
dc
dk 6= 0.
Alors pour un paquet d’ondes centr´e surk0 on constate une propagation de l’enveloppe `a lavitesse de groupe
Cette vitesse de groupe d´epend du nombre d’onde moyen k0 lui-mˆeme, d’o`u la dispersion propre-ment dite du paquet d’ondes, dont les diverses composantes de nombre d’onde moyen k0, k00, k000, etc... se«s´eparent» puisque chacune a sa propre vitesse de groupe.
3.4 Effets de compressibilit´ e dans les fluides : ondes sonores
L’objet de cette section est de donner des rudiments d’acoustique11 en utilisant le mod`ele du fluide parfait. En pr´eliminaire, notez que les ondes de vibration de l’air que l’oreille humaine peut entendre ont une fr´equence f comprise entre environ 16 Hz et 20 kHz. Pour une premi`ere ´etude des effets de la viscosit´e sur des ondes de type sonore, voyez le probl`eme3.8.
3.4.1 Th´eorie g´en´erale en milieu fluide « infini »
La propagation d’ondes sonores dans un fluide, consid´er´e au repos pour simplifier, est li´ee `a des effets de compressibilit´e. Elle consiste en de petites fluctuations de pression p0 et de masse volumiqueρ0 autour de valeurs moyennes p0 etρ0,
auxquelles correspondent des petits mouvements du fluide donc un champ de vitessev. On m`ene donc `a nouveau une analyse lin´eaire de stabilit´e. On consid`ere que les ondes sonores se propagent de fa¸conadiabatique12 doncisentropique. On introduit ainsi lecoefficient de compressibilit´e isentropique du fluide13
en notantV le volume occup´e par une particule fluide. Ce coefficient suppos´e constant permet de faire le lien entre les fluctuations de pression et de densit´e introduites en (3.29) en ´ecrivant que
ρ0 = ∂ρ
∂p
S p0 = ρ0 κS p0 . (3.31)
10. D’o`u le terme«relation de dispersion »utilis´e pour l’´equation (3.27).
11. Du grec«akouein »: entendre.
12. Les particules fluides n’ont«pas le temps»d’´echanger de la chaleur compte tenu des fr´equences temporelles relativement ´elev´ees des ondes sonores.
13. Alternativement on pose parfois
κS = 1 KS
avecKSlemodule de compression isentropique.
En utilisant alors un mod`ele de fluide parfait non pesant, la loi de conservation de la masse
Au bilan il vient l’´equation de propagation (dite aussi ´equation de d’Alembert)
∂2p0
∂t2 = 1 ρ0κS
∆p0 . (3.34)
Ceci montre que les ondes sonores sont des ondes neutres (ni amplifi´ees ni amorties)non disper-sives14 se propageant `a une vitesse15
c = 1
√ρ0κS = 1
√ρκS (3.35)
en omettant de rappeler queρest une valeur de r´ef´erence moyenne. L’´equation (3.33) montre aussi que, dans le cas d’une onde pure, la vitesse des particules fluides est dans la direction du vecteur d’onde, il s’agit d’ondes longitudinales de compression dilatation.
3.4.2 Cas des liquides
Un liquide tel que l’eau `a temp´erature ambiante pr´esente une tr`es faible compressibilit´e
κS ' 5 10−10 Pa−1 (3.36)
d’o`u
c ' 1400 m/s. (3.37)
3.4.3 Cas des gaz parfaits
Dans ungaz « parfait » tel que l’air `a temp´erature ambiante, pour estimerκS on part de la loi de Laplace
pVγg = constante (3.38)
valable lors d’une transformation adiabatique, avec γg = Cp
CV = capacit´e calorifique `a pression constante
capacit´e calorifique `a volume constant . (3.39) On en d´eduit que
14. C’est heureux pour les amateurs de musique !...
15. `A la fois vitesse de phase et vitesse de groupe ; on dit parfois«c´el´erit´e».
3.4 Effets de compressibilit´e dans les fluides : ondes sonores 51
en utilisant la loi des gaz parfaits,R= 8,314 J/K/mol ´etant laconstante des gaz parfaits,T la temp´erature en Kelvins etM la masse molaire du gaz. Pour l’air, gaz essentiellement diatomique,
γg= 7
5 et M = 29,0 g/mol (3.42)
donnent, `a temp´erature ambiante (20oC) et `a une atmosph`ere,
κS = 7,05 10−6 Pa−1 et c = 343 m/s . (3.43)
En g´en´eral on peut remarquer que, compte tenu des relations
R = NA k et M = NA m (3.44)
avec NA le nombre d’Avogadro, k la constante de Boltzmann et m la masse d’une mol´ecule ou atome, on a
c = √
γg Vtherm ' Vtherm = rkT
m (3.45)
vitesse d’agitation thermique typique du gaz (cf. l’´equation1.48 et la discussion correspondante).
3.4.4 Crit`ere d’effets de compressibilit´e dans un ´ecoulement macroscopique Comme on le verra dans l’exercice 3.3, les ondes sonores sont typiquement associ´es `a des
´ecoulements « microscopiques » de faibles vitesses physiques (inf´erieures `a 10 cm/s) et faibles d´eplacements (inf´erieurs `a 30 µm). Pour que des effets de compressibilit´e se manifestent dans des
´ecoulements « macroscopiques» de vitesses physiques plus grandes et plus grands d´eplacements, il faut que l’amplitude r´eduite ρ0/ρ0 des fluctuations macroscopiques de masse volumique soit de l’ordre de 1%. D’apr`es les th´eor`emes de Bernoulli, les fluctuations macroscopiques de pression sont de l’ordre de
p0 = ρ0V2
avec V l’ordre de grandeur de la vitesse de l’´ecoulement macroscopique. Le mod`ele thermodyna-mique (3.31) donne alors
ρ0 ρ0
= κS p0 = κS ρ0V2 = M2 (3.46)
avec
M = V
c (3.47)
lenombre de Mach16. Ainsi le nombre de Mach doit ˆetre de l’ordre de 1/10 au moins pour que des effets de compressibilit´e influent sur un ´ecoulement macroscopique. Le couplage entre ces effets de compressibilit´e et des ´ecoulements macroscopiques rapides conduit `a des effets importants tels celui de la cr´eation d’« ondes de choc », qui seront abord´es en troisi`eme ann´ee dans le cours de Castanet & Penanhoat (2015).
16. En hommage au physicien et philosophe autrichien Ernst Mach, actif `a la fin du XIX`emesi`ecle.
3.5 Ecoulements potentiels bidimensionnels par analyse complexe ´
3.5.1 Description par un potentiel complexe
Dor´enavant on suppose l’´ecoulement bidimensionneletirrotationnel. En identifiant les ´ecritures deven termes deφ(´equation3.10) etψ(´equation3.14) on obtient, en identifiant le plan euclidien au plan complexe suivant
z = x+iy , (3.48)
queφetψ v´erifient les conditions de Cauchy (cf.Appel 2005ouPlaut 2006)
∂φ
f(z) = φ(z) +iψ(z) estholomorphe; c’est le« potentiel complexe »de l’´ecoulement . (3.50) Sa partie r´eelle est le potentiel des vitesses φ(z), sa partie imaginaire est la fonction courant ψ(z).
D’apr`es les expressions possibles de la d´eriv´ee d’une fonction holomorphe, on a
f0(z) = u(z)−iv(z) . (3.51)
Si Cest un chemin orient´e du plan complexe, on montre que Z
En vertu du th´eor`eme de Cauchy pour deux circuits homotopes, si C et C0 sont deux circuits homotopes dans le domaine fluide17, alors la circulation de v le long de C ´egale la circulation de vle long de C0, et le d´ebit r´eduit `a traversC ´egale le d´ebit r´eduit `a traversC0. Ceci permet de d´efinir lacirculation de la vitesse autour d’un obstacle de taille finie immerg´e dans l’´ecoulement, comme ´etant la circulation le long d’un circuit homotope `a la fronti`ere de cet obstacle, parcourue dans le sens trigonom´etrique.
Dans un ´ecoulement stationnaire, si justement une ligne de courantC ferm´ee, orient´ee dans le sens trigo-nom´etrique, d´ecrit la fronti`ere d’un obstacle immerg´e dans l’´ecoulement, alors la r´esultante des forces de pression en −ρv2/2 (d’apr`es le second th´eor`eme de Bernoulli) exerc´ees par le fluide sur cet obstacle est donn´ee par laformule de Blasius
Fx−iFy
o`u l’on a de facto n´eglig´e les effets de pesanteur18. Si on utilise le th´eor`eme des r´esidus pour calculer cette int´egrale, en supposant queCcontient les points singuliers zk def0, on obtient
Fx−iFy
L3
= −ρπX
k
Res{[f0(z)]2,zk}. (3.54)
Il faut souvent, cependant, pr´ef´erer `a ce th´eor`eme des r´esidus l’usage d’un d´eveloppement en s´erie de Laurent dans un domaine contenantC, comme cela est expliqu´e dans la question 4.1 du probl`eme3.10.
17. En g´en´eralf0est r´eguli`ere (holomorphe) dans tout le domaine fluide ; ce n’est pas forc´ement le cas def.
18. La formule de Blasius s’obtient par des manipulations analytiques simples `a partir de la formule r´eelle o`u l’on int`egre (ρv2/2)ndlsur le contour C de l’obstacle,n´etant la normale sortant de l’obstacle,dl´etant un ´el´ement de longueur. Le vecteurdlcorrespondant a bien sˆur comme affixedz=dx+idy... De plus, il faut exploiter le fait que le contourCest une ligne iso-ψ, d’o`udf=f0(z)dz=dφ=df∗lorsquez varie surC, l’´etoile d´esignant la conjugaison complexe...