«identiques»9
hf(x,t)i = 1 N
XN
n=1
fn(x,t) . (6.1)
On ´ecrit ainsi en tout point la d´ecomposition
v = V + v0 , p = P + p0 (6.2)
avec V = hvi la moyenne de v, P = hpi la moyenne de p , (6.3) les0 indiquant les« fluctuations ». Par d´efinition, les fluctuations sont `a valeur moyenne nulle,
v0
= 0 et
p0
= 0 . (6.4)
Par contre l’´ecart-type des fluctuations est non nul. Dans le cas d’une turbulence«stationnaire» ou«permanente», la moyenne d’ensemble co¨ıncide souvent avec la moyenne temporelle ; il s’agit l`a d’une propri´et´e d’«ergodicit´e».
Dans le cas o`u un ´ecoulement moyen dans la direction x1 existe, de valeur typique V1, on d´efinit l’intensit´e de turbulence dans la direction x1,
I1(x,t) =
ph[v10(x,t)]2i
V1 . (6.5)
De fa¸con plus isotrope, en ne privil´egiant aucune composante de vitesse, on d´efinit l’´energie cin´etique turbulente massique moyenne
k(x,t) = 1 2
v0(x,t)·v0(x,t)
. (6.6)
SiV est l’ordre de grandeur de||V||, on d´efinit l’intensit´e en ´energie de la turbulence IE(x,t) =
p2k(x,t)
V . (6.7)
Ces rapports10permettent de distinguer les champs turbulents faibles, I '1%, moyens,I '10%, et forts,I '20% et au-del`a.
6.2 Echelles caract´ ´ eristiques de la turbulence et cascade de Kolmogorov
La turbulence est un ph´enom`ene physique o`u les fluctuations de vitesse, pression, concentration, etc... se font sur une large gamme d’´echelles. Consid´erons un ´ecoulement dont le champ de vitesse moyen a pour valeur typique V, et pour longueur typiqueL. Par exemple :
• un ´ecoulement de vitesse d´ebitante V dans un canal de diam`etre L,
• l’´ecoulement derri`ere un objet de tailleLse d´epla¸cant `a la vitesseV dans un fluide au repos,
• l’´ecoulement d’un jet de vitesseV par une embouchure de tailleL,
9. Bien entendu le nombre de r´ealisations N 1. Dans le cas d’une turbulence « instationnaire » ou « non permanente» l’exp´erience est toujours red´emarr´ee de la mˆeme mani`ere `a l’instant de d´epartt = 0. La moyenne utilis´ee ici est souvent appel´ee« moyenne de Reynolds».
10. On les d´esigne parfois comme«niveaux de turbulence».
• l’´ecoulement autour d’une turbine de rayonL tournant `a la vitesse angulaireω=V /L, ...
Nous notons D le domaine fluide et m la masse de fluide qu’il contient. Le temps caract´eristique de l’´ecoulement moyen est L/V. Les fluctuations sont caract´eris´ees non pas par une ´echelle, mais partoute une gamme d’´echelles. Cette id´ee a ´et´e propos´ee par un scientifique et m´et´eorologue anglais, dans le trait´eRichardson(1922), puis affin´ee par le math´ematicien russe Kolmogorov (cf.
Kolmogorov 1941).
Notons v et` la vitesse et la longueur typique des fluctuations turbulentes de plus grande taille ;
` est la « macro-´echelle » ou « ´echelle int´egrale » de l’´ecoulement. En supposant que les temps caract´eristiques de l’´ecoulement moyen et des plus grandes fluctuations sont similaires, nous pouvons ´ecrire que
L V ∼ `
v . (6.8)
La puissance massique inject´ee `a grande ´echelle est = 1
ec = densit´e massique d’´energie cin´etique `a grande ´echelle ∼ v2 .
Une estimation purement «inertielle » du taux d’´evolution de l’´energie consiste `a poser qu’il est donn´e par un temps d’advection,
d
dt ∼ 1
`/v .
En cons´equence on obtient l’estimation «inertielle» aux macro-´echelles
∼ v3
` . (6.10)
La validit´e de cette relation constitue une hypoth`ese importante que nous notons H1, et sur laquelle nous reviendrons en section 6.3.1.
Comme l’´ecoulement au niveau de la macro-´echelle est turbulent, le « nombre de Reynolds turbulent »
Re` = v`
ν 1 . (6.11)
Suivant Richardson et Kolmogorov on suppose l’existence d’une cascade inertielle d’´energie vers les petites ´echelles, ces fluctuations macroscopiques transf´erant de l’´energie vers des plus petites ´echelles, disons m´esoscopiques, de taille `m et vitesse vm, qui elles mˆemes transf´erent de l’´energie vers des plus petites ´echelles, etc... Cette id´ee peut par exemple ˆetre justifi´ee par une analyse en modes de Fourier spatiaux11. Cette cascade se termine `a l’«´echelle de Kolmogorov»
`Kqui correspond aux fluctuations les plus fines permises par la viscosit´e, o`u le nombre de Reynolds est donc d’ordre 1. En notantvK la vitesse typique correspondante, on a
ReK = vK `K
ν ' 1 . (6.12)
11. Si on consid`ere une«fluctuation»dont le champ de vitessevest en cos(kx) aveck= 2π/Λ, il est clair que le terme non lin´eaire
∇v
·vde l’´equation de Navier-Stokes va cr´eer une nouvelle«fluctuation»en cos(2kx), donc d’´echelleλ= Λ/2.
6.2 ´Echelles caract´eristiques de la turbulence et cascade de Kolmogorov 125
La taille `m des fluctuations du « domaine inertiel », dans lequel a lieu la cascade, est grande devant l’´echelle de Kolmogorov`K et petite devant la macro-´echelle`,
` `m `K . (6.13)
Cette cascade inertielle d’´energie des grandes vers les petites ´echelles se traduit par l’´egalit´e entre la puissance massique inject´ee `a grande ´echelle (6.10) et la puissance massique re¸cue `a toutes les
´echelles jusqu’aux ´echelles«visqueuses»de Kolmogorov, o`u elle est dissip´ee du fait des frottements visqueux,
∼ v3
` ∼ ... ∼ vm3
`m ∼ ... ∼ vK3
`K
= taux de dissipation moyen . (6.14) Or, d’apr`es le bilan de la section1.7, ce taux de dissipation moyen, ´energie dissip´ee par unit´e de temps et de masse dans le fluide, vaut
= Pdissip´ee
avec m=ρL3 la masse du fluide dans le domaine D, de tailleL, consid´er´e. Ainsi = 2ν
L3 ZZZ
D
D:Dd3x . (6.16)
Comme les seules fluctuations de vitesse donnant une contribution non n´egligeable `a cette int´egrale sont les ´echelles de Kolmogorov, nous avons
' 2ν apparaˆıtre le fait que ce sont les fluctuations de vitesse qui dominent la dissipation. En estimant que
D0 ∼ vK
`K aux ´echelles de Kolmogorov, nous obtenons
∼ ν
avec Φ la fraction volumique des zones dissipatives. Dans le cadre de la th´eorie de Kolmogorov (1941), on suppose que ces structures remplissent tout le domaine fluide12 de sorte que Φ ∼ 1.
On en d´eduit l’estimation«visqueuse », valable aux ´echelles de Kolmogorov,
∼ ν vK
`K
2
. (6.17)
12. Cette hypoth`ese est tr`es forte et il semble qu’en r´ealit´e les ´echelles fines n’occupent qu’unefraction du volume des plus grandes ´echelles. Le d´eveloppement de cette id´ee a men´e aux«th´eories fractales »de la turbulence.
En ´egalant les expressions inertielles de l’´energie inject´ee (6.14) `a l’expression visqueuse de la dissipation (6.17), on obtient l’ordre de grandeur des ´echelles de Kolmogorov,
`K ' ν3
1/4
' `Re−`3/4 ` , (6.18)
compte tenu aussi de la d´efinition (6.11) du nombre de Reynolds Re` . L’´echelle de Kolmogorov
`K peut ˆetre vue comme «la dimension des plus petits tourbillons » pr´esents dans l’´ecoulement.
L’existence d’aussi petites ´echelles implique que le calcul num´erique d’un ´ecoulement turbulent sera particuli`erement difficile, puisqu’il n´ecessitera une tr`es grande r´esolution spatio-temporelle...
Trop grande par rapport aux capacit´es de calcul des ordinateurs actuels13, d’o`u la n´ecessit´e de d´evelopper des «mod`eles de turbulence »...
Avant d’aller plus loin, il convient d’introduire la « micro-´echelle de Taylor » comme l’´echelle λ de fluctuations dont la vitesse typique serait v la vitesse des macro-´echelles et qui dissiperaient par frottement au taux, c’est-`a-dire
∼ νv λ
2
. (6.19)
On montre facilement que
λ ' `Re−`1/2 `K . (6.20)
On construit le nombre de Reynolds correspondant Reλ = vλ
ν = Re1/2` . (6.21)