De mˆeme la composante y de l’´equation de Navier-Stokes peut a priori se simplifier sous la forme u∂v
Si on suppose que pbvarie comme u et v rapidement dans la couche limite, i.e. sur une ´echelleδ, en estimant l’ordre de grandeur depb`a partir des ´equations (5.7) et (5.8) en ´equilibrant les termes de pression avec les termes visqueux on aboutit `a une contradiction. On doit donc admettre quepb ne varie pas dans la couche limite, ce qu’exprime la deuxi`eme ´equation de Prandtl
∂pb
∂y = 0 . (5.9)
Les ´equations de Prandtl constituent une version d´eg´en´er´ee des ´equations de Navier-Stokes, puis-qu’elles sont d’ordre 2 par rapport `a u mais seulement 1 par rapport `a v. En cons´equence il faut ajouter aux conditions d’adh´erence `a la paroi,
u=v= 0 en y = 0 , (5.10)
des conditions deraccord avec l’´ecoulement ext´erieur portant seulement sur u etp,b
u(x,y)/uext´erieur(x,y) −→ 1 quand y/δ −→ +∞ , (5.11) b
p(x,y)/pbext´erieur(x,y) −→ 1 quand y/δ −→ +∞ . (5.12) Comme u varie sur l’´echelle δ dans la couche limite mais par contre uext´erieur varie sur l’´echelle Lδ,yδ correspond encore `aypetit pour l’´ecoulement ext´erieur. On exprime en cons´equence la premi`ere condition de raccord sous la forme plus simple
u(x,+∞) = uext´erieur(x,0) . (5.13)
Avec les mˆemes notations simplifi´ees, les conditions (5.9) et (5.12) conduisent `a b
p = p(x) =b pbext´erieur(x,0) . (5.14)
5.2 Couche limite de Blasius au dessus d’une plaque plane
On consid`ere une plaque plane plac´ee dans un ´ecoulement uniforme `a l’infini
vext´erieur = Uex et pbext´erieur = constante (5.15)
3. Physicien allemand actif pendant la premi`ere moiti´e du XX`eme si`ecle.
5.2 Couche limite de Blasius au dessus d’une plaque plane 105
i.e. `a gradient de pression motrice nul. Cette plaque poss`ede un bord d’attaque situ´e en x = 0 ; l’´echelle longitudinale pertinente est alors la distance x au bord d’attaque. La premi`ere
´equation de Prandtl (5.7) s’´ecrit
u∂u
∂x +v∂u
∂y = ν∂2u
∂y2 . (5.16)
Pour que l’´equation ne d´eg´en`ere pas compl`etement, ce qui serait dramatique, il faut que l’´echelle transverse
δ = δ(x) = rνx
U . (5.17)
En utilisant une fonction courantψ pour tenir compte de (5.4), i.e. en ´ecrivant4 u = ∂ψ
∂y et v = −∂ψ
∂x , (5.18)
il est naturel de rechercher une solution `a variables s´epar´ees
ψ = P(x) f(ζ) (5.19)
avec
ζ = y
δ la coordonn´ee transverse r´eduite. (5.20) La condition de raccord de la vitesse (5.13) conduit `a
P(x) = U δ = √
νU x et f0(+∞) = 1 . (5.21)
En cons´equence
u = U f0(ζ) et v = 1 2
rνU
x [ζf0(ζ)−f(ζ)] . (5.22) L’´equation de Prandtl (5.16) conduit apr`es quelques calculs `a l’´equation de Blasius5
2f000(ζ) + f(ζ)f00(ζ) = 0 . (5.23) Cette ´equation doit ˆetre r´esolue munie des conditions d’adh´erence
f(0) = f0(0) = 0 (5.24)
et de la condition de raccord avec l’´ecoulement ext´erieur (5.21)
f0(+∞) = 1 . (5.25)
L’´equation de Blasius, non lin´eaire, ne peut ˆetre r´esolue que num´eriquement. Le probl`eme 5.1 sera consacr´e `a cette r´esolution, et `a l’´etude de la solution obtenue. Il convient, en compl´ement de ce probl`eme, de faire trois remarques importantes.
4. Cf. la sous-section3.2.3.
5. Ing´enieur allemand du XX`emesi`ecle, il fut le premier ´etudiant de th`ese de Prandtl, et sans doute l’un des plus brillants. En hommage, la fonctionf introduite ici est appel´ee«fonction de Blasius».
Tout d’abord la premi`ere condition de validit´e de cette th´eorie est la grandeur du nombre de Reynolds ext´erieur (5.2), condition qui prend ici la forme
Reext´erieur = U x
ν 1 . (5.26)
Cette condition assure la petitesse de l’´echelle transverse δ donn´ee par (5.17) devant l’´echelle longitudinalex distance au bord d’attaque (cf. l’´equation 5.3),
Reext´erieur 1 ⇐⇒ x ν
U ⇐⇒ δ =
rνx
U x . (5.27)
Ainsi ce mod`ele n’est pas valable pr`es du bord d’attaque, lorsque x est petit.
Deuxi`emement des solutions de la forme (5.22) sont dites « auto similaires ». En effet elles expriment des lois d’´echelles simples qui permettent par des affinit´es du type
(x, y) 7−→ (x0, y0) = (αxx, αyy) et (u, v) 7−→ (u0, v0) = (αuu, αvv) (5.28) de d´eduire le champ de vitesse dans une r´egion de la couche limite du champ de vitesse dans une autre r´egion. Plus pr´ecis´ement siαxest fix´e alors les valeurs des coefficients d’affinit´eαy, αu etαv qui permettent d’assurer (5.28) se calculent facilement6. Plus largement on peut mˆeme relier les solutions de Blasius dans deux fluides diff´erents et avec des vitesses ext´erieures diff´erentes par des affinit´es du type (5.28), en rajoutant des r`egles d’affinit´es des param`etres de contrˆole
(ν, U) 7−→ (ν0, U0) = (ανν, αUU) . (5.29) Il existe une th´eorie math´ematique qui permet d’´etudier syst´ematiquement le« groupe de sym´ e-trie » des ´equations de la couche limite (dans tel ou tel cas consid´er´e) et, en faisant l’hypoth`ese que la solution est invariante par ce groupe de sym´etrie, d’´etablir la forme a priori de cette solution auto similaire (ici celle donn´ee par l’´equation 5.22). On ´economise alors, entre autres, l’hypoth`ese que la fonction courant est `a variables s´epar´ees. Une pr´esentation succinte de cette approche est par exemple donn´ee dans la section 6 deHuerre(1998).
Troisi`emement cette couche limite elle mˆeme est susceptible de subir une transition vers la turbulence. Une ´etude locale de la stabilit´e de la couche limite, d´ecrite par exemple dans Schlichting & Gersten (2000), montre que le nombre de Reynolds pertinent est le nombre de Reynolds local
Relocal = U δ
ν = p
Reext´erieur . (5.30)
L’analyse de stabilit´e montre que la couche limite est instable vis-`a-vis de perturbations prenant la forme d’ondes de Tollmienn-Schlichting lorsque le nombre de Reynolds local exc`ede une valeur critique
Reclocal = 300 (5.31)
ce qui correspond `a une valeur critique du nombre de Reynolds ext´erieur
Recext´erieur = 9 104 . (5.32)
En pratique la transition vers la turbulence est progressive7 et il faut atteindre des Reext´erieur de l’ordre de 5 105 pour observer un niveau de fluctuations turbulentes significatif.
6. Le faire en exercice !
7. Une description des sc´enarios de transition vers la turbulence observ´es dans une couche limite, qui d´ependent du niveau de perturbations dans l’´ecoulement amont, est donn´ee dans la section 8.9 deDrazin(2002).