Exercice 1.1 Estimation de la pouss´ee d’un moteur fus´ee 1.a Ecoulement stationnaire.´
1.b qliquides qgaz ' 9600 m3/s.
2 3
4 Terme moteur principal : ˙mVe '100 tf (« tonne-force»).
Terme r´esistant faisant la diff´erence entre pouss´ee au niveau de la mer (inf´erieure) et pouss´ee en altitude (sup´erieure) : peAe'24 tf.
Compl´ement : ce moteur assure la pouss´ee pendant la deuxi`eme phase de vol des fus´ees Ariane, apr`es largage des deux boosters `a poudre lat´eraux, mˆeme s’il est allum´e d`es le d´ebut.
Exercice 1.2 Propulsion de fus´ees ou vaisseaux spatiaux id´eaux 1.a mdV
dt = −dm
dt Ve =⇒ δV = Veln(m0/m1) , ´equation dite « de Tsiolkovsky ».
1.b me/mhe = exp(δV /Ve)−1 = 11,2 siδV = 10 km/s.
La masse d’ergols est plus de 11 fois la masse des syst`emes et infrastructures et charge utile. G´en´e-ralement, la masse d’ergol augmente tr`es rapidement avec le rapportδV /Vei.e. avec l’incr´ement de vitesse normalis´e par la vitesse d’´ejection. Aussi, plusVe est ´elev´ee, moins on a besoin d’ergol pour atteindre un δV donn´e : on a int´erˆet `a avoir desVe les plus ´elev´es possibles. Tout ceci explique le coˆut ´elev´e d’une mise en orbite, sachant de plus que le mod`ele ´etudi´e ici est tr`es id´ealis´e.
1.c t1 = (mhe/m) [exp(δV /V˙ e)−1] = 358 s = 5 min 58 s, soit un temps relativement court, dˆu au fait que le mod`ele est tr`es id´eal. De plus
me = 89,5 t =⇒ m0 = 97,5 t
soient des masses tr`es ´elev´ees, en lien avec le commentaire fait `a la question pr´ec´edente.
2.a δV = V(t) = −Veln(1−t/τ) − gt avec τ = m0/m˙ = t1 +mhe/m > t˙ 1, tel que V(t) −→ +∞ quand t → τ−, si la formule est utilis´ee jusque l`a. Comme t1/τ < 1 on a bien 1−t1/τ >0 i.e.V(t) est r´eguli`ere et finie jusquet=t1.
2.b τ = 390 s = t1+ 32 s = 6 min 30 s . 2.c ∀t∈[0,t1[, V(t) = Ve
τ −g
t + Ve +∞
X
n=2
tn nτn . V(t) est positive aux temps courts ssi
Ve
τ −g > 0 ⇐⇒ F = ˙m Ve > m0 g ,
qui exprime que la pouss´ee du moteur doit ˆetre sup´erieure au poids de la fus´ee au d´ecollage. Avec les valeurs de l’´enonc´e, on a bien F = 1000 kN > m0 g = 956 kN.
2.d Avec Mathematica on obtient exactement :
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 1 2 3 4 5 6
t/t1
V[km/s]
La fus´ee qui s’all`ege progressivement acc´el`ere progressivement. `A cause de la pesanteur, la vitesse finale V(t1) = 6,49 km/s est tr`es inf´erieure `a la vitesse de mise en orbite basse 10 km/s. On a donc besoin de plus de pouss´ee : la fus´ee ´equip´ee d’un seul moteur Vulcain, ´etudi´ee ici, n’est pas suffisante pour mettre des charges en orbite. De fait, on utilise en g´en´eral dans une premi`ere phase du lancement des boosters `a poudre plus puissants.
3 1. En r´ealit´e les termes de pression d’´ejection et pression ext´erieure dans la pouss´ee existent, et devraient ˆetre pris en compte. Cependant ils ne sont pas pr´epond´erants, i.e. modifient la pouss´ee de «seulement »25%.
C.1 Corrig´es du chapitre 1 - Bases 157
2. L’air frotte sur la fus´ee, i.e., il existe une force a´erodynamique (de train´ee, essentiellement) totalement oubli´ee ici. Sa prise en compte n’est pas simple car l’´ecoulement de l’air autour de la fus´ee est rapidement supersonique, et la structure de cet ´ecoulement compliqu´ee.
3. Enfin la trajectoire de la fus´ee est peu rectiligne, car elle doit lancer sa charge, typiquement un satellite, en lui communiquant au moment o`u elle la lˆache une vitesse horizontale et non verticale.
Compl´ements sur l’exercice 1.2
• En lien avec la remarque faite en 1.b, comme quoi on doit rechercher desVe les plus ´elev´es possibles, on comprend l’int´erˆet de propulseurs `a plasmas, dans lequels on peut atteindre Ve'20 km/s.
• En lien avec la remarque faite en 2.d, comme quoi on doit utiliser des boosters `a poudre au lancement, dans le cas de la fus´ee Ariane 5 par exemple les deux boosters fournissent chacun une pouss´ee de l’ordre de 5000 kN, i.e. `a eux deux ils sont aussi puissants que 10 moteurs Vulcain. On recommande sur ce sujet la page Wikip´edia« Ariane 5 ».
Exercice 1.3 Estimation des pouss´ees de turbor´eacteurs simple et double flux 1 Approximations :
• on n´eglige l’effet des instationnarit´es ;
• on suppose qu’aux interfaces solides - gaz dans le moteur, les taux d’´evolution de quantit´e de mouvement sont en moyenne faibles ;
• on n´eglige les taux d’´evolution de quantit´e de mouvement au niveau des injecteurs de k´eros`ene, comme ˙mkm˙0 (question 4)
=⇒ dp/dt se r´eduit au terme de bord, les seules surfaces en lesquelles les taux d’´evolution de quantit´e de mouvement importent = la sectionAid’entr´ee de l’air ing´er´e etAed’´echappement par la tuy`ere :
dp dt '
ZZ
Ai
ρv(v·n)d2S + ZZ
Ae
ρv(v·n)d2S .
Six = direction de la vitesse incidente de l’air, en faisant l’approximation que les vitesses de l’air admis enAi et des«gaz brˆul´es »´eject´es enAe sont quasi uniformes,
dp
dt ' −m˙0V0ex + ˙meVeex = ( ˙meVe−m˙0V0)ex , (C.1) diff´erence entre le taux de gain de quantit´e de mouvement en sortie et le taux de perte de quantit´e de mouvement en entr´ee. Comme ˙me>m˙0 etVe> V0, les gaz acc´el`erent dans le moteur,dpx/dt >0.
2 Bilan des forces ext´erieures :
• on n´eglige le poids, les fluides essentiellement gazeux ´etant peu denses ;
• les forces au niveau des injecteurs de k´eros`ene sont suppos´ees peu intenses donc n´eglig´ees ;
• pressions en amont et aval sont'les mˆemes, sections en Ai etAe 'disques de diam`etres similaires
=⇒ la force due `a la pression amont est `a peu pr`es compens´e par celle due `a la pression aval ;
• la force dominante est donc celle exerc´ee par le moteur sur les fluides
=⇒ dp
dt ' Fmoteur→fluides . (C.2)
Principe d’action - r´eaction
=⇒ Ffluides →moteur = −Fmoteur→fluides = −( ˙meVe−m˙0V0)ex . (C.3) Comme les fluides sont acc´el´er´es vers la droite (direction x, en r´ef´erence `a la figure) i.e. pouss´es vers la droite, par r´eaction le moteur est pouss´e vers la gauche i.e. en avant.
3 Avec M masse du moteur, 0 = dpmoteur
dt = Mg + Fbras →moteur + Ffluides internes→moteur + Fair ambiant →moteur . Fronti`ere du moteur en contact avec l’air ambiant'cylindre de r´evolution d’axe l’axe moteur, car
• les sectionsAeetAisont de diam`etres proches'diam`etre de l’enveloppe solide du moteur ;
• l’« emprise»du bras peut ˆetre n´eglig´ee de par sa taille« modeste».
Air ambiant'fluide parfait =⇒ n’exerce que des forces normales de pression, de r´esultante nulle par sym´etrie axiale.
Principe d’action - r´eaction
=⇒ Fmoteur→avion = −Fbras →moteur ' Mg − ( ˙meVe−m˙0V0)ex . On d´ecompose naturellement cette force en poids + pouss´ee,
Fmoteur→avion ' Mg − Fex avec F = ˙meVe−m˙0V0 . (C.4) Effet de«r´eaction»des fluides internes, acc´el´er´es dans la directionx, donc«acc´el´erant»l’avion dans la direction −x. Par rapport au cas d’un moteur fus´ee, on n’a pas d’effet de la pression ext´erieure, due `a la g´eom´etrie«ouverte»du moteur d’avion, bien diff´erent de ce point de vue du moteur fus´ee.
4
F ' m˙0(Ve−V0) . (C.5)
5 Avec des approximations analogues `a celles pos´ees question 1, pour les fluides internes au moteur, dp
dt ' dpx
dt ex avec dpx
dt ' −m˙cV0 − m˙fV0 + ˙meVe + ˙mfVf ,
somme des taux de perte en entr´ee de quantit´e de mouvement des flux chaud ( ˙mcV0) et froid ( ˙mfV0), `a comparer aux taux de gain en sortie de quantit´e de mouvement des flux chaud ( ˙meVe) et froid ( ˙mfVf). Comme ˙me >m˙c , Ve > V0 , Vf > V0 , dpx/dt >0, les fluides sont acc´el´er´es par le moteur.
D’autre part, avec exactement les mˆemes approximations qu’en question 2, dp
dt ' Fmoteur→fluides . Principe d’action - r´eaction et d´ecomposition poids + pouss´ee
=⇒ Ffluides →moteur ' −Fex avec F = dpx
dt ' −m˙cV0 − m˙fV0 + ˙meVe + ˙mfVf . (C.6)
C.1 Corrig´es du chapitre 1 - Bases 159
6
F ' Fc + Ff avec Fc = ˙mc(Ve−V0) et Ff = ˙mf(Vf−V0) , (C.7)
`
a comparer `a la formule (C.5) de la pouss´ee d’un turbor´eacteur simple flux. Cette pouss´ee (C.5) correspond dans le cas double flux (C.7) `a la pouss´ee Fc , l’int´erˆet est l’ajout de la contribution Ff due au flux froid, qui permet d’augmenter nettement la pouss´ee (comme on va le voir dans l’application num´erique) pour un coˆut ´energ´etique raisonnable.
7
F ' −m˙0V0 + ˙mcVe + bm˙cVf . (C.8) 8.a c = p
γg RT /M =⇒ V0 = 0,8c = 240 m/s . 8.b m˙f = bm˙c = 133,4 kg/s ,d’o`u
Fc = 6,0 kN, Ff = 14,7 kN =⇒ F = Fc + Ff = 20,7 kN. (C.9) L’essentiel de la pouss´ee, 71% ici, est produite par le flux secondaire, ce qui montre bien son importance.
Compl´ements sur l’exercice 1.3 :
• Cette pouss´ee n’est pas la pouss´ee maximale du moteur, de l’ordre de 100 kN, utile au moment du d´ecollage.
• Cependant le moteur est bien « optimis´e » en fonction du r´egime de croisi`ere, qui est le r´egime de fonctionnement normal et principal du moteur.
• Non seulement, les turbor´eacteurs double flux ont un meilleur rendement que les turbor´eac-teurs simple flux, mais, de plus, le fait d’«isoler»le jet rapide issu de la tuy`ere dans le jet cylindrique moins rapide du flux secondaire diminue sensiblement le bruit.
Exercice 1.4 Ecoulement laminaire dans un tuyau´ 1.a Ecoulement de´ Hagen-Poiseuille :
v = W(1−r2/a2) ez avec W = Ga2/(4η) ⇐⇒ G = 8ηV /a2 . 1.c p = p0 − (G+ρgsinα)z.
2 V =W/2.
3 τp = 2ηW/a.
4 τp = Ga/2.
5.a δH = pbe−pbs
ρg = λ L 2a
V2
2g avec λ = 64
Re siRe=Red= V d
ν avec d= 2a.
5.b Il s’agit de v´erifier par calcul direct de la dissipation visqueuse que δH = Pdissip´ee
˙ mg .
Probl`eme 1.1 Etude d’´´ ecoulements de Couette cylindrique - Applications 1 Composante axiale de l’´equation de Navier-Stokes =⇒ pb=p(r,θ).b
Composante azimutale de l’´equation de Navier-Stokes =⇒ pb = F(r) θ + G(r) .
6 Si on tourne trop vite, l’´ecoulement ne sera plus laminaire −→ instabilit´es voireturbulence, cf. le compl´ement 1.1.
10.2 Pdissip´ee aux paliers'3,4 MW non compl`etement n´egligeable, de l’ordre de 0,3 % de la puissance de la tranche. Il faut installer descircuits de refroidissements performants capable d’´evacuer en permanence 340 kW/palier.