Conditions d’interface, tension superficielle
Probl`eme 2.1 Lubrification d’un ´ecoulement en tuyau de fluide tr`es visqueux 1 K = ∇v = v0(r)ez⊗er.
Comme les variablesr etzsont ind´ependantes, ces fonctions sont constantes dans chaque domaine
⇐⇒ ∃ 1 constante G1 telle que ∀r ∈[0,r1], dpb soient des ´equations diff´erentielles ordinaires lin´eaires inhomog`enes d’ordre 2. La r´esolution de chacune introduira 2 constantes d’int´egration =⇒ besoin de quatre conditions limites.
C.2 Corrig´e du chapitre 2 - Conditions d’interface, tension superficielle 161
4.1 Loi de comportement1 : dans chaque fluide i= 1,2 : σi = −pi1 + 2ηiDi = −pi1 + ηidvi
dr(ez⊗er+er⊗ez) , n=er =⇒ Ti = −pier + ηidvi
drez
=⇒ (p1−p2)er + η2dv2
dr −η1dv1
dr
ez = γ
r1er en r =r1 . (CIdyn) (CIdyn)·er ⇐⇒ cond. desaut de pression impos´e p1−p2 = γ
r1 en r =r1 ; (CIdyn)·ez ⇐⇒ cond. sur les gradients de vitesse `a l’interface η2dv2
dr = η1dv1
dr en r =r1. 4.2 pbi = pi + ρigZ = pi + ρig(xcosα+zsinα) = −Giz + p0i ⇐⇒ pi =...
Condition de saut de pression impos´e→
∀x,y tels quex2+y2 =r12, ∀z∈[0,L], (G2−G1)z+ (ρ2−ρ1)g(xcosα+zsinα) +p01−p02− γ
r1 = 0. Nullit´e du coefficient dex =⇒ puisque cosα6= 0, ρ2 = ρ1 .Si l’un des fluides ´etait plus lourd que l’autre, il aurait tendance `a s’´ecouler vers la partie basse du tuyau←→ l’hypoth`ese que les deux fluides ont la mˆeme densit´e permet d’assurer que les effets de la pesanteur, qui introduisent en g´en´eral une anisotropie dans une section droite du tuyau (sauf si cosα = 0), ne perturbent pas l’axisym´etrie de l’´ecoulement.
Nullit´e du coefficient dez =⇒ G2 = G1 = G .
Nullit´e du coefficient constant =⇒ p01−p02 = p1−p2 = γ/r1 dˆu `a la courbure de cette interface et `a sa tension superficielle.
4.3 δpb = pbi(z= 0)−pbi(z=L) = GL ⇐⇒ G = δp/l .b 5
• condition d’adh´erence `a la paroi
v2(a) = 0 ; (C.10)
• condition de continuit´e des vitesses `a l’interface i.e. d’adh´erence des deux fluides l’un
`
a l’autre, qui est l’une des conditionscin´ematiques `a l’interface,
v2(r1) = v1(r1) ; (C.11)
• condition de continuit´e des contraintes tangentielles qui est une composante de la condition dynamique `a l’interface,
η2v02(r1) = η1v01(r1) ; (C.12)
• condition enr = 0
v1 et toutes ses d´eriv´ees sont finies en r= 0. (C.13)
1. On souligne l’indiceilorsqu’il apparaˆıt deux fois, pour bien montrer que l’on ne fait pas une somme sur cet indice.
,→ v1 = V1 − Gr2 6 r1= 0 ←→ ´ecoulement de Hagen-Poiseuille du fluide 2 seul...
7 q1 = Gπa2r21 le d´ebit du fluide 1 (le plus visqueux) est le plus souvent sup´erieur et mˆeme tr`es sup´erieur `a ce qu’il serait en monophasique pour la mˆeme perte de pression motrice←→ effet de« lubrification ». 9.1
9.3 (2.22) est un bilan de puissance : la puissance des efforts ext´erieurs inject´ee dans l’´ecoulement, par exemple par une pompe qui met en pression les fluides
P = (q1+q2) δpb = Pdissip´ee par les efforts int´erieurs i.e. les contraintes visqueuses.
10.1 P = 8η1Lq2 inject´ee qui n’est pas n´egligeable si cet ´ecoulement doit ˆetre entretenu de fa¸con «permanente».
C.2 Corrig´e du chapitre 2 - Conditions d’interface, tension superficielle 163
10.2 Hypoth`ese q2 q1 raisonnable puisqu’avec r1 = 0,92a le fluide 2 a peu de place pour s’´ecouler. En n´egligeantη2 devantη1,
q1 ' δp πr21(a2−r21) 10.3 En n´egligeant toujoursη2 devantη1, la vitesse du fluide 1 au centre de la conduite
V1 ' G(a2−r21)
4η2 ' q1
πr12 = 2,19 m/s . (C.14)
Commev1 < V1d`es quer >0, pour que la valeur moyenne dev1 soit approximativement ´egale `aV1 il faut que les correctionsv1−V1soient tr`es faibles :l’´ecoulement du fluide 1 est pratiquement uniforme dans tout D1.
D’autre part
v2(r) = V2(1−R2) avec V2 ' V1/(1−R21) (C.15) en vertu de la condition de continuit´e de la vitesse enr =r1 i.e.R=R1 =r1/a. Num´eriquement
V2 ' 14,3 m/s . (C.16)
On a de forts gradients de vitesse dans le fluide 2 (figure C.1b). La comparaison des expressions deP obtenues ci-dessus montre que dans l’´ecoulement diphasiqueles d´eformations,
`
a l’origine de la dissipation visqueuse de puissance, se concentrent dans le fluide 2 le moins visqueux situ´e `a l’ext´erieur, donc, par rapport `a l’´ecoulement monophasique de r´ef´erence, on a un ´ecoulement beaucoup plus rapide avec la mˆeme puissance de pompe.
Compl´ements sur le probl`eme 2.1
A Le nombre de Reynolds de l’´ecoulement monophasique de r´ef´erence calcul´e question 10.1 Re = 2qρ/(πaη1) = 6,9 en utilisantρ = ρeau `a 20oC.
On peut donc bien supposer que cet ´ecoulement monophasique est laminaire, ce que l’on a fait implicitement. Une estimation du nombre de Reynolds correspondant `a l’´ecoulement diphasique calcul´e question 10.2 est
Rediphasique ' 16 Remonophasique ' 110
ce qui reste suffisamment petit ; on peut donc penser que cet ´ecoulement laminaire aussi sera r´ealis´e.
B On peut calculer rigoureusement l’´ecoulement monophasique d´ecrit dans la question 10.2. Pour cela il faut juste accepter une ´etape de calcul suppl´ementaire, celle du gradient de pression G `a partir de l’´equation (P). En effet on en d´eduit
(q1+q2) δp = G2Lπ
(a) (b)
Fig. C.1 –Pour M = 1000.(a) :D´ebit r´eduit en fonction du rayon r´eduit.(b) :Champ de vitesse (trait noir et fl`eches) de l’´ecoulement diphasique calcul´e question 10.3. En lien avec le compl´ement B on a aussi repr´esent´e en rouge le champ de vitesse calcul´e sans aucune approximation.
On a alors
qui est proche de l’estimation, et
q2 = Gπ(a2−r21)2 8η2
= 0,456 l/s = 0,090q1 qui est bien n´egligeable, en premi`ere approximation, devantq1. D’autre part
V1 = Ga2 en coh´erence avec (C.14) et (C.16). Enfin le trac´e des fonctionsv1 etv2 donne le graphe rouge sur la figureC.1b, qui est bien proche du graphe noir bas´e sur les approximations de la question 10.2.
C Dans le cas o`u le fluide le plus visqueux est `a l’ext´erieur, i.e. M =η1/η2 <1, on a au contraire une r´eduction du d´ebit en diphasique. Ceci peut s’´etablir en revenant `a l’´etude `a perte de pression motrice fix´ee de la question 8. D’apr`es
Q1 = 2R2M + R4(1−2M) ,
lorsque M < 1 la fonction Q1(R) est croissante sur [0,1], et a une allure tr`es diff´erente de celle repr´esent´ee sur la figureC.1a...
D L’effet de lubrification mis en ´evidence ici existe dans les canaux naturels de certains gisements p´etroliers, o`u le p´etrole est chass´e par de l’eau additionn´ee de tensio-actifs, de sorte que cette eau mouille bien les parois rocheuses et ne se m´elange pas au p´etrole2. Il peut aussi exister dans certains proc´ed´es de co-extrusion.
2. Je remercie Mikhail Panfilov du Lemta pour une discussion sur ce sujet.