La dynamique c´ er´ eali` ere

Un mod`ele global a ´et´e r´ecemment obtenu pour le cycle des cultures c´er´eali`eres [1] qui a ´et´e pr´esent´e en chapitre 4. Il s’agit d’un mod`ele faiblement dissipatif (DKY = 2.68, section de Poincar´e bidimensionnelle, cf. Fig. 4.6) caract´eris´e par un portrait de phase complexe d’apparence toro¨ıdale (cf. Fig. 4.2). Aucune application de premier retour simple n’a pu en ˆetre tir´ee (cf. Fig. 4.6). Un tel mod`ele est int´eressant dans la mesure o`u il est le premier de ce type `a ˆetre obtenu `a partir de donn´ees r´eelles. Le caract`ere `a la fois multimodal et complexe de l’application de 1<sup>er</sup> retour compromet la possibilit´e d’en d´eduire simplement une partition du flot, laquelle est n´ecessaire pour distinguer les branches de l’attracteur par les approches usuelles. L’approche bas´ee sur la m´ethode des traceurs color´es a donc ´et´e employ´ee `a nouveau sur ce cas r´eel, environnemental.

Partition bas´ee sur la m´ethode des traceurs

Comme pour l’attracteur de Lorenz-84, la partition du flot a ´et´e appliqu´ee en s’appuyant sur la formulation pr´esent´ee par les ´equations 5.3, 5.4 et 5.6. Cette approche, bien qu’assez syst´ematique, n’a pas encore pu ˆetre automatis´ee et n´ecessite de ce fait une recherche it´erative manuelle. Pour la dynamique du cycle c´er´ealier, l’obtention du domaineB0de d´epart s’est r´ev´el´e assez facile grˆace `a une r´egion de la section de Poincar´e d´econnect´ee des autres. Cette r´egion a donc ´et´e imm´ediatement prise comme domaine initial et sa propagation directe et r´etrograde a pu ˆetre mise en œuvre (cf.

Fig. 5.10).

B₋₁ Sous-ensembleB0 initial B1

B₋₂ B2

B−3 B3

B₋₄ B4

(a) sous-ensembles r´etrogradesB_−j (b) sous-ensembles directs Bj

Figure5.10 – Sections de Poincar´e de l’attracteur issu du mod`ele 15 termes pour la dynamique des cultures c´er´eali`eres. La domaine s´electionn´eB0 est pr´esent´ee en haut (colonne centrale). Les premi`eres it´erations Bi, i = 1..4 de la propagation de ce domaine initial B0 en sens direct sont pr´esent´ees colonne de gauche. Les it´erations en sens r´etrogradeB−i, i= 1..4 sont pr´esent´ees colonne de droite. Les it´erations 5 `a 11 n´eccessaires pour couvrir le reste de la section de Poincar´e ne sont pas pr´esent´ees.

5.3. APPLICATION AU CHAOS FAIBLEMENT DISSIPATIF 127

Partition directe-r´etrograde

Figure5.11 – Partition obtenue par la propagation directe-r´etrograde syst´ematique du domaine B0 choisi dans la section de Poincar´e.

Pour que la totalit´e de la section de Poincar´e soit visit´ee partant de ce domaineB₀de d´epart, il faut compter onze it´erations dans chaque direction (directe et r´etrograde). Le suivi de cette partition permet de mettre en ´evidence une rotation diff´erentielle, tr`es rapide `a proximit´e de son centre (situ´e `a l’extr´emit´e inf´erieure du domaineB<sub>0</sub>) et tr`es lente sur la r´egion externes de l’attrac-teur. Ce comportement rotatif met en ´evidence le caract`ere toro¨ıdal de l’attracteur. Une premi`ere partition du domaine relatif `a une visite compl`ete de la section de Poincar´e peut ˆetre obtenue par recoupement des domaines visit´es en sens directs et r´etrogrades qui correspondent respectivement aux vari´et´es instables et stables. La partition qui en r´esulte est pr´esent´ee Fig. 5.11. Cette partition syst´ematique conduit `a produire plus de banches que n´ecessaire `a la description topologique du flot (les branches pr´esentant les mˆemes comportements doivent donc ˆetre regroup´ees). Pour dis-tinguer les domaines pouvant ˆetre r´eunis en une branche et pour comprendre les liens existants entre branches distinctes, il est n´ecessaire d’analyser les diff´erents m´ecanismes `a l’œuvre au sein de l’attracteur. Outre les directions de contraction et d’´etirement tr`es visibles Fig. 5.10 (colonne de droite), le m´ecanisme le plus facile `a d´etecter est ici un d´echirement que l’on observe tr`es bien entre B₋₁ (pr´esentant un domaine connect´e au reste de la section), et B₀, un domaine ne pr´esentant plus de connexion au reste de la section (Fig. 5.10). La pr´esence de ce d´echirement permet de diff´erencier d’embl´ee le pr´esent attracteur de celui de Lorenz-84. Cette perte de contact entre les diff´erents domaines du flot entraˆıne une perte d’information suppl´ementaire sur les rotations d’en-semble des domaines (identifiables `a 2πpr`es) ainsi s´epar´es, et sur concernant leur rotation relative (´egalement identifiable `a 2π pr`es). En pratique, cette ind´etermination a pu ˆetre ´elucid´ee par un suivi de la structure le long du flot.

Une analyse d´etaill´ee de ce passage B−1 → B0 a ´et´e effectu´ee en distinguant par un code de couleur diff´erent les deux cˆot´es de la zoneB−1(Fig. 5.12). Cette distinction a permis de mettre en

´evidence plusieurs m´ecanismes. Tout d’abord un enroulement du domaineB₋₁ conduisant `a venir recoller les bords inf´erieurs et sup´erieurs sur eux-mˆemes, et donnant naissance `a une zone creuse (qui continuera `a se propager au sein de l’attracteur). Ce domaine B<sub>−1</sub>, qui pr´esente une forme tr`es empat´ee dans sa partie inf´erieure (au contraire d’une forme sup´erieure tr`es effil´ee), permet la mise en place d’un ´etirement diff´erentiel dans sa zone inf´erieure, conduisant `a l’´emergence d’une troisi`eme branche et `a un ´etirement local de la direction de contraction. On retrouve donc ici un comportement d’´etirement local dans une direction globalement contractante d´ej`a observ´e dans le cas de l’attracteur de Lorenz-84. Ce m´ecanisme est `a l’origine de l’´epaisseur du caract`ere pleinement tridimensionnel du flot et du caract`ere faiblement dissipatif de l’attracteur. L’´emergence d’une zone creuse tend vraisemblablement `a renforcer encore l’´epaisseur du flot dans le cas pr´esent.

domaineB−1

domaineB0

Figure 5.12 – Zoom sur la transition B₋₁^∗ → B₀^∗. Les directions principales d’´etirement et de contraction sont repr´esent´ees en mauve, le mouvement d’enroulement est illustr´e par les fl`eches rouge et jaune. Les directions d’´etiremement locales sont ´egalement repr´esent´ees par de petites fl`eches noires

Reconstruction de la topologie du flot

L’analyse des diff´erents m´ecanismes ici d´etect´es permet d’en tirer un bonne visibilit´e du sque-lette de la zone d’enroulement (Fig. 5.13a). En laissant ´emerger une branche dans le sens perpendi-culaire `a la direction d’´etirement, ce squelette peut ˆetre artificiellement ramen´e `a une repr´esentation plane – comme nous l’avons fait pour l’attracteur de Lorenz-84. Hormis l’identification de la zone de d´echirement, le reste de l’attracteur a pu ˆetre obtenu en prenant en compte une succession de sec-tions de Poincar´e permettant d’identifier d’´eventuels comportements de rotations ne pouvant ˆetre identif´es en s’appuyant uniquement sur la section (rotations `a 2πpr`es des domaines ind´ependants et les uns par rapport aux autres). Un gabarit aplani a ainsi pu ˆetre obtenu (Fig. 5.13b).

5.3. APPLICATION AU CHAOS FAIBLEMENT DISSIPATIF 129

(a) Squelette 3D (b) Gabarit aplani

Figure5.13 – (a) Passade d’une repr´esentation 3D `a une repr´esentation 2D permettant de faire

´emerger une branche et de fournir une repr´esentation plane du branchement entre les diff´erents sous-ensembles de la section de Poincar´e. (b) Gabarit ainsi obtenu. Le code de couleur permet de visualiser la zone d’´emergence au sein du gabarit.

Formulation alg´ebrique

La formulation alg´ebrique n´ecessite de revoir la repr´esentation de la section de Poincar´e sous la forme d’un ensemble de domaines constitu´e de formes rectangulaires. Cette repr´esentation a pu ˆetre obtenue sans difficult´e particuli`ere dans le cas pr´esent (cf. Fig. 5.14). La partition d´etaill´ee ainsi obtenue pr´esente six branches not´ees de (1) `a (6). Le passage de l’´etat initial `a l’´etat final est d´ecrit par la matrice de rotation ΓCcrops

ΓCcrops=

dont les termes sont exprim´es en quart de tours Les termes diagonaux (d’auto-rotation) vont de 0

`

a -12 (soit 0 `a -3π). Les rotations relatives varient de 0 `a -9 (soit de 0 `a -9π/4). Une information compl´ementaire peut ˆetre apport´ee par l’usage d’une matrice de contactCCcrops visant `a d´ecrire les liens de contact entre les branches

Certaines valeur reviennent `a z´ero lors d’un recollage successif `a un d´echirement sur le mˆeme domaine (mais apr`es un mouvement de rotation sp´ecifique non trivial). Celles-ci sont not´ees 0^∗ et sont en fait tels que : 0^∗=−1 + 1.

(a) ´etat initial

(b) ´etat final

Figure 5.14 – Positions initiales et finales des neuf branches dans la section de Poincar´e sch´ematis´ee.

5.3. APPLICATION AU CHAOS FAIBLEMENT DISSIPATIF 131