Pplague(X1, X2, X3) =−6.948.10−5X32−272.040X2+ 1.37910−3X2X3
−6.904.10−9X2X32+ 0.041X22−4.19910−6X23−0.019X1X3+ 1.03810−7X1X32 +0.344X1X2−7.18710−5X1X22−1.641X12+ 3.34310−5X12X3
+9.29910−5X12X2+ 3.36710−3X13
(4.5)
donnant lieu `a un cycle limite de p´eriode 5 pr´esent´e Fig. 4.15c.
Le mod`ele permet de reproduire des trajectoires pr´esentant des directions d’´etirement diff´erentes, suivant que l’on ait affaire `a de petites ou de grandes oscillations, comme mentionn´e pour le por-trait de phase issu des donn´ees. Pour les oscillations de plus grande amplitude, le taux de mortalit´e ne revient toutefois pas proche de z´ero comme pour les donn´ees. En faisant varier le param´etrage du mod`ele, une dynamique chaotique est obtenue (Fig. 4.15d) ; sa structure se r´eduit `a quatre branches correspondant `a un enroulement (Fig. 4.15e). L’obtention de ce mod`ele permet de confir-mer la pr´esence d’un comportement sous-jacent d´eterministe, et potentiellement chaotique. Il est int´eressant de noter qu’en consid´erant la p´eriode compl`ete enregistr´ee 1887-1911 qui inclut la phase de r´egression de l’´epid´emie (en fait, l’´epid´emie a dur´e jusqu’en 1913 `a Bombay), les mod`eles obte-nus par approche globale convergent syst´ematiquent vers un point fixe stable proche de (0,0,0).
En d’autres termes, l’effet de la vaccination semble pouvoir ˆetre captur´e par les mod`eles.
4.5 Conclusions
Si l’approche de mod´elisation globale a pu ˆetre appliqu´ee avec succ`es `a un nombre consid´erable de syst`emes th´eoriques et exp´erimentaux [138, 186], l’approche n’a permis d’obtenir qu’un petit nombre de mod`eles issus de contextes r´eels, que ce soit pour la dynamique des tˆaches solaires [196], une dynamique ´ecologique [213] ou encore la dynamique de la respiration humaine [200].
Trois autres contextes ont ´et´e pr´esent´es dans le pr´esent chapitre concernant la dynamique des cultures c´er´eali`eres en r´egions semi-aride (r´esultats ayant pu ˆetre confirm´es en diff´erentes r´egions), la dynamique nivale sur les massifs M´editerran´eens, et la dynamique ´eco-´epid´emiologique. L’ap-proche globale nous semble plus que jamais prometteuse. Mieux encore, les mod`eles obtenus pour la dynamique c´er´eali`ere pr´esentent une structure d’une complexit´e qui n’a jamais ´et´e obtenue par mod´elisation globale, et qui semble relever d’une dynamique toro¨ıdale faiblement dissipative. De telles structures sont encore tr`es rares dans le domaine de la th´eorie du chaos [198] et les r´esultats pr´esent´es ici sont les premiers exemples issus de conditions r´eelles. Ils repr´esentent donc des ob-jets d’´etude particuli`erement int´eressants, aussi bien d’un point de vue th´eorique que th´ematique, et fondamental comme appliqu´e. L’un des moyens de caract´erisation du chaos les plus puissants est bas´ee sur la topologie du chaos. Or les quelques cas de chaos toro¨ıdal faiblement dissipatifs r´esistent mieux que les autres aux outils d’analyse de la topologie du chaos. La volont´e d’explorer la topologie de nos mod`eles faiblement dissipatif, nous a conduit `a d´evelopper un quatri`eme axe de recherche, qui concerne la topologie du chaos. Ce dernier axe fera l’objet du chapitre suivant.
Chapitre 5
Topologie du chaos
”The fourth dimension I am still pushing ahead of me.” Otto R¨ossler, 2011.
”Some of Gilmore’s mathematician friends told him to give up. Perhaps...” C. Le-tellier, 2013.
5.1 Introduction
Nous avons vu dans les chapitre 3 et 4 que la mod´elisation globale [138, 197] permettait d’obtenir des jeux d’´equations `a partir de s´eries observationnelles et, ainsi, d’en tirer des informations sur les dynamiques observ´ees, sans hypoth`ese forte sur la formulation des ´equations sous-jacentes au syst`eme observ´e (cf. chapitre 2).
Nous avons ´egalement vu dans les pr´ec´edents chapitres que trois types d’invariants peuvent ˆetre utilis´es pour caract´eriser de telles dynamiques chaotiques, `a savoir les invariants nonlin´eaires g´eom´etriques, dynamiques et topologiques. Dans le pr´esent chapitre, nous nous concentrerons ex-clusivement sur l’approche topologique qui pr´esente l’int´erˆet tr`es particulier de permettre une caract´erisation non ´equivoque des dynamiques, ce qui n’est pas le cas des invariants dynamiques et g´eom´etriques. L’approche topologique permet, en effet, d’effectuer une classification syst´ematique des dynamiques, point tout `a fait fondamental pour la compr´ehension des diff´erents types de com-portements dynamiques, que ce soit pour des syst`emes th´eoriques ou issus d’observations r´eelles.
La th´eorie et les techniques actuelles pr´esentent toutefois d’importantes limitations. D’une part, la th´eorie et les m´ethodes d’analyse qui en ont d´ecoul´ees [80, 225, 135, 286, 136, 199] ne sont valides qu’en dimension 3, ce qui constitue une s´ev`ere limitation [139]. D’autre part, plusieurs type de chaos tridimensionnels r´esistent encore `a l’analyse : ce sont le chaos toro¨ıdal [204] et le chaos fai-blement dissipatif [206]. Ces limitations sont clairement ´evoqu´ees dans [136, 195, 199]. Plusieurs des attracteurs chaotiques obtenus dans le chapitre pr´ec´edent sont faiblement dissipatifs et pr´esentent des caract´eristiques qui ´evoquent clairement le chaos toro¨ıdal. Leur analyse topologique pose ef-fectivement, d`es le d´epart, des difficult´es sp´ecifiques qui montrent que nous avons bien affaire `a l’un de ces cas difficiles. Cette confrontation nous a conduit `a mettre en place un quatri`eme axe de recherche, celui de la topologie du chaos.
Au d´emarrage du travail pr´esent´e dans ce chapitre, l’objectif ´etait de mettre en place une ap-proche qui permettrait d’effectuer l’analyse topologique du premier mod`ele (15 termes) obtenu pour la dynamique des cultures c´er´eali`eres (cf. chapitre 4, Eq. 4.3, Fig. 4.2). Ce mod`ele pr´esentant un comportement faiblement dissipatif (DKY = 2.68) et une structure d’apparence toro¨ıdale, le probl`eme revenait donc `a s’attaquer `a un probl`eme ouvert. Nous avons d´evelopp´e une m´ethode adapt´ee `a notre probl`eme, ce qui nous a permis d’en d´eduire la structure sous-jacente `a la dy-namique des cultures c´er´eali`eres. Etant parvenu `a ce r´esultat tr`es encourageant, nous avons alors cherch´e d’une part `a mieux th´eoriser l’approche et `a voir dans quelle mesure celle-ci pourrait ˆetre appliqu´ee `a d’autres syst`emes paradigmatiques du chaos faiblement dissipatif (et potentiellement toro¨ıdal) ; puis `a essayer de voir si cette approche pourrait faciliter l’analyse de dynamiques de plus grande dimension.
111
Les investigations s’´etant av´er´eesa posteriori– comme souvent dans la recherche – peu lin´eaires, la pr´esentation de ces r´esultats ne se fera pas dans l’ordre chronologique de leur avanc´ee mais d’une toute autre mani`ere : apr`es avoir pr´esent´e les principaux concepts de la topologie du chaos, on se propose de pr´esenter l’approche que nous avons d´evelopp´ee pour l’´etude et la description de structure d’attracteurs chaotiques faiblement dissipatifs. L’approche sera alors test´ee sur le premier attracteur chaotique faiblement dissipatif, d´ecouvert par Lorenz en 1984 [206]. Nous appliquerons ensuite l’approche au mod`ele `a 15 termes pr´esent´e en chapitre 4, obtenu pour la dynamique des cultures c´er´eali`eres et montrerons, en s’appuyant sur les crit`eres introduits par Letellier & Aguirre [201], que l’attracteur obtenu de ce mod`ele est effectivement un nouvel attracteur. Nous chercherons ensuite `a voir dans quelle mesure l’approche peut ˆetre ´etendue `a des syst`emes de plus grande dimension, en nous basant sur des cas th´eoriques chaotiques et hyperchaotiques.