Figure 5.21 – plis d’une section 3D suivant (tx) pour des angles positif (`a gauche) et n´egatif (`a droite).
o`u (t .) repr´esente toute rotation autour d’un hyper-axe incluant la direction (t) de l’ensemble du flot (o`u les termes sont – dans ce cas particulier – commutatifs).
Pr´ecisons ici que ne disposant que des ´etats initiaux et finaux, il ne sera pas n´ecessairement pos-sible d’identifier l’ordre des mouvements. Toutefois, les mouvements de rotation ´etant alg´ebriquement non commutatifs dans le cas g´en´eral, les diff´erentes solutions possibles n’en seront pas moins tr`es contraintes et en cons´equence leur nombre restreint.
Mouvement d’un ensemble de Poincar´e 2D dans l’espace 4D
Les mouvements de rotation possibles au sein d’un flot 4D pr´esentant un ensemble de Poincar´e 2D peuvent ˆetre directement d´eduits des Figures 5.18 et 5.19 en faisant tendre l’´epaisseur de l’une des directions vers 0. Ces mouvements sont pr´esent´es Fig. 5.18, obtenus en n´egligeant l’´epaisseur suivant la direction (x). Les mouvements de rotation pr´esent´es autour du plan (tx) se ram`enent alors aux mouvements de rotations possibles dans R3. Les mouvements de rotation autour des plans (ty) et (tz) qui permettent une inversion de la normale au flot restent sp´ecifiques `aR4et leur d´etection r´ev´elatrice de cette situation. Notons que si l’on ne dispose pas du flot, mais seulement d’un ensemble de Poincar´e 2D, les mouvements de rotation autour de (ty) et (tz) ne pourront ˆetre per¸cus qu’au signe pr`es (puisqu’on ne pourra donc pas distinguer Γ+πde Γ−πdans les Eqs 5.18 &
5.19). Le mˆeme type de perte d’information aura lieu pour un ensemble de Poincar´e 3D issu d’un flot 5D et plus g´en´eralement pour un ensemble de Poincar´enD issu d’un flot (n+ 2)D.
5.5 Application aux syst` emes discrets ` a deux variables
Nous avons vu qu’en dimension trois, les flots rencontr´es pouvaient ˆetre plus ou moins ´epais selon qu’ils correspondent `a des comportements plus faiblement ou plus fortement dissipatifs. Pour des raisons m´ethodologiques, cela nous a conduit `a distinguer les flots pr´esentant des sections de Poincar´e localement unidimensionnelles des flots pr´esentant des sections pleinement bidimension-nelles. La mˆeme n´ecessit´e de distinguer la dimension des sections peut ˆetre attendue en dimension quatre avec les sections de Poincar´e 2D mais aussi 3D. Pour anticiper ces comportements, deux types de syst`emes ont ´et´e consid´er´es, bas´es sur des formulations discr`etes `a deux ou trois variables.
Les derniers paragraphes de ce chapitre 5 visent `a v´erifier l’applicabilit´e de l’analyse topologique
`
a diff´erents cas. En effet, nous avons vu au paragraphe pr´ec´edent (§5.4), qu’il ´etait possible, en s’appuyant sur le suivi des sections de Poincar´e (malgr´e certaines ambigu¨ıt´es, pour les section 2D, notamment) de caract´eriser un flot quadridimensionnel par l’analyse de la partition initiale et finale. Pour cela, le flot doit ˆetre connexe, ce qui doit se traduire par l’absence de d´echirement au sein de la section de Poincar´e. Plutˆot que d’appliquer l’approche `a des syst`emes continus (pour lesquels il serait n´ecessaire d’effectuer un choix de section de Poincar´e qui pourrait s’av´erer d´elicat),
(a) Auto-rotations (b) Rotations relatives
Figure5.22 – Mouvements de rotation possibles pour un flot dansR4 pr´esentant un ensemble de Poincar´e 2D.
nous avons pr´ef´er´e nous int´eresser d’abord `a des syst`emes chaotiques discrets bien identifi´es, et `a chercher `a reconstruire leur suspension – possiblement quadridimensionnelle – et d’en obtenir un gabarit ou un squelette.
5.5.1 le syst` eme de H´ enon ` a suspension 4D connexe
Le syst`eme de H´enon est une application discr`ete bidimensionnelle introduite en 1976 [158].
Cette application est d´efinie comme
Xi+1=Yi+ 1−aXi2 Yi+1=bXi.
(5.21) pour lesquels deux types de comportements peuvent ˆetre distingu´es, preservant, ou non, l’orienta-tion de l’applical’orienta-tion et pour lesquels des suspensions diff´erentes peuvent donc ˆetre attendues. Une suspension 3D est attendue lorsque l’orientation est pr´eserv´ee, et le mod`ele tridimensionnel d’une telle suspension a r´ecemment pu ˆetre obtenu [269].
Pour (a, b) = (1.4,0.3), la dynamique pr´esente un comportement chaotique avec une inversion d’orientation. Une telle inversion ´etant impossible en dimension trois, une suspension de dimension quatre doit ˆetre attendue. Une repr´esentation plane de la structure peut toutefois en ˆetre esp´er´ee, s’agissant d’une dynamique chaotique et non hyperchaotique.
L’analyse de la suspension de cette application peut ˆetre effectu´ee en consid´erant cette applica-tion comme la secapplica-tion de Poincar´e d’un flot continu. La m´ethode du traceur color´e a ´et´e utilis´ee ici dans l’objet d’obtenir la structure topologique de la suspension de cette application. L’application
´etant bidimensionnelle, son analyse est tr`es similaire `a celle pr´esent´ee, pr´ec´edemment, pour un flot 3D. En utilisant un tra¸cage color´e (Fig. 5.23a), on aboutit apr`es une it´eration, `a la configuration pr´esent´ee Fig. 5.23c. L’utilisation du traceur color´e pour suivre les diff´erentes parties de l’applica-tion entre l’´etat initial (a) et l’´etat final (c), met en ´evidence deux ´el´ements essentiels. D’une part, aucun d´echirement n’est pr´esent entre l’´etat initial et l’´etat final, la suspension est donc connexe et l’analyse topologique doit pouvoir ˆetre directement d´eduite de l’analyse de cette transformation (`a 2π pr`es concernant son comportement d’ensemble du flot). D’autre part, il n’est pas possible
5.5. APPLICATION AUX SYST `EMES DISCRETS `A DEUX VARIABLES 139 de passer de l’´etati`a l’´etati+ 1 ni par de simples rotations dans le plan de l’application, ni par anamorphose. En effet, l’utilisation d’un traceur de la normale (pr´esent´e Fig. 5.23 sous la forme d’un petit carr´e orient´e) nous r´ev`ele la pr´esence d’une sym´etrie et illustre la n´ecessit´e de dispo-ser d’un espace de dimension 4 pour pouvoir reconstruire la suspension 4D de cette application.
En utilisant les rotations autoris´ees par la dimension quatre, le passage de l’´etati `a l’´etat i+ 1 devient quasi-direct (pour une meilleure correspondance visuelle, on choisira pour les variables la correspondance suivante : X ≡ y et Y ≡ z). En effet, une fois l’inversion de sym´etrie effectu´ee par une rotation de ±π autour du plan (tz) (les deux cas (tz)−4 et (tz)+4 sont possibles ici, le sens de rotation ´etant perdu, cf.§5.4) ; en revanche, la section ´etant plane, le recours `a un flot de dimension cinq ne peut ˆetre justifi´e, il ne reste plus qu’`a effectuer une contraction de la section, suivi d’un repliement d’angle±πsuivant l’axe (tx) d’une partie de l’application. L’obtention de la structure du flot de la suspension en d´ecoule directement.
(a) traceur initial (b) sym´etrie (4D rotation) (c) traceur final Figure5.23 – Passage de l’´etat initial (a) au final (c) du traceur.
Ne pouvant disposer ici que d’une section unique, la topologie ne peut ˆetre obtenue qu’`a 2πpr`es pour ce qui concerne la rotation d’ensemble du flot (cf. Eq. 5.20). Nous avons, de ce fait, cherch´e
`
a produire la formulation la plus simple possible. Le squelette ainsi obtenu pour l’attracteur de H´enon est pr´esent´e Fig. 5.24a. Il est formul´e sous la forme de deux m´ecanismes successifs : une auto-rotation (de ±π autour de (tz)) et une distinction (s´eparation sans d´echirement) en deux sous-branches (connexes donc), l’une pr´esentant une rotation de±πdans le plan de l’application et venant se placer sous la premi`ere. Le squelette ainsi obtenu peut ˆetre ramen´e en un gabarit classique (Fig. 5.24b) en symbolisant l’auto-rotation mentionn´ee ci-dessus sous la forme d’un trap`eze vertical (rotation autour du plan (tz)) de sens indiff´erenci´e (en raison de l’ambigu¨ıt´e du signe, qui est sp´ecifique aux sections 2D dansR4).
En s’appuyant sur ces m´ecanismes successifs, et sur les rotations qui leur correspondent (cf.
Fig. 5.22), un descriptif alg´ebrique est ´egalement possible. La formulation permet de distinguer le mouvement d’ensemble du mouvement relatif, en deux matrices distinctes, chaque ´el´ement de ma-trice ´etant constitu´e d’une succession ordonn´ee (afin d’assurer la non commutativit´e des rotations) d´ecrivant les rotations successives. Le squelette ainsi obtenu peut ˆetre d´ecrit par la matrice ΓH
ΓH= o`u les lignes et colonnes correspondent aux diff´erentes branches du flot, les accolades pr´esentent l’ordre successif des rotations, et les nombres entiers plac´es en exposant expriment les angles de rotation en huiti`eme de tours (π/4) suivant les conventions pr´esent´ees plus haut (cf. Figs. 5.18, 5.19 et 5.22). Cette solution n’est pas unique ici dans la mesure o`u la rotation par rapport au plan (tz) pourrait ˆetre effectu´ee en second plutˆot qu’en premier. Toutefois, l’ordre des rotations ne peut pas ˆetre simplement invers´e en raison de la non commutativit´e des rotations ; une telle inversion
(a) Squelette (b) Gabarit
Figure5.24 – Squelette (a) et gabarit (b) correspondant `a la suspension (la plus simple possible) du syst`eme de H´enon.
n´ecessite de modifier la formulation de ΓH en Γ˜H=
L’utilisation des quaternions permettrait certainement de disposer d’une notation plus synth´etique pour la description de la topologie d’une telle structure ; elle serait peut-ˆetre ´egalement plus efficace pour automatiser la recherche des formulations les plus simples ou pour effectuer plus efficacement des comparatifs de dynamiques. Malgr´e son efficacit´e, le descriptif pr´esent´e ci-dessus ne permet pas d’expliciter la connectivit´e lat´erale des diff´erents domaines d’un attracteur. Le dispositif peut donc encore ˆetre un peu raffin´e.
5.5.2 Le syst` eme super-H´ enon ` a suspension 4D connexe
L’application super-H´enon est introduite ici afin de disposer d’un cas un peu plus complexe.
L’application super-H´enon est d´efinie ici comme :
Pour (a, b, c, d) = (1.4,0.3,0.95,0.5), le syst`eme pr´esente un comportement chaotique. L’analyse topologique peut ˆetre conduite de la mˆeme mani`ere, en se basant sur des traceurs color´es (Fig.
5.25). L’application pr´esente une structure tr`es similaire, hormis une nouvelle zone de replis sur laquelle nous allons porter notre attention. Ce repliement naˆıt d’un mouvement de rotation de la zone couleur sable, centr´ee sur (x, y) = (1.3,0.0), au sein du grand rectangle vert. La r´egion situ´ee
`
a gauche de cette zonex <1.3 pr´esente le mˆeme comportement que celui pr´esent´e pour l’attracteur de H´enon tandis que la r´egion sup´erieure pr´esente une nouvelle rotation se traduisant visuellement par une nouvelle inversion de la normale. Un squelette `a trois branches peut directement ˆetre d´eduit de cette analyse (Fig. 5.25c) : un gabarit peut aussi ˆetre obtenu par projection suivant la direction de contraction (Fig. 5.25d).
5.5. APPLICATION AUX SYST `EMES DISCRETS `A DEUX VARIABLES 141 o`u les ambigu¨ıt´es de signe±4 proviennent de l’incertitude sp´ecifique aux sections bidimensionnelles dansR4. Dans le cas pr´esent, le premier mouvement de rotation correspondant `a un mouvement de l’ensemble du flot, qui peut ˆetre ainsi simpllifi´e en
Γsuper−H =
(tz)±4,
(tx)−4 (tx)−2 (tx)−2 (tx)−2 1 (tx)−2 (tx)−2 (tx)−2 (tz)±4
. (5.26)
Le fait, ici encore, de pouvoir r´eduire `a un gabarit une dynamique au flot quadridimensionnel tient au fait qu’une seule direction est en fait instable et que la dynamique est fortement dissipative.
(a) traceur initial (b) traceur final
(c) squelette de la suspension (d) gabarit de la suspension
Figure 5.25 – Passage de l’´etat initial (a) au final (b) des traceurs color´es pour l’application super-H´enon. Gabarit (c) et squelette (d) des suspensions les plus simples.