Nous venons de voir qu’il ´etait possible de d´eduire le squelette d’un attracteur chaotique 4D connexe pr´esentant une unique direction instable, sur la base d’une section de son flot, et d’en tirer un gabarit plan tout en conservant toutefois certaines ambigu¨ıt´es de signe dues `a la perte d’information, qui est sp´ecifique au cas des sections 2D (cf.§5.22). Int´eressons nous maintenant `a des syst`emes pr´esentant non plus une, mais deux directions instables, caract´eristiques d’un r´egime hyperchaotique. Le syst`eme le plus paradigmatique d’un tel comportement, en dimension quatre, est assur´ement le syst`eme hyperchaotique introduit par R¨ossler en 1979 [255] dont les ´equations originales sont les suivantes :
Pour ce param´etrage, le syst`eme pr´esente un r´egime hyperchaotique caract´eris´e par deux exposants de Lyapunov positifs [255]. La topologie de ce syst`eme est inconnue `a ce jour et constitue l’un des importants d´efis actuels de la th´eorie du chaos [195, 199]. Les approches introduites dans notre travail peuvent-elles nous permettre d’aborder le probl`eme ?
5.6.1 L’application walking stick 3D ` a suspension 4D connexe
Comme nous avons pu le voir pr´ec´edemment, quel que soit le syst`eme consid´er´e, le premier probl`eme consiste `a choisir une section de Poincar´e, probl`eme pouvant s’av´erer d´elicat en dimension trois,a fortiorien dimension quatre. Pour contourner ce probl`eme, le choix effectu´e a ´et´e, comme pour les cas simplement chaotiques pr´esent´es aux paragraphes § 5.5.1 et § 5.5.2, de partir d’un syst`eme discret plutˆot que continu. Un syst`eme discret hyperchaotique appel´e3D-walking stick a
´et´e propos´e par R¨ossler commeprototypedu jeu d’´equations du syst`eme continu (Eqs. 5.27).
Ce prototype apparaˆıt tout `a fait int´eressant `a consid´erer ici. Les ´equations de cette application hyperchaotique `a trois variables sont [255]
L’application de ce syst`eme permet d’obtenir le portrait 3D pr´esent´e Fig. 5.26a, qui se caract´erise par une forme parabolique suivant l’axe desy, et d’un comportement d’apparence beaucoup plus simple suivant les deux autres axes xet z. Comme nous l’avons fait pour les syst`emes de H´enon (Eqs. 5.21) et de super-H´enon (Eqs. 5.24), nous allons chercher `a retrouver la topologie de la suspension `a cette application en la consid´erant comme la section de Poincar´e d’un flot de R4. L’approche des traceurs color´es va ˆetre appliqu´ee ici encore. ´Etant `a ce stade principalement visuelle et manuelle, l’approche n´ecessite, pour pouvoir ˆetre appliqu´ee, de disposer d’une bonne visibilit´e des diff´erentes parties de la section. Afin de disposer d’une meilleure visibilit´e, le diff´eomorphisme suivant a d’abord ´et´e appliqu´e `a la section :
permettant d’obtenir une nouvelle section pr´esent´ee Fig. 5.26b, ´equivalente `a la pr´ec´edente mais permettant de visualiser des structures au sein de la parabole, et donc d’en entamer l’analyse. En se
5.6. APPLICATION `A UN SYST `EME DISCRET `A TROIS VARIABLES 143
(a) (x,y,z) (b) (˜x, ˜y, ˜z)
Figure 5.26 – Portrait original (a) et portrait anamorphos´e suivant le diff´eomorphisme pr´esent´e en (5.29) (b) de l’application3D walking stick(Eq. 5.28, [255]).
basant sur ce portrait de section anamorphos´e, la m´ethode des traceurs color´es (Fig. 5.27) a permis d’obtenir une partition de la section et de montrer qu’il n’y avait pas de m´ecanisme de d´echirement au sein de l’attracteur. Ce point est ici essentiel puisqu’il nous garantit que l’analyse topologique pour la suspension du syst`eme3D-Walking stick peut ˆetre effectu´ee de mani`ere compl`ete sur la base d’une section unique (`a un mouvement de rotation de l’ensemble du flot modulo 2πpr`es). En effet, les ambigu¨ıt´es de signe rencontr´ees dans le cadre de sections 2D ne se rencontrent pas avec les sections 3D. L’analyse d´etaill´ee permet de mettre en ´evidence deux plis principaux donnant finalement lieu `a une partition en 28 branches. Sur cette base, un squelette de l’attracteur a pu ˆetre propos´e (Fig. 5.28). Bien que sa structure gagne `a ˆetre repr´esent´ee de fa¸con quadrimensionnelle pour un meilleur suivis des m´ecanismes de repliement, sa dimension peut ˆetre r´eduite et le squelette ramen´e `a un squelette 3D, avec des sections 2D au d´epart et `a l’arriv´ee. Ce squelette ne peut en aucune fa¸con ˆetre ramen´e `a un gabarit plan habituel. Cette impossibilit´e r´esulte directement du double ´etirement, c’est-`a-dire du caract`ere hyperchaotique du syst`eme.
En s’appuyant sur une notation la plus condens´ee, la topologie du squelette ainsi obtenu peut ˆetre formul´ee comme o`u les lignes et les colonnes des matrices correspondent `a une partition simplifi´ee en quatre branches (1, 2, 3 et 4). Cette formulation ne fournit toutefois pas la totalit´e de l’information puisqu’elle n’explicite que les mouvements successifs d’auto-rotation et de rotations relatives des branches principales (ce qui revient `a d´ecrire les plis du flot) sans d´etailler le comportement des sous-branches, et sans sp´ecifier la correspondance des branches entre partition initiale et partition finale.
Pour expliciter cette correspondance, il est n´ecessaire de d´etailler les branches, ce qui peut se faire de la fa¸con suivante :
A=
o`u les lignes et les colonnes correspondent `a la partition 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 2a, 2c, 2d, 2f, 3, 4a, 4b, 4c. La redistribution de la sous-partition deC se fait suivant la correspondance
{1a1,1c1,1d1,2a1,2c1,2d1,31,4a1,4c1} → {1}
{1a2,1b2,1c2,1d2,1e2,2a2,2c2,32,4a2,4b2,4c2} → {2}
{1d3,2d3,2f3} → {3}
{1d4,2e4,2d4,2f4} → {4}
(5.33)
5.6. APPLICATION `A UN SYST `EME DISCRET `A TROIS VARIABLES 145
(a)tn (b)tn+1
(c)tn (d)tn+1
(e)tn (f) tn+1
Figure 5.27 – Sections de l’attracteur 3D-Walking Stick [255] avec trois zones s´electionn´ees au tempstn (`a gauche) et propagation de cette zone sur l’attracteur au temps tn+1.
Figure5.28 – Squelette de l’attracteur 3D-walking stick [255] (Eq. 5.28) qui peut ˆetre r´eduite `a un squelette ´epais (2D plus le temps), mais gagne `a ˆetre repr´esent´e et pens´e en 4D.
5.7. AU-DEL `A 147