Une approche bas´ ee sur la section de Poincar´ e

a l’application de premier retour. Cette premi`ere difficult´e nous a conduit `a remonter `a l’´etape pr´ec´edant la recontruction de l’application de premier retour : un retour `a la section de Poincar´e.

5.2.2 Une approche bas´ ee sur la section de Poincar´ e

Comme nous venons de l’´evoquer, l’identification des diff´erentes branches d’un attracteur est ais´ee d`es lors qu’on est capable de ramener la dynamique `a une application unidimensionnelle. Il n’en est toutefois pas toujours ainsi et d’autres approches ont ´et´e propos´ees. L’une des approches qui a ´et´e d´evelopp´ee s’appuie sur les tangentes homoclines, c’est-`a-dire les trajectoires pour lesquelles vari´et´es stables et instables sont tangentes [143]. Une partition peut ˆetre obtenue en connectant les tangentes homoclines entre elles. La mise en application de cette approche s’est toutefois av´er´ee particuli`erement d´elicate car tr`es sensible au bruit. En effet, les tangentes homoclines ´etant, par d´efinition, tangentes aux vari´et´es stables et instables, les trajectoires perturb´ees ne peuvent ˆetre rame´ees vers l’attracteur, conduisant `a une amplification du bruit particuli`erement marqu´ee [161].

Une approche beaucoup plus robuste s’appuyant sur l’analyse des orbites p´eriodiques instables a ´et´e propos´ee permettant d’´eviter de recourir aux tangentes homoclines [183]. L’approche a no-tamment pu ˆetre appliqu´ee au un cas exp´erimental d’un laser CO2 `a pertes modul´ees [182] dont la dynamique est caract´eris´ee par une structure topologique difficile `a distinguer. L’approche s’est

´egalement montr´ee d’une grande pr´ecision grˆace `a l’adjonction d’un algorithme de triangularisa-tion [242]. `A notre connaissance, l’approche n’a toutefois pas ´et´e appliqu´ee `a des cas faiblement dissipatifs, et n’est pas applicable `a des dynamiques pr´esentant des inversions.

Une approche d’identification des zones de pi´egeage bas´ee sur l’extraction de ligne isochrones a ´egalement ´et´e propos´ee [84]. Cette autre approche a permis d’entamer la partition de la section de Poicar´e et l’analyse topologique de l’attracteur de Chua [96] dans le cas d’un param´etrage pour lequel l’attracteur pr´esente un enroulement en spirale qui ne peut de ˆetre ramen´e `a une application unidimensionnelle.

Partition de la section de Poincar´e

L’objectif de la partition de la section de Poincar´e est d’identifier les diff´erents domaines de l’at-tracteur chaotique, afin de comprendre ensuite les diff´erentes fa¸cons de visiter ces domaines. Notre partition doit nous permettre de distinguer ces domaines sans redondance, c’est-`a-dire sans effec-tuer de sous-d´ecoupage d’un domaine qui pr´esenterait un comportement consistant, deux domaines consistants devant alors ˆetre rassembl´es en un seul, ni de sur-d´ecoupage (un domaine ne peut ˆetre consitu´e de sous-domaines diff´erents). Dans le cas d’un attracteur chaotique, cette partition doit distinguer au moins deux domaines distincts.

5.2. ´EL ´EMENTS DE TH ´EORIE ET APPROCHES 115 Identifier une partition adapt´ee de notre section de Poincar´e consiste `a obtenir une application surjective de notre section de Poincar´e vers elle-mˆeme, qui, `a chaque sous-ensemble de d´epartBi

permettra d’associer l’un de ces mˆemes sous-ensembleBj `a l’arriv´ee. Pour ˆetre caract´eristique de notre attracteur, la s´eparation entre ces diff´erents sous-ensembles devra ˆetre le reflet des diff´erents m´ecanismes `a l’œuvre au sein de l’attracteur (repliement et d´echirement, en particulier) lesquels devront donc ˆetre d´etect´es au sein de la section de Poincar´e. En pratique, ces m´ecanismes peuvent ˆetre plus ou moins difficiles `a d´etecter. Les repliements se traduisent par une discontinuit´e au sein de la section de Poincar´e (autrement-dit par une simple perte de diff´eomorphisme), les d´echirements par une d´econnexion (soit une perte d’hom´eomorphisme).

Le probl`eme de partition peut se formuler comme suit. Soit F une application telle que : F: Sⁿ→Sⁿ

x_i 7−→x_i+1 (5.1)

o`u S<sup>n</sup> est une section de Poincar´e de dimension n de l’attracteur chaotiqueCA plong´e dans un espace de dimensiond > n, c’est-`a-dire

Sⁿ ≡CA∩Qⁿ₊, CA⊂R^d (5.2)

o`u Q<sup>n</sup><sub>+</sub> correspond `a la surface orient´ee de la sectionQ_n choisie.

Notre objectif est d’obtenir une partition de Sⁿ en un ensemble de m sous-ensembles, qui garantisse d’abord les propri´et´es suivantes sous-ensembles qui ne pr´esentent pas d’intersction entre eux et qui d´ecoulent de B0. L’ensemble desBi (i=0 `am) couvrent la totalit´e de la sectionSⁿ.

Cette formulation permet de garantir que notre partition de d´epart soit effectivement une partition, mais ne permet pas d’identifier la partition d’arriv´ee. Or la partition d’arriv´ee diff`ere n´ecessairement de la partition de d´epart. En particulier, une telle partition ne permet pas d’expli-citer comment la zoneB0initialement choisie sera r´eoccup´ee. Cette information nous sera donn´ee en prolongeant l’application jusqu’`a Bm+1. On aura alors

B_m+1≡n Cette formulation du probl`eme en deux syst`emes d’´equations (Eqs. 5.3 et 5.4) nous permet d’ex-pliciter en partie la probl´ematique, mais reste insuffisante.

En effet, cette formulation garantit une partition compl`ete et sans recoupement de notre section S<sup>n</sup>au d´epart et `a l’arriv´ee, mais ne permet aucunement d’en garantir la coh´esion avec la structure de l’attracteur. Pour que cette partition soit repr´esentative de la structure de l’attracteur, il faut que les limites des sous-ensemblesBi soient en correspondance avec les vari´et´es stables et instables de l’attracteur, qui structurent le flot. Les vari´et´es stables peuvent ˆetre d´efinies comme l’ensemble des points du flot ayant mˆeme futur, les vari´et´es instables comme ceux ayant mˆeme pass´e, c’est-` a-dire

W^s(¯x) ={x\ lim_t→∞φt(x) = ¯x}

W^u(¯x) ={x\ lim_t→−∞φt(x) = ¯x}. (5.5) Le contour des sous-ensemblesBidoivent donc ˆetre en coh´esion avec les vari´et´es stables et instables du flot, soit

Sm

i=1ζ(Bi) ⊆ S

kζ(Sn∩W_k^s,u) (5.6)

o`uζ(.) est la fonction contour,dla dimension de l’espace des phases, et o`u lesW_k^s,ucorrespondent aux vari´et´es stables et instables du flot.

Cet ensemble d’´equations (Eqs. 5.3, 5.4 et 5.6) nous fournit toutes les contraintes et propri´et´es n´ecessaires `a la distinction des diff´erentes branches du flot. Il est important de noter que cette formulation n’est pas propre `a la dimensiond= 3 mais est – au contraire – tout `a fait g´en´erale.

Cette formulation nous fournit ´egalement une partie de la m´ethodologie `a mettre en œuvre pour obtenir la partition puisqu’elle s’appuie sur la propagation d’un ensembleB0pour en d´eduire les autres ensembles. Elle ne nous indique toutefois pas comment choisir B0, qui reste un point critique de la proc´edure. De mani`ere pratique, on pourra noter que les contraintes ainsi formul´ees sont ´egalement valides en sens r´etrogrades et peuvent ainsi permettre d’obtenir un autre d´ecoupage – r´etrograde donc – qui pourra, si n´ecessaire, ˆetre recoup´e avec le d´ecoupage direct. Un tel recoupe-ment conduira toutefois `a un sous-d´ecoupage de la partition optimale qui devra donc ˆetre simplifi´e, ensuite en associant les branches pr´esentant les mˆemes comportements.

De mani`ere pratique, nous nous sommes, pour notre part, appuy´es sur cette formulation pour obtenir la partition des sections de Poincar´e de fa¸con empirique, privil´egiant une approche manuelle afin notamment de mieux comprendre les r´esultats rencontr´es en cours d’analyse et de s’assurer de leur validit´e. Le d´eveloppement m´ethodologique nous a d’ailleurs beaucoup aid´e `a comprendre les m´ecanismes en jeu dans les attracteurs. Pour cette analyse empirique, nous nous sommes appuy´es sur les traceurs color´es qui permettent souvent une excellente distinction des m´ecanismes `a l’œuvre au sein de l’attracteur. Ces m´ecanismes sont nombreux, il s’agit de : (a) l’´etirement, (b) la compac-tion (ou l’aglom´eration lorsque plusieurs couches distinctes sont compact´ees), (c) le d´echirement, (d) le collage et (e) le repliement. Les d´echirements sont les plus faciles `a d´etecter puisqu’ils se manifestent par la s´eparation du flot en sous parties, et donc au scindement en sous-ensembles d’un domaine originalement connexe. La partition pouvant ˆetre appliqu´ee dans le sens direct (i >0) comme dans le sens r´etrograde (i < 0), les m´ecanismes de collage peuvent ˆetre d´etect´es de mˆeme en consid´erant l’application r´etrograde.

La d´etection des comportements de repliement est tout aussi importante pour effectuer la par-tition du flot dans la mesure o`u il s’agit, avec le m´ecanisme de collage, de l’autre m´ecanisme permettant d’assembler des branches diff´erentes. Leur d´etection est n´eanmoins beaucoup plus d´elicate dans la mesure o`u elle n´ecessite de distinguer, non pas une d´econnexion, mais une perte de diff´erentiabilit´e locale pouvant se trouver au sein d’une section connexe. Pour en faciliter la d´etection, l’utilisation d’un traceur color´e (´eventuellement bas´e sur une palette bi-dimensionnelle) s’est av´er´e d’une tr`es grande utilit´e.

La d´etection des m´ecanismes d’´etirement et de compaction / aglom´eration jouent un rˆole essen-tiel pour comprendre la structuration du flot, mais ce ne sont pas eux qui vont induire la partition, leur d´etection n’est pas indispensable `a ce stade.

Descriptif des comportements des branches

Une partition obtenue sur la base des propri´et´es et contraintes ´enonc´ees ci-dessus fournit de mani`ere directe la correspondance entre branches, mais aucune information relative `a leurs entre-lacs.

En dimension trois, les entrelacs peuvent en principe ˆetre d´eduits des nombres d’enlacements calcul´es avec l’une des m´ethodes mentionn´ees plus haut (cf.§5.2). Dans certains cas, les entrelacs peuvent ˆetre observ´es en utilisant une succession de coupes le long du flot, de mˆeme que les rotations des branches sur elle-mˆemes. Qui plus est, lorsque l’attracteur ne pr´esente pas de m´ecanisme de d´echirement, le flot reste en contact avec lui-mˆeme en tout point de l’espace et l’analyse de la structure de l’attracteur peut se d´eduire presque enti`erement de l’analyse de la section de Poincar´e, c’est-`a-dire `a une rotation modulo 2πdu flot dans son ensemble.

Bien que la m´ethode de partition de la section de Poincar´e reste tout aussi valable en dimen-sion sup´erieure, elle ne peut permettre d’en d´eduire la structure d’un attracteur de mani`ere aussi directe. En effet, en dimension quatre, la notion de nœud doit ˆetre reconsid´er´ee dans la mesure o`u des brins qui se croisent en dimension trois peuvent se d´ecroiser en dimension quatre. Nous montrerons n´eanmoins qu’une description peut tout de mˆeme ˆetre envisag´ee en dimension quatre.

Nous reviendrons sur ces points en section 5.4.

5.2. ´EL ´EMENTS DE TH ´EORIE ET APPROCHES 117

(a) Auto-rotation

(b) Rotation relative

(c) Convention de signe

Figure5.2 – Auto-rotations et rotations relatives d’un flot 3D dans un espace 3D.

Descriptif alg´ebrique – section 2D dans R³

Quelle information obtenir d’une partition de la section de Poincar´e ? Comme nous l’avons vu plus haut, la topologie du chaos a d´ej`a permis d’obtenir la description visuelle et alg´ebrique d’un tr`es grand nombre de syst`emes dynamiques. Dans le cas des syst`emes suffisament dissipatifs, la description visuelle est assur´ee par un ensemble de bandes connect´ees entre elles dont l’existence est garantie par le th´eor`eme de Birman-Williams. Le descriptif de ces bandes – ou vari´et´es branch´ees – peut ˆetre interpr´et´ee comme une succession de torsions – individuelles ou relatives – du flot qui peuvent ˆetre d´ecrites par des entiers relatifs caract´erisant le nombre de demi-tours effectu´es par chaque bande. Si l’on ne dispose que d’une section de Poincar´e (et non du flot complet), une partie de l’information est perdue et l’on ne dispose plus alors que d’une information modulo 2π sur les rotations de branches ind´ependantes (individuellement et entre-elles). Cette ambigu¨ıt´e ne peut ˆetre lev´ee qu’en effectuant le suivi des branches le long du flot, au sein de l’attracteur. Lorsque les branches restent toujours connect´ees entre elles (absence de d´echirement), l’information concer-nant les rotations entre les branches reste enti`erement pr´eserv´ee. Cette remarque est importante puisqu’elle va nous permettre d’analyser la structure de certains flots – les flots connexes – en se basant exclusivement sur une section de ce flot.

Pour les attracteurs faiblement dissipatifs, l’´epaisseur du flot ne permet pas toujours de les r´eduire `a une bande. D’autres descriptifs doivent donc ˆetre envisag´es et d´evelopp´es. Nous ne consid´erons plus ici un flot dont la section serait unidimensionnelle – une ligne – mais comme une forme bidimensionnelle que nous symboliserons donc par un carr´e dont les orientations pour-ront correspondre `a l’´etirement et `a la contraction. Les torsions successives d’un tel carr´e devront alors ˆetre assur´ees par un entier relatif correspondant `a un nombre de rotation d’angle π/2 (cf.

Fig. 5.2a). Il en sera de mˆeme concernant l’entrelacs des branches entre elles (deux `a deux), comme repr´esent´ees Fig. 5.2b. Le cas de rotations interm´ediaires, i.e.d’angles π/4 devra ´egalement ˆetre conserv´e afin de disposer d’une plus grande g´en´eralit´e descriptive (cf. Fig. 5.2c).

S’appuyant sur cette nomenclature, toute section de Poincar´eSⁿ pouvant ˆetre ramen´ee `a un ensemble demsous-ensemblesBi(i= 1..m) pourra ˆetre d´ecrite sous une forme matricielle similaire

`

a celles pr´ec´edemment introduites dans les travaux de R. Gilmore [135], mais sur la base de rotations d’angle π/4, et relative `a des objets bidimensionnels. Un exemple didactique est pr´esent´e en Fig.

5.3, dont la matrice de rotation Γ serait (dans l’hypoth`ese d’une direction de rotation unique et dans le sens n´egatif)

Ne disposant pas d’information sur la rotation d’ensemble, ce descriptif ne sera donc valable qu’`a 2πpr`es. Notons que, dans le cas o`u les directions et les nombres de rotations ne seraient pas connus, ce descriptif constituerait n´eanmoins un premier indicateur – simplifi´e – de la structure de notre attracteur. La matrice de rotation Γ pourrait ˆetre compl´et´ee par une matrice de contactC:

C=

visant `a caract´eriser d´echirements (−1) et recollages (+1). Dans le cas o`u d´echirements et recollages se produiraient au cours d’une mˆeme it´eration (que ce soit pour recoller deux branches suivant des faces identiques ou diff´erentes), la matrice de contact pourrait s’av´erer ambig¨ue et il serait utile de distinguer les modifications de contact de d´ebut et de fin, la valeur (0) n’aurait plus d’ambiguit´e et correspondrait alors `a une situation inchang´ee. Cette matrice de contact pourrait ´egalement ˆetre rafin´ee en pr´ecisant les cˆot´es en contacts (ceux-ci n’´etant pas n´ecessairement adjacents dans la repr´esentation rectangulaire).