Diff´erentes m´ethodes pour d´eterminer squelette et axe

M´ethodes continues

La construction d’un axe m´edian peut se faire dans le domaine continu en utilisant le diagramme de Vorono¨ı ou les ´equations aux d´eriv´ees partielles.

Squelettisation bas´ee sur le diagramme de Vorono¨ı [AM97] : on choi-sit des points discrets sur le contour continu de l’objet. Le squelette est alors un sous-graphe du diagramme de Vorono¨ı de ces points, enti`ere-ment contenu dans l’objet (cf. figure 4.12). Cette m´ethode est bas´ee sur les points du contour de l’image, ce qui repr´esente une petite quan-tit´e de donn´ees. Le squelette obtenu est connect´e et topologiquement

´equivalent `a l’objet car la repr´esentation des objets par leur contour conserve implicitement ces notions. Il est de plus centr´e grˆace `a la d´efinition du diagramme de Vorono¨ı, et fin car on utilise une repr´esen-tation continue. Cependant, cette m´ethode peut poser des probl`emes lors des passages entre les domaines continus et discrets. De plus, la complexit´e des algorithmes et le temps de calculs sont r´edhibitoires pour d’aussi grandes images que les nˆotres. Enfin, outre les difficult´es li´ees `a la discr´etisation des contours (´echantillonnage, etc.), l’extrac-tion d’un squelette `a partir d’un diagramme de Vorono¨ı en 3-D n’est pas la simple extension du cas bidimensionnel.

Squelettisation bas´ee sur les ´equations aux d´eriv´ees partielles . Le squelette peut aussi ˆetre d´etermin´e grˆace auxensembles de niveaux. La surface de l’objet est alors repr´esent´ee comme une surface ´evolutive S(p, t) o`u p est une param´etrisation de la surface, et t le temps, et qui ´evolue selon l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante : <sup>∂</sup><sub>∂t</sub><sup>S</sup> =βN o`u N est le vecteur unit´e normal `a S et β la v´elocit´e de l’´evolution de la surface. Les auteurs de [GF00], par exemple, proposent de r´e-soudre cette ´equation en utilisant une fonction distance u telle que

∀t, u(S, t) = 0. u correspond alors `a la distance sign´ee du fond par

4.2. ´ETAT DE L’ART 107

(a) Image binaire. (b) On choisit des points du contour de l’objet.

(c) Diagramme de Vorono¨ı des points du contour.

(d) Le squelette est un sous graphe du diagramme de Vorono¨ı enti`erement contenu dans l’objet.

Fig. 4.12 – Construction du squelette `a partir du diagramme de Vorono¨ı des points du contour de l’objet.

Fig. 4.13 – Figure extraite de [GF00]. Le squelette del’ensemble de niveau z´ero est d´etermin´e par les points o`u ▽u n’est pas d´efini.

rapport `a la surface S. Les auteurs d´emontrent que le squelette de l’ensemble de niveau z´ero (u = 0) est d´etermin´e par les points o`u le gradient de la fonction distance (▽u) n’est pas d´efini (cf. figure 4.13).

Le principal probl`eme des m´ethodes d’ensembles de niveaux (comme la plupart des m´ethodes de segmentation) est qu’ils demandent une initialisation de l’objet `a segmenter ou `a squelettiser. Dans notre cas, une initialisation manuelle est impensable, et une initialisation auto-matique difficilement r´ealisable.

M´ethodes discr`etes

Les m´ethodes continues, bien qu’exactes (elles donnent des squelettes ayant les bonnes propri´et´es), sont souvent d´elicates `a mettre en œuvre et difficilement adaptables `a des images de la taille des nˆotres.

On peut en revanche s’int´eresser aux m´ethodes discr`etes, g´en´eralement simples et rapides. L’obtention de squelette ou ligne central peut alors ˆetre bas´ee sur les cartes de distance ou sur l’amincissement.

Squelettisation bas´ee sur les cartes de distance Dans ce cas, le sque-lette est d´efini comme le lieu des maxima locaux des cartes de distance [CH68, MF98] (ceci correspond comme dans la m´ethode des ensembles de niveaux aux endroits o`u le gradient de la fonction distance (▽u) n’est pas d´efini). L’extraction du squelette se fait en deux temps :

1. on cherche l’axe m´edian grˆace aux maxima locaux de la carte de distance. Ce sous-ensemble est fin, mais g´en´eralement non connexe. Il peut aussi servir de sous-ensemble initial `a partir du-quel on peut reconstruire un sdu-quelette.

2. on essaie de rendre ce sous-ensemble connexe, en cherchant des configurations de voisinage dans la carte de distance afin de re-trouver des lignes de crˆete ou des arˆetes de la surface associ´ee [NGC92], ou encore des chemins (ou cluster) [ZKT98] qui vont connecter l’ensemble des maxima locaux.

Le squelette r´esultant n’est pas n´ecessairement homotope (suivant le m´ethode de reconstruction), ni n´ecessairement fin (suivant le choix du seuil et des m´ethodes de reconnections des maxima locaux), mais il est centr´e par construction. La figure 4.14 repr´esente un exemple de squelette obtenu par un seuillage des maxima locaux de la carte de distance, suivi d’une reconstruction.

Squelettisation bas´ee sur l’amincissement Dans ce cas, le squelette est obtenu en “´epluchant” les couches fronti`eres de l’objet, c’est-`a-dire en supprimant les points simples (cf. d´efinition 4.2) situ´es au bord de l’objet et qui ne sont pas des points de fin. En effet, si l’on en-l`eve it´erativement tous les points simples, on conserve un objet to-pologiquement ´equivalent `a l’objet original, mais g´eom´etriquement

4.2. ´ETAT DE L’ART 109

Fig. 4.14 – Figure extraite de [ZKT98] repr´esentant un squelette obtenu grˆace `a une m´ethode bas´ee sur les cartes de distance.

trop simplifi´e (cette op´eration est appel´eeshrinking) : une composante connexe sans tunnel ni cavit´e se retrouvera r´eduite `a un seul point.

On d´efinit alors une condition de points de fin qui sont des points localis´es aux extr´emit´es d’une ligne ou sur le pourtour d’une surface et qui ne seront pas effac´es : ils permettront donc de conserver les lignes ou les surfaces. Pour les courbes, par exemple, un point de fin est un point de courbe (cf. caract´erisation topologique des points au paragraphe 4.2.1) qui n’a qu’un seul voisin dans l’objet. Les points simples peuvent ˆetre supprim´es successivement [PSBK01] ou en pa-rall`ele [TF81, GB90, PK99a, PK99b, MW00, LB02]. Un probl`eme se pose dans le cas des algorithmes parall`eles : si l’on d´etruit simulta-n´ement plusieurs points simples, il peut arriver que l’on change la topologie de l’objet. En effet, la figure 4.15 extraite de [LB04] re-pr´esente un exemple d’objet 2-D 4-connexe pour lequel, si l’on sup-prime tous les points simples simultan´ement, la topologie de l’objet n’est plus conserv´ee. Une solution couramment adopt´ee pour les algo-rithmes d’amincissement parall`eles bidimensionnels est l’utilisation de strat´egies directionnellespour l’effacement des points simples [Ros75].

On choisit des directions (par exempleNord,Sud,Est etOuest) selon lesquelles les points pourront ˆetre supprim´es en parall`ele. Les direc-tions sont utilis´ees successivement pour que le processus d’amincis-sement soit le plus sym´etrique possible. Cette strat´egie directionnelle a de bonnes propri´et´es topologiques en dimension 2. Cependant, elle n’est pas suffisante pour conserver l’homotopie en dimension 3. Les auteurs d´eveloppent alors des strat´egies en sous-it´erations

direction-Fig. 4.15 – Figure extraite de [LB04].Si l’on supprime parall`element les points simples de l’objet, la topologie n’est plus pr´eserv´ee.

nelles [TF81, GB90, PK99a, PK99b], ou bien d´efinissent une autre classe de points simples qui assure qu’un ensemble de points simples est lui-mˆeme simple. Cette classe de points est appel´ee pointsP-simples [Ber95, LB04].

Enfin, d’autres auteurs [Jon00] utilisent des op´erations morphologiques

`

a l’aide de masques pour supprimer les points simples.

Ces m´ethodes conduisent `a un squelettehomotope`a l’objet par construc-tion,mince, g´eom´etriquement repr´esentatif (si les points de fin ont ´et´e correctement caract´eris´es), mais pas n´ecessairement centr´e.