Description du mod`ele num´erique

A partir des param`etres du proc´ed´e, l’´evolution des champs thermiques est d’abord simul´ee, puis la croissance de grains colonnaires avec la comp´etition de croissance est mod´elis´ee grˆace `

a l’automate cellulaire (cf. Fig. 1.34).

Dans le but de mieux comprendre et interpr´eter tous les effets des param`etres de soudage sur la physique du bain liquide et sur la croissance des grains, un mod`ele de simulation num´erique du soudage de type CAFE, a ´et´e mis en place. Pour commencer, les caract´eristiques du mod`ele vont ˆetre d´ecrites, puis les r´esultats de la simulation num´erique seront expos´es et compar´es aux r´esultats exp´erimentaux. Les cas de la ligne de fusion en translation en courant lisse et en courant puls´e seront ´etudi´es (cf. chapitre 4).

5.3.1 Description du mod`ele num´erique

Dans cette section, les diff´erentes parties du mod`ele num´erique seront expos´ees. Pour commencer, le mod`ele num´erique de thermoconduction g´en´erant le champ de temp´erature sera d´ecrit. Puis l’automate cellulaire produisant la microstructure sera introduit, comportant un mod`ele de croissance dendritique analogue `a celui de la section 5.2.1.1 et un mod`ele de

germination, utilis´e pour tenter de pr´edire l’apparition des grains ´equiaxes observ´es au sein des lignes de fusion en courant puls´e.

5.3.1.1 Mod´elisation thermique du soudage

La simulation thermique du soudage est r´ealis´ee par la m´ethode des ´el´ements finis. En raison de la faible ´epaisseur de la tˆole ´eprouvette, une mod´elisation bidimensionnelle, dans le plan de la surface de la tˆole, a ´et´e choisie. De plus, comme les ´eprouvettes soud´ees sont sym´etriques par rapport `a l’axe longitudinal `a la soudure, seule une demi-´eprouvette est mod´elis´ee et maill´ee. On rappelle que les tˆoles ´echantillons sont de dimensions 150 × 70 × 1, 6 mm3.

Les transferts de chaleur par conduction dans l’´eprouvette sont r´egis par l’´equation de la chaleur. Une formulation en enthalpie de l’´equation est utilis´ee :

∂ < ρh >

∂t − þ∇λþ∇T = ˙Q (5.9)

avec < ρh > l’enthalpie volumique moyenne, λ la conductivit´e thermique et ˙Q une source de

chaleur volumique.

Cette formulation est la mieux adapt´ee pour prendre en compte la chaleur latente de changement de phase lors de la solidification, qui peut modifier le champ de temp´erature au voisinage du front de solidification (cf. section 1.2.2.4), comme cela a d´ej`a ´et´e constat´e lors de simulations [66]. L’enthalpie volumique moyenne int`egre la chaleur sensible et la chaleur latente de fusion, et s’exprime alors, pour des temp´eratures comprises entre la temp´erature de solidus T_s et celle de liquidus T_l :

< ρh >= ρ₀h₀+

Ú Ts T0

ρc_psdT + ρ_lf_lL_f (5.10)

avec c_ps la capacit´e calorifique massique du solide, L_f la chaleur latente de fusion, T_m la temp´erature de fusion du corps pur, et f_l = 1 − fs la fraction liquide, d´ecrite par une loi de Scheil-Gulliver : f_s= 1 − 3T_m− T Tm− Tl 4 1 k−1 (5.11)

avec T_l la temp´erature du liquidus et k le coefficient de partage, consid´er´e constant.

Grandeur Valeur

Masse volumique (liq.) ρ_l (kg/m3) 8110 Masse volumique (sol.) ρs (kg/m³) 8940 Capacit´e calorifique massique (liq.) c_pl (J.kg−1.K−1) 663 Capacit´e calorifique massique (sol.) c_ps (J.kg−1.K−1) 556 Chaleur latente de fusion L_f J/kg 2, 75.105

Coefficient d’´echange (air) W.mm−2.K−1 10−4

Coefficient d’´echange (support) W.mm−2.K−1 10−3

Table5.3 – Donn´ees utilis´ees pour la simulation num´erique thermique du soudage [55, 57].

Les caract´eristiques mat´eriaux choisies sont celles de l’alliage Cu30Ni utilis´e dans les chapitres 3 et 4 (Tab. 5.3). On a suppos´e pour les calculs de simulation num´erique que les caract´eristiques physiques du mat´eriau `a l’´etat solide et liquide ne variaient pas avec la tem-p´erature, mis `a part la conductivit´e thermique dont la valeur augmente avec la temp´erature.

Les conductivit´es sont de 40 W/m/K `a 0◦

C, 110 W/m/K `a 1000◦

C, 120 W/m/K `a 1200◦

C

et les valeurs ´evoluent lin´eairement dans ces intervalles et sont constantes en dehors.

La figure 5.8 repr´esente l’´evolution de la fraction solide de l’alliage Cu30Ni en fonction de la temp´erature, d’apr`es le mod`ele de Scheil-Gulliver (´eq. 5.11), avec k = 1, 4. L’´evolution de l’enthalpie volumique en fonction de la temp´erature est donn´ee sur la figure 5.9. On peut remarquer que lors du refroidissement, la fraction solide augmente tr`es rapidement d`es que l’on descend sous la temp´erature de liquidus de l’alliage (1250o

C), ce qui induit une lib´eration

brutale de chaleur latente de fusion, qui peut influer sur la cin´etique de solidification, en particulier en courant puls´e o`u la solidification est plus rapide lors des phases de contraction du bain (cf. 4.4.4).

Figure 5.8 – ´Evolution de la fraction so-lide en fonction de la temp´erature, suivant le mod`ele de Scheil-Gulliver, pour l’alliage Cu30Ni.

Figure 5.9 – ´Evolution de l’enthalpie vo-lumique en fonction de la temp´erature de l’alliage Cu30Ni.

L’apport de chaleur produit par l’arc ´electrique est mod´elis´e par une distribution gaus-sienne de densit´e surfacique de puissance, se d´epla¸cant le long de l’axe longitudinal de l’´eprou-vette `a la vitesse de soudage :

q = q_max. exp A −3 A (X − X0)²+ (Y − Y0− vs)² r2 0 BB (5.12)

avec qmax = ^{3ηU I}_πr2 0

le flux maximum li´e aux param`etres de soudage par U et I, vs la vitesse de soudage, η le rendement du proc´ed´e et r₀ le rayon de la distribution de chaleur.

Les param`etres de soudage utilis´es pour les simulations correspondent aux param`etres exp´erimentaux des essais type 1, 3 et 4 du chapitre 4. Ils sont list´es dans le tableau 5.4. Les deux premiers jeux de param`etres sont des param`etres en courant lisse. Entre ces deux configurations, seule la vitesse de soudage est modifi´ee. Il est alors attendu que la forme et la largeur du bain de fusion changent, modifiant ainsi les conditions de solidification le long du front. Dans le cas de l’essai en courant puls´e, les changements d’intensit´e I de la source de chaleur font osciller le bain et modifient en cours de soudage les conditions de solidification sur le contour du bain.

Type d’essai 1 3 4

Courant haut (A) 90 90 130

Courant bas (A) - - 27

Tension d’arc (V ) 10 10 10

Vitesse de soudage (mm/s) 3 4, 3 3, 5

Rendement 0, 86 0, 86 0, 86

Dur´ee courant bas (s) - - 0, 5 Dur´ee courant haut (s) - - 0, 3

Table 5.4 – Param`etres de soudage des simulations des lignes de fusion en courant lisse et puls´e.

Des conditions aux limites de type flux impos´es, caract´eris´ees par un coefficient d’´echange global (Tab. 5.3), sont impos´ees sur toutes les surfaces en contact avec le support ou avec l’air ambiant, pour mod´eliser les pertes par conduction dans le support ou par convection et rayonnement avec le milieu environnant.

La valeur des coefficients d’´echange (Tab. 5.3), du rayon de la distribution de chaleur r₀, et du rendement η du proc´ed´e de soudage (Tab. 5.4) ont ´et´e ajust´ees pour que les r´esultats de la simulation concernant la largeur du bain de fusion et le cycle thermique des nœuds localis´es `a l’endroit du thermocouple co¨ıncident avec les r´esultats exp´erimentaux du chapitre 4.

5.3.1.2 Automate cellulaire

Le calcul de simulation thermique permet de connaˆıtre en chaque nœud du maillage l’´evolution des temp´eratures aux diff´erents pas de temps du calcul. Afin de pr´edire la structure de grain form´ee lors de la solidification, un mod`ele d’automate cellulaire a ´et´e d´evelopp´e. Pour mod´eliser la microstructure du m´etal de base, un diagramme de Vorono¨ı est g´en´er´e `a partir des nœuds d’un maillage plac´e sur la tˆole, dont la longueur caract´eristique est de 100 µm. Chaque cellule de Vorono¨ı a initialement une orientation cristallographique d´efinie de mani`ere al´eatoire, pour mod´eliser la structure de grain initiale du mat´eriau, qui est tr`es peu textur´ee. Ensuite, la grille de l’automate cellulaire de longueur de maille de 25 microns est g´en´er´ee sur la surface de l’´eprouvette, sur laquelle sont interpol´es les champs de temp´erature calcul´es aux nœuds du maillage ´el´ements finis, selon la m´ethode d´evelopp´ee par Bordreuil et Niel [68], et les orientations cristallographiques en fonction des cellules de Vorono¨ı pr´ec´edemment calcul´ees. Notons que la taille initiale des cellules de Vorono¨ı g´en´er´ees est plus grande (100 µm en moyenne) que la taille initiale des grains (50 µm environ). Ce choix a ´et´e fait car les temps de calculs seraient beaucoup trop longs si l’on mod´elisait la taille de grain r´eelle. Pour r´eduire encore le temps de calcul, seule la partie centrale de la tˆole, correspondant `a une zone o`u le bain liquide est `a l’´etat stationnaire, a ´et´e ´etudi´ee (Fig. 5.10).

Lors du passage de la source de chaleur dans la zone de l’automate cellulaire, et de l’´evolution du champ de temp´erature associ´ee, chaque cellule se voit attribuer un indice en fonction de son ´etat : fondu, partiellement fondu ou solide. Les cellules fondues sont celles qui ont ´et´e port´ees au-dessus de la temp´erature de liquidus, et les cellules partiellement fondues sont `a une temp´erature comprise entre les temp´eratures de solidus et de liquidus. La croissance d´emarre `a partir des cellules partiellement fondues du bord de la ligne de fusion, suivant une direction de croissance pr´ef´erentielle de la cellule (directions cristallographiques <100>). Comme la mod´elisation est bidimensionnelle, on consid`ere que les directions de

Figure 5.10 – Sch´ema d´ecrivant la r´egion d’int´erˆet de l’automate cellulaire.

croissance pr´ef´erentielles sont dans le plan. La loi de croissance permet alors de calculer la surfusion associ´ee `a la cellule. La croissance d’un grain va pouvoir se poursuivre dans les cellules voisines au pas de temps suivant, si elles passent de l’´etat fondu `a l’´etat partiellement fondu, prolongeant `a chaque pas de temps le grain colonnaire en cours de croissance. A chaque instant, la position de la pointe d’un grain en cours de croissance est alors donn´ee par la relation :

R(t) =

Ú t t0

v(∆T )dt (5.13)

avec t₀ l’instant de d´emarrage de la croissance du grain, et v(∆T ) la vitesse de croissance du grain, d´ependant de son orientation cristallographique, et reli´ee `a la surfusion ∆T grˆace `a la loi de croissance.

L’algorithme de croissance, inspir´e des travaux de Gandin et Rappaz [69] et de Chen et al. [42], est d´etaill´e dans la r´ef´erence [68].

La loi de croissance des grains dans l’automate cellulaire est d´efinie par un mod`ele de type KGT (Fig. 5.1). Deux jeux de param`etres diff´erents sont utilis´es dans cette ´etude pour d´efinir l’´evolution de la vitesse de croissance en fonction de la surfusion au niveau du front de solidification (Tab. 5.5). Le premier jeu de param`etres, not´e KGT 1, correspond au mod`ele pr´esent´e pr´ec´edemment dans le cas sans ´ecoulement avec k = 1, 4 (cf. 5.2.1.1). Le deuxi`eme jeu de param`etres, not´e KGT 2, a ´et´e choisi arbitrairement pour donner des vitesses de croissance plus faibles que le KGT 1 pour une mˆeme surfusion (Fig. 5.11). Le KGT 2 a ´et´e modifi´e pour tenter de traduire une possible influence des ´ecoulements sur la loi de croissance.

Loi de croissance a n

KGT 1 1.10−7 3

KGT 2 5.10−8 2

Table5.5 – Jeux de param`etres utilis´es pour l’approximation polynomiale (v(∆T ) = a.∆Tⁿ) de la loi de croissance de type KGT.

La figure 5.11 montre que le front de croissance dendritique suivra de plus pr`es l’isotherme du liquidus dans le cas du KGT 1, car la surfusion sera faible. Dans le cas du KGT 2, les bains de fusion calcul´es seront plus allong´es, et s’´eloignent beaucoup plus de l’isotherme du liquidus car les surfusions seront beaucoup plus ´elev´ees.

Dans la zone de surfusion, situ´ee devant le front de chaque grain en croissance, peuvent germer de nouveaux grains ´equiaxes. Ce ph´enom`ene est mod´elis´e par une distribution de sites de germination, li´ee `a la valeur de surfusion, calcul´ee pour chaque cellule du front de solidification grˆace `a l’´equation suivante, issue du mod`ele d´evelopp´e par Greer et al. [70] :

Figure 5.11 – Vitesse de croissance dendritique en fonction de la surfusion pour les deux jeux de param`etres de loi de croissance KGT 1 et KGT 2 (Tab. 5.5).

dn d∆T ⁼ n_max ∆Tσ√ 2π 1 ∆T^exp C −¹₂ 3 ln(∆T ) − ln(∆T0) ∆T_σ 42D (5.14)

avec n_max la densit´e de grain maximale, ∆T_σ l’´ecart type et ∆T₀ la surfusion critique. Les param`etres de cette loi ont ´et´e choisis pour que la densit´e de grains form´es en courant puls´e soit proche des mesures exp´erimentales (Fig. 5.12).

Figure 5.12 – Nombre de grains qui peuvent apparaˆıtre par cellule (Scell = 25 × 25 µm²) en fonction du niveau de surfusion selon la loi de germination, avec n_max = 16 grains/mm², ∆T₀= 29 K et ∆T_σ = 0, 138.

colonnaire en croissance, on trouve la densit´e de grains par unit´e de volume en fonction de la surfusion. Cette densit´e d´epend du terme de surfusion critique ∆T₀. Pour une surfusion inf´erieure `a ∆T0 la densit´e est quasiment nulle, mais pour une surfusion sup´erieure `a ∆T0 la densit´e est maximale.

Pour s’affranchir de la taille des cellules, la probabilit´e de germination dans une cellule

p_n est calcul´ee :

p_n= n(∆T )S_cell (5.15)

Un nombre al´eatoire est ensuite compar´e `a p_n pour d´eterminer si un grain germe ou non. Ainsi, les grains colonnaires peuvent ˆetre bloqu´es par la croissance des grains ´equiaxes.

La probabilit´e de germination extraite de l’´equation (5.15), est trac´ee sur la figure 5.12. `

A partir d’un certain seuil critique de surfusion (29 K), on peut constater que la densit´e de germes apparaissant passe rapidement de 0 `a la densit´e maximale n_max.S_cell.