4.6 Calibration de la STF des modulateurs Σ∆
4.6.2 Détermination des paramètres du filtre de correction C k
C1k(z) ≈ g −ε (1 − j2πν) + (1 + 2ε) z−1− ε (1 + j2πν) z−2 (4.17) La condition sur ν (valeur petite) est respectée en supposant que le maximum de la STFk(f) se trouve dans la bande de fonctionnement du modulateur.
Après avoir simplifié la réalisation de Ck
1(z), il reste à trouver une méthode numérique qui per-mette de déterminer les valeurs de l’ensemble des paramètres {ε, ν, g} après avoir déterminé les bandes de fonctionnement par l’algorithme décrit au paragraphe 4.5.2.
4.6.2 Détermination des paramètres du filtre de correction Ck 1(z)
Les paramètres ε et ν du filtre de correction Ck
1(z) doivent permettre de corriger la STFk(f) afin que celle-ci présente une ondulation minimale dans la bande de fonctionnement.
Dans ce but, les paramètres {ε, ν} sont initialisés aux valeurs théoriques calculées à partir du modèle mathématique (4.16) de la STF pour un modulateur idéal (les fréquences centrales des résonateurs sont égales à leurs valeurs théoriques). Le gain g est fixé à 1. Les fonctions G(jw) et F(ejw) dans (4.16) dépendent de l’architecture de réalisation du modulateur. Dans le cas présent, nous considérons, à titre d’exemple, une architecture avec des résonateurs en série dans laquelle le signal d’entrée est injecté seulement à l’entrée du premier résonateur.
Pour déterminer les valeurs de {ε, ν} pour lesquelles l’ondulation est minimale, nous définissons les intervalles ∆ε et ∆ν, découpés en Nv sous-intervalles, et qui constituent le pas de calcul de notre algorithme de calibration. La largeur des intervalles ∆ε et ∆ν dépend du choix de l’architecture de réalisation des modulateurs. Nous avons choisi, dans le cadre de nos simulations, pour ν l’intervalle ∆ν =−10004 , 10004 et pour ∆ε = [−0.1, 0.1]. Ces valeurs ont été définies pour une architecture temps continu avec des résonateurs en série. On note que :
– pour de faibles bandes de fonctionnement, l’approximation (4.17) de Ck
1(z) reste valable mais il faut augmenter l’intervalle de recherche de la fréquence ν afin d’avoir une correction de la STFk(f) dans cette bande.
– le nombre de valeurs Nv influe sur la finesse du critère de recherche des valeurs ν et ε et ainsi sur leurs pas de quantification.
En faisant varier ν et ε indépendamment dans les intervalles ∆ν et ∆ε autour de leurs valeurs théoriques avec Nv = 64, nous avons calculé l’ondulation (différence entre la valeur minimale et la valeur maximale de l’amplitude du spectre) qu’il peut y avoir dans la bande de fonctionnement de chaque modulateur entre fk
r et fk+1
r à partir de la réponse fréquentielle de la STFk(f) et du filtre Ck
4.6. Calibration de la STF des modulateurs Σ∆ 93 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0 0.005 0.01 0.015 0.02 ∆ε 2π∆ν O n d u la ti o n
Fig. 4.19 – Ondulation dans la bande en fonction de ∆ν et ∆ε.
Nous remarquons que l’ondulation mesurée présente un seul minimum et par conséquent le critère de la recherche de ν et ε minimisant l’ondulation dans la bande de fonctionnement est un critère convexe. La figure 4.20 présente les lignes de niveau de ce critère.
∆ε 2 π ∆ ν −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 D2: ∆ε = −4.3 × ∆ν + cte ∆ε 2π∆ν D1: ∆ε = 4 × ∆ν + cte
Fig. 4.20 – Lignes de niveau du critère de minimisation de l’ondulation en fonction de (∆ε, ∆ν)). La convergence vers le minimum peut-être accélérée en définissant deux directions de recherche
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4. Architecture EFBD : une architecture robuste aux imperfections de l’analogique au lieu de faire varier ν et ε indépendamment chacune sur Nv valeurs. Ces deux directions sont définies par les pentes λ1 et λ2 des droites D1 : ∆ε = λ1× (2π∆ν) et D2 : ∆ε = λ2× (2π∆ν) (voir figure 4.20). Quelles que soient les valeurs de λ1 et de λ2, l’algorithme va converger en raison de la nature convexe du critère à minimiser (ondulation = f(ε, ν) figure 4.19). Il existe cependant des valeurs optimales de λ1 et de λ2 pour lesquelles l’algorithme va converger le plus rapidement. Elles dépendent de la largeur de bande de fonctionnement. En pratique, nous n’avons pas une connaissance exacte des largeurs de bande. Pour donner un encadrement pour les valeurs de λ1 et λ2, nous avons mené une simulation paramétrique où nous avons fait varier la largeur de bande de fonctionnement pour un modulateur. Les modules de λ1 et λ2 se trouvent dans l’intervalle [3 . . . 5]. Nous avons choisi λ1 = 4 et λ2 = −4 pour tous les modulateurs. Avec ces valeurs, nous avons vérifié que la convergence vers le minimum, pour tous les modulateurs, est assurée au bout de deux ou trois itérations. Chaque itération comporte la recherche du minimum suivant la direction λ1 puis suivant la direction λ2.
La figure 4.21 montre les lignes de niveaux obtenues en divisant chacun des intervalles ∆ε et ∆ν sur Nv= 8, 16, 32, 64 valeurs. Nous remarquons que Nv= 32 est une valeur acceptable afin d’obtenir un critère fin et convexe en fonction de ∆ε et ∆ν. Nous verrons, dans la suite, l’influence du nombre de valeurs Nv sur l’erreur de quantification de ε et ν.
∆ε 2 π ∆ ν Nv= 8 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 ∆ε 2 π ∆ ν Nv= 16 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 ∆ε 2 π ∆ ν Nv= 32 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 ∆ε 2 π ∆ ν Nv= 64 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02
Fig. 4.21 – Lignes de niveaux du critère de minimisation de l’ondulation pour Nv= 8, 16, 32, 64. Pour mettre en œuvre la méthode de recherche des valeurs optimales εopt et νopt, nous avons besoin de calculer l’ondulation dans la bande de fonctionnement introduite par la SFTk(f) de chaque modulateur. De ce fait, nous avons besoin d’un signal de référence qui a une densité spectrale constante dans la bande de fonctionnement fk
r, fk+1
r . Ce signal peut être un signal en sinus cardinal ou un signal de type chirp. Nous avons choisi de travailler avec un signal de type chirp (signal sinusoïdal dont la fréquence varie linéairement en fonction du temps) en raison
4.6. Calibration de la STF des modulateurs Σ∆ 95 de la simplicité qu’il présente pour l’extraction de l’information dans le domaine fréquentiel à partir de sa représentation temporelle si sa fréquence varie lentement en fonction du temps. Son expression est donnée par :
x(t) = A × cos (2π (fi+ βt) t) avec β =ff − fi
tf (4.18)
fi : fréquence initiale à t = 0,
β : vitesse de variation de la fréquence, ff : fréquence à l’instant t = tf.
Comme le traitement numérique de l’architecture EFBD se fait dans le domaine complexe, il est judicieux d’exprimer le signal analytique (voir annexe B.3.2) correspondant à ce signal chirp afin de pouvoir interpréter le signal en sortie. Ce signal analytique s’exprime par :
xa(t) = Aej(2π(fi+βt)t)= Aej(2πβt2)
| {z }
xb(t)
ej(2πfit) (4.19)
où xb(t) est l’enveloppe complexe du signal chirp.
Le module de l’enveloppe complexe du signal chirp est constant. Il est égal à A. L’amplitude du spectre d’un signal chirp linéaire est approchée, si la fréquence varie lentement en fonction du temps ((ff− fi) × tf ≫ 1) [54] par : P SD(f ) = A r tf 4(ff−fi)= cte pour |f| ≤ ff 0 ailleurs (4.20) La figure 4.22 présente, à titre d’exemple, un signal chirp généré dans la bande [0.2, 0.3] sur 500 points. Elle présente également le module du signal analytique correspondant (a) et le module normalisé de sa transformée de Fourier (b).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.5 1 1.5 f M o d u le d e la F F T (b) 0 100 200 300 400 500 −1 0 1 2 t A co s (2 π (f0 + β t) t) (a) ¯ ¯ ¯Aej(2π(f 0+βt)t)¯ ¯ ¯
Fig. 4.22 – (a) Signal chirp de bande [0.2, 0.3] avec le module de son enveloppe complexe, (b) module normalisé de la transformée de Fourier du signal chirp.
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4. Architecture EFBD : une architecture robuste aux imperfections de l’analogique L’avantage du signal chirp est qu’il permet, si sa fréquence varie lentement en fonction du temps, de mesurer le module de son spectre à la fréquence f′
à partir de la mesure du module de son enveloppe complexe à l’instant t′
défini par t′ = f
′
−fi
β .
Ce résultat va nous permettre de mesurer l’ondulation introduite par la STFk(f) sur le signal d’entrée en mesurant l’amplitude de la réponse fréquentielle aux fréquences fk
r et fk+1
r à partir du module de l’enveloppe complexe aux instants correspondants. Le schéma fonctionnel de cette méthode de calibration est donné sur la figure 4.23.
Fig. 4.23 – Schéma fonctionnel de la méthode de calibration de la STF(f). Cette méthode nécessite :
– Un générateur de signal chirp qui couvre toute la bande du signal utile [f1, f2]. Ce générateur est très simple à réaliser en numérique [55, 56, 57]. Un CNA monobit à base de modulateur Σ∆ [45] permet la mise en forme à l’entrée des des modulateurs à temps continu sans exiger de grandes resources matérielles.
– Un calculateur pour évaluer le module de l’enveloppe complexe afin de pouvoir mesurer l’effet de la fonction de transfert STF(f).
– Un algorithme d’adaptation qui permet, à partir du module de l’enveloppe complexe, de mesurer l’effet de la STF(f) et ensuite de mettre à jour les paramètres {ε, ν, g} du filtre Ck1(z) pour mieux corriger le module de la STF(f). Cet algorithme d’adaptation sera détaillé dans la suite.